Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 676

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание		параметров			уравнений	в частных производных				723
где m — количество			вводимого индикаторного					вещества,		ô (z —
— z0 ) — дельта-функция,				показывающая,			что индикаторное веще
ство вводится только в сечении z = z0;							ô (t) — дельта-функция,
показывающая,		что	индикаторное			вещество		вводится		только
в момент	t =	0.
В табл. 10.4.1 приведены известные решения уравнения (10.2.3)
при нулевых начальных				условиях.
Та часть отклика			на	синусоидальный			входной	сигнал,		которая
остается	после	затухания			переходного		процесса,		называется
частотной	характеристикой				системы.		Поскольку		в	линейной

(по зависимой переменной) системе при синусоидальном входном

сигнале выходной		сигнал		также	является	синусоидальным,
		а
Входной	x(t)=
сигнал	x(t)=	О		\		/	J
= a sin cot						у.	£
		— а
Выходной-		Ь	Л f
сигнал	y(t)=		Л f
сигнал	y(t)=							t
—ösinfcot+p)		-ь						t
—ösinfcot+p)
Ф и г. 10.2.1. Определение			коэффициента		усиления	(отношения		амплитуд)
	и угла сдвига фаз (запаздывания).
Отношение амплитуд		\| g (со) I =		Ь/а. Угол	сдвига фаз	argi (со) =		ф = coAf.
То, сравнивая выходной			и	входной	сигналы,	обнаруживаем, что

они обычно отличаются друг от друга по фазе и амплитуде. Смеще ние по фазе называется углом сдвига фаз (разностью фаз), а отно шение амплитуд — коэффициентом усиления. Соответствующие величины показаны на фиг. 10.2.1. Частотную характеристику можно получить, решая дифференциальное уравнение (или урав

нения) для синусоидального входного сигнала и полагая		затем
t ->	оо. Но чаще всего ее находят с помощью передаточной	функ
ции	процесса g (s) (разд. 12.1), приравнивая действительную	часть

комплексного параметра s нулю, а мнимую часть полагая равной ісо. Тогда частотную характеристику можно выразить через отно шение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигна ла, которое эквивалентно || g (со) ||, т. е. абсолютному значению (модулю) g (ft>), и сдвиг фаз ф, равный аргументу функции g (со). В табл. 10.2.2 для некоторых моделей приведены частотные характеристики во временной области, взятые из книги Шиссера [3]. Кроме времени и координаты вдоль оси, частота «в также

Таблица 10.2.2

Частотные характеристики во временной области для моделей с распределенными параметрами

Модель

ду	к
dt	dz*
У (0,	z) =	0
y(t,	0) =	е ш
dy(t,	0)	_ 0
dz
ду	ду	д2у

- д Т + ѵ - д Ч = К ^ - к у у (0, z) = 0

y(t, 0) =е tat

ду (t, 0) dz

	Kl (	d2y	1	ду
dt ^ dz	Kl (	dr%+	г	дг

, ( 0 ,	r, z) = 0,	МИфА^о
		дг
y(i,	r, 0)=у0еш,	y(t, R, z) = 0

ду (t, r, 0) = 0 dz

y* = Kx

i/(0, 2) = 0, «(0 , z) = 0

Частотная характеристика

y(t, z ) = e x p [ - ( ^ ) / 2 z ] s i n [ ( o i - ( - ^ ) * z ]

2 ) = e x p [ l Z

1 + ^ ^ + ^

) ] e r K t o * )

oo
ЛП Д/І ( Х „ д ) e x		p [ ~ C	l Z + ' M — C 2 z ) ]
n=l
A,„ — корни у р а в н е н и я		J 0	= 0
Ci =	( c 2	со )
	( c 2	со )

!/2

Л. Я,

» С> г ) = -7Г-

t e x P (?aZo + 9iz) — exp (gt z0 + g2 z)] e' i(ùt

z) = -Q- [A,2 exp (çr2 z0 + qtz) -

-kl exp (gj.z0 +g2 z)] e ia>t

Q = k2e<l*Z0-Xle<liZ°

z0 ) = e - i u , i , x(t, 0) = е ш

M, 2 = vqi,2-\-Hi(i>-\-ka

a = VX, y = Hhi(ù+(h + HK)ka

$ = (Vh + LH) i(ù + (VK + L) ka

726

Глава 10

становится независимой переменной, контролируемой в ходе эксперимента.

В этой главе при оценивании параметров будем использовать метод наименьших квадратов и относительно ненаблюдаемой ошибки примем те же допущения, что и в разд. 9.1, а именно что для каждого отклика с индексом г

YT = yr+er.	(10.2.5)
Допустим, что модель удовлетворительно описывает	процесс

и требуется оценить параметры модели по экспериментальным данным Y. В случае переходной и импульсной характеристик величина Y в соотношении (10.2.5) является просто откликом процесса на детерминированный ступенчатый или импульсный входной сигнал. Однако в случае частотной характеристики обычно измеряются две величины, ни одна из которых непосред ственно не связана с откликом процесса. Коэффициент усиления (отношение амплитуд) можно определить, измерив одну случайную величину — амплитуду выходного сигнала. Если же амплитуда входного сигнала является случайной величиной, то коэффициент усиления является отношением двух случайных величин; в этом случае условие (10.2.5) относится как к числителю, так и к знаме нателю этого отношения (пример 10.3.2). Угол сдвига фаз обычно

измеряется как одна	случайная	величина.
10.3. П Л А Н И Р О В А Н И Е Э К С П Е Р И М Е Н Т О В Д Л Я У П Р О Щ Е Н И Я
	Р Е Ш Е Н И Й
При оценивании	параметров	дифференциальных уравнений

в частных производных или параметров соответствующих гранич ных условий основное внимание необходимо обращать на сле дующие вопросы: 1) схема эксперимента должна быть составлена таким образом, чтобы определение каждого параметра произво дилось независимо от других параметров; 2) путем выбора соот ветствующих значений независимых переменных необходимо све сти решение для данной модели по возможности к наиболее про стой форме.

В качестве примера выполнения первого требования рассмо трим нелинейную модель химической реакции в неподвижном слое:

9СА I о ScА

п дЧА . о „г

CA (0, Z) = Се ,

CA(t, 0)=СЛО,

дсА (t, L) _ n

dz —u'


Оценивание параметров			уравнений	в частных		производных	727
где сА — концентрация		компонента		A;	t — время; z — коорди
ната вдоль оси, изменяющаяся от 0 до L ; ß 2 — константа							скорости
реакции;	ß t — коэффициент		дисперсии;		ß 0 — скорость		потока
(известная	величина).	Коэффициент		ß 2	может	быть определен
независимо от коэффициента			ßj и на совершенно другой				аппара

туре.

Для вычисления константы скорости реакции соответствующие

измерения	можно выполнить в аппарате идеального			смешения,
используя	модель
	deА	г.	2
	СА (0) = Се,
а параметр	ß t можно оценить	по	экспериментальным	данным,

полученным при установившихся условиях в неподвижном слое при отсутствии химической реакции, используя линейную модель

о	dcA	«	d4A
Р 0	dz	~ P l	d*2 '

СА (0)=САо, dcAdz(L) = Q

Методы оценивания коэффициентов этих более простых моделей были описаны в гл. 9. Предполагается, что планы отдельных экспериментов в точности соответствуют этим простым моделям и что оценки коэффициентов, полученные в каждой серии экспе риментов, можно использовать в полной модели без ухудшения

еесвойств.

Вкачестве примера выполнения второго требования, сформу лированного выше, рассмотрим модели теплопередачи и массо-

обмена, которые можно представить в виде уравнения диф фузии

При определенных граничных условиях эти модели имеют реше ния в виде бесконечного ряда:

оо

				у =	3 ате-т&,		(10.3.1)
	at				1=0			ut
где		— постоянные,		зависящие от начальных			условий, a
ж mi — функции			координат,		параметры	которых	определяются
из	известных свойств			системы.
	С	течением времени величина е~т$ь				сильно	уменьшается.
Через		достаточно	большой		промежуток	времени	переменная	у

728

Глава 10

становится независимой от начальных условий. Некоторые авторы называют это состояние регулярным или квазистационарным. В частности, когда первый член ряда (10.3.1) становится значи тельно больше любого последующего члена, формула (10.3.1) принимает следующий вид:

у « а0и0

е-т°$1.

(10.3.2)

Логарифмируя, получаем соотношение, линейное относительно ß:

In у =	—§m0t +	Постоянная.	(10.3.3)
На фиг. 10.3.1 показаны	решения	уравнения диффузии	(примени

тельно к теплопередаче) в центральных точках тел различной геометрической формы при разных граничных условиях как функции безразмерного времени (числа Фурье). Заметим, что на полулогарифмическом графике при больших значениях времени

функции	являются линейными или квазилинейными (например,
в случае	бесконечно широкой	пластины).
При использовании формул		(10.3.2), (10.3.3) и других анало

гичных им соотношений необходимо иметь в виду одно важное обстоятельство, состоящее в том, что при больших значениях времени абсолютные изменения переменной у становятся прене брежимо малыми и, следовательно, увеличивается относительная ошибка. Таким образом, малые и большие значения времени мень ше подходят для выполнения измерений, чем промежуточные значения.

При надлежащем выборе контрольной точки и граничных условий можно существенно упростить решение уравнения диф фузии, используемое для оценивания параметра ß. Решение, представляющее собой распределение температур на бесконечной плоской пластине толщиной 2L, которая первоначально имеет одинаковую температуру у (z, 0) = у0 и нагревается с обеих сто рон за счет постоянного притока тепла q, т. е. решение при гранич ных условиях

	y(z,		0) =		у0,
- к	ду	(L,	t)	=	q = h[ya — y(L, t)],	(10.3.4)
		dz
ду	(О,	t)	=	0
	dz

(где h — межфазный коэффициент теплопередачи; z — направле ние, перпендикулярное пластинке; к — коэффициент теплопро-

Смотрите также файлы

Хмелевский А.В. Паровоз. (Устройство, работа и ремонт) учебник для техн. шк. ж.-д. трансп.pdf

Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Цесевич В.П. Звезды типа RW Возничего фотографические наблюдения блеска.pdf

Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Шишкин Н.Н. Кобальт в рудах месторождений СССР.pdf

Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно