Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 670

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Ф и г . 10.3.1. Изменение температуры в центре различных

тел,

вызываемое

 

внезапным изменением

температуры на

поверхности

[4].

Уо — превышение

температуры в центре тела относительно температуры

поверхности

в начальный момент времени; у — превышение температуры в центре тела в момент т;

L

— радиус или полуширина поперечного сечения; ß —' коэффициент теплопроводности.

I

— бесконечно

широкая пластина;

II — бесконечно

длинный

квадратный стер­

жень; III — бесконечно длинный цилиндр; IV — куб;

V — цилиндр, длина которого

 

 

равна диаметру; VI — шар.

 

 

730

Глава 10

водности; Уа — температура

окружающей среды) имеет вид

»(«,

« ) - ь - 4 [ - & - £ е т й - + І ' - 1 ) * Н х

 

><4r C 0 S ( A " - r)^ / L 2 ]' ( 1 0 - 3 - 5 >

где Хп — собственное значение.

К

счастью, ряд (10.3.5) сходится довольно быстро. Так, для

чисел Фурье ߣ/L2 , больших 0,5, можно пренебречь всеми членами

ряда, кроме первых двух, записанных в квадратных

скобках,

при этом ошибка составит менее 0,5%. Следовательно,

распреде­

ление температур в пластине является параболической

функцией

расстояния z, и его можно оценить, как показано в гл. 5, если

справедливо условие

(10.2.5).

 

 

Кроме того, в пластине

существует некоторая

плоскость,

на которой температура равна средней температуре

пластины.

Пусть ее координата

равна

ze, тогда

 

 

у (ze.

t) = у (t).

 

С помощью уравнения (10.3.5) можно показать, что при F о > 0,5

Уз т

Аналогичная точка существует также и для других тел (для

цилиндра

ге

— (У"2/2) R, для

шара re = (jA5/5) R).

вычислить

 

Теперь

средний приток

тепла к пластине можно

по

формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

pCpL[y(ze,

t) — y(ze, 0)]

 

где

вместо у

введено у (ze),

и

подставить

в уравнение

(10.3.5).

Если, например, температура

измеряется

также и в центре пла­

стины (в точке z = 0), то после небольших преобразований можно получить выражение для ß в явном виде:

f

'

V

' " !rt=%t.

y(ze,

t) — y(0,

t) LP-

к

Между уравнениями (10.3.5) и (10.3.6) существует явное различие. Левая часть уравнения (10.3.5) представляет собой отклик; следовательно, в принципе ненаблюдаемую ошибку можно добавить, как показано в формуле (10.2.5). Левая часть уравне­ ния (10.3.6) является дробнолинейной функцией отклика и е не прибавляется непосредственно к детерминированной левой части.

Оценивание параметров уравнений в частных производных 731

 

Допустим

теперь,

что

этот факт

игнорируется,

что

усло­

вие

(10.2.5)

выполняется

и

что оценка параметра ß вычисляется

по

методу

наименьших

квадратов

путем

минимизации

суммы

 

 

 

 

 

Г

y ( z e

. tj)—y0

 

6ß

 

 

 

 

 

 

 

І = І

Y(ze,

 

ti)~Y(0,ti)

 

Mi]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L»,

 

 

 

(Для

упрощения

записи

положим

Y

(ze,

tt) = Y u и

Y (0, £*) =

=

Y2i,

прописные

буквы

обозначают случайные

величины.)

Из формулы

(4.3.7а)

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Straft-)''

 

(10.3.7)

 

 

 

 

 

ß

=

І = І

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

S ' S

1=1

К сожалению, математическое ожидание величины ß не равно ß,

т. е. ß — смещенная оценка, а вычисление величины смещения является трудной задачей.

Вычислив ß по формуле (10.3.7), % {ß} можно найти из выражения

 

 

 

m=(-4-) s

{ й ^ } >•

<10-з-8>

 

 

 

 

І = І

 

 

 

 

 

 

предполагая, что Y\ и У 2

— нормально распределенные случайные

величины. Требуется знать распределение случайной

величины

(Yu

-

y0)f(Yu

- Y2i).

 

Допустим,

что

% {Yu} =

щ ,

g {У2 г } =

=

іг2

и что

Var {Yu}

=

Var {У 2 і } =

°*2-

Физический

смысл

этих

допущений состоит в том, что у

(ze, t)

и у (0, і) — различные

вели­

чины, но ошибка в измерении этих величин одна и та же.

 

Необходимо также знать выражение для математического

ожидания отношения двух нормально распределенных

случайных

величин. Приближенное выражение для плотности

распределения

случайной величины

Z =

X/Y,

справедливое при

большой

вели­

чине

отношения u^/cx,

имеет

вид

[5]

 

 

 

 

P(z)

°Y (VxAY—

PXYVY°X)

— z

0

X

( М

А

Х ~

 

( a x - 2

9 x Y z a x a

Y

+ z ^ x

) 3

' 2

 

X

 

exp

г

 

 

1

 

 

( Ф Х -

 

У2п

L

 

 

2

o Y - 2 p x Y c x a Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

PXYVXGY)

 

 

 

 

Ц Г ) 8

1

f l 0

;

3 m

z + z*ox]>

 

^ . o . y

 

732

Глава 10

 

 

где

pXY — коэффициент корреляции

случайных

величин X и Y.

Так

как Y u и Y2i — независимые

нормально

распределенные

случайные величины, то (Yu — у0)

и (Yu — Y2i) — нормально

распределенные случайные величины со следующими параметрами:

 

Математическое

Дисперсия

 

ожидание

 

 

(Уц-уо)

(ѵі — Уо)

°2

(Yu-Yn)

(Г/1-2/2)

2А2

Подставляя в формулу

(10.3.9) вместо математических ожиданий

и средних квадратических отклонений эти величины (или их оценки), а также коэффициент р х у или его оценку, находим p (z). Математическое ожидание (и дисперсию) случайной величины Z

можно подсчитать

по ее моментам,

как

показано

в

гл. 2,

и смещение оценки ß можно вычислить

в любом

конкретном

эксперименте для

каждого значения

t{.

Подставив

в

форму­

лу (10.3.8) математические ожидания каждой случайной величины

(Yu — Уоі/ÇYii

— Yu), получим приближенную величину сме­

щения оценки

параметра ß. Ясно, что вычисление смещения

оценки методом наименьших квадратов, когда отношение двух случайных величин произвольно используется как зависимая переменная, является трудоемким процессом и дает лишь прибли­ женный результат. В принципе формулу (10.3.9) можно исполь­

зовать

также

для получения

функции правдоподобия, чтобы

найти

оценку

максимального

правдоподобия, как показано

в разд. 9.3, но численный расчет был бы слишком громоздким.

Точность оценок параметров можно повысить путем проведения повторных экспериментов.

Пример 10.3.1. Определение коэффициентов диффузии для смеси газов

Определим изотермические коэффициенты диффузии этана в метан, используя длинную вертикальную цилиндрическую труб­

ку. Уравнение диффузии

имеет

вид

 

 

 

с

=

0

при

t

=

0,

2 >

0,

 

с

=

0

при

z =

0,

t >

0,

(б)

с =

с0

при

z =

L , t >

0,

 

где с — концентрация этана, моль/л, с0 — известная величина. Схема эксперимента такова, что первоначально в трубке дол­ жен находиться один газ, а затем в момент t = 0 один конец трубки открывается и в нее начинает поступать другой газ. Более

Оценивание параметров уравнений в частных производных 733

плотный газ должен находиться под менее плотным газом, чтобы

не было конвекционного

перемешивания, вызываемого

различной

плотностью

газов (фиг.

 

П. 10.3.1а).

 

Решение

уравнения

(а) при граничных условиях

(б) имеет

вид [6]

 

 

 

 

 

с

я

nnz

(в)

 

1

n

 

с0

 

n=l

 

 

 

 

 

Можно рекомендовать несколько методов измерений концен­ трации этана, выполняемых непрерывно или через определенные

N2

 

 

 

Выравнивание

 

а-а)

 

давления

 

 

 

 

 

Л/У

 

 

 

. Задвиж­

 

 

ка

 

 

 

Этан

 

 

 

Ф и г . П.10.3.1а

[6].

промежутки

времени

(в зависимости

от имеющегося газоанализа­

тора). Д л я

примера

допустим, что с помощью шприцов для под­

кожных впрыскиваний несколько раз через определенные проме­

жутки времени в точках 1 и 2, каждая из

которых

расположена

на расстоянии а от концов диффузионной

трубки,

одновременно

берутся две пробы. Концентрацию этана в метане можно измерить с помощью газового хроматографа или другими методами. Соот­ ношение (в) в точках 1 и 2 имеет вид

*--г+-Н-«*[-(т)'*]-»-т-+

+ l e x p [ _ ( ^ ) 2 Ä ] s i „ ^ + . . . } .

+i - p [ - m **i - n 2л (L — а)

Смотрите также файлы