Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

малы, так что

Если измерения проводятся только в одной точке, то расстоя­ ние а можно выбрать равным L/2. В этом случае уравнение (в) принимает следующий вид:

І = і + 4 { - Ч - Ш 2 ^ ] +

Пример 10.3.2. Оценивание параметров с помощью

частотной характеристики

При детерминированном синусоидальном входном сигнале уста­ новившийся выходной сигнал, называемый частотной характери­ стикой, может использоваться "для оценивания коэффициентов линейной (по независимым переменным) модели процесса. Напри­ мер, модель теплопередачи в бесконечном слое вещества в прямо­ угольных координатах выражается как (фиг. П. 10.3.2а)

Ф и г . П . 10 . 3 . 2а .

где Т — отклонение от средней температуры, детерминированная

переменная;

z — расстояние, измеряемое от поверхности слоя;

Хотя параметр а (а при необходимости и параметр а0) в выра­ жении (б) можно определить методом нелинейного оценивания по измерениям температуры, оценку а можно получить с помощью более простых выражений, используя измерения фазового угла (запаздывания по фазе) и отношения амплитуд. Фазовый угол можно определить графически или аналитически по полученным данным, как показано на фиг. 10.2.1; таким же способом можно определить и отношение амплитуд.

Фазовый угол:

вание установок прямоугольного профиля может оказаться более сложным, чем установок с круговой симметрией (особенно в слу­ чае газов), но оценивание параметра а проще выполнять в прямо­ угольной системе координат. Уравнение теплопередачи в беско­

Оценивание параметров уравнений в частных производных 737

Интересно отметить, что на фиг. П.10.3.2г в определенном интер­ вале значений со фазовый угол ф является линейной функцией R У со/а:

ние (ж) не используется, то уравнение (д) или (е) должно подго­ няться методом нелинейного оценивания.

Рассмотрим следующий типичный эксперимент. Трубка из нержавеющей стали с наружным диаметром 2,20 см (внутренний

ных в центре и на внутренней стенке трубки. Требуемый синусои­ дальный сигнал, изменяющийся от 0 до 150 А, вырабатывался с помощью сельсин-датчика.

На фиг. П.10.3.26 показана типичная зависимость температуры от времени, с помощью которой фазовый угол и отношение ампли­ туд определялись следующим образом. Частота со вычислялась по периоду температурного цикла (частота входного и выходного сигналов оказалась одинаковой, следовательно, процесс был линейным). Поскольку частота контролировалась, она рассма-

тривалась как детерминированная величина. Фазовый угол ф определялся путем умножения частоты на определенную из гра­ фика задержку. Дл я вычисления отношения амплитуд измерялись амплитуды, зафиксированные на графике.

Как указывалось при рассмотрении уравнения (10.3.9), отно­ шение амплитуд может дать смещенную оценку параметра а; величину смещения определить трудно, поскольку соотношение

Время *-

Ф и г . П . 10 . 3 . 26 . Запись входного и выходного сигналов на одном и том же графике .

(е2 ) является существенно нелинейным. Поэтому параметр а оценивался с помощью соотношения (е±). Дополнительным преи­ муществом использования соотношения (е4) является то, что оно переходит в линейное соотношение между ф и "^(со/а) R при У((а/а) R > 3. С погрешностью +0,7% можно записать следую­ щее приближенное соотношение:

(з)

В повторных экспериментах при 65,5 °С и давлении 1 кгс/см2 были получены типичные значения средней квадратической ошибки для параметра a, se = 0,065 см2 /с. На фиг. П.10.3.2в и П.10.3.2г представлены экспериментальные и предсказанные данные для отношения амплитуд и фазового угла при температуре 65,5 °С и а = 0,275 см2 /с; значение а было получено методом наименьших квадратов с использованием соотношения (ж), а предсказанные результаты получены с помощью соотношений (ех) и (е2 ). Несмотря на то что отношение амплитуд не использовалось при оценивании параметра а, на нижних частотах наблюдалось хорошее совпаде­ ние экспериментальных и предсказанных данных.

Ф и г . П . 10 . 3 . 2г . Фазовый угол между сигналом на поверхности цилиндра радиуса R и откликом в центре цилиндра .

• экспериментальные данные.