Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 667

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

740	Глава 10
. 10.4.	О Ц Е Н И В А Н И Е П А Р А М Е Т Р О В С П О М О Щ Ь Ю
	Д Е Т Е Р М И Н И Р О В А Н Н Ы Х М О М Е Н Т О В

Еще одним методом оценивания параметров модели с распре деленными параметрами является метод детерминированных момен тов. Термин «детерминированный момент» используется для того, чтобы провести различие между моментами распределения случай ной величины, рассмотренными в гл. 2, и моментами, рассматри ваемыми в данном разделе. Основное преимущество использования детерминированных моментов состоит в том, что соотношения между моментами характеристик процесса и параметрами модели являются значительно более простыми, чем соотношение между полным решением и моделью процесса. Кроме того, для некото рых моделей невозможно получить аналитическое решение, тогда как моменты можно определить аналитически. Детерминирован ные моменты можно вычислить только для линейных (по зависи мой переменной) дифференциальных уравнений, и данный метод находит широкое применение для моделей, связанных с осевой и радиальной дисперсией.

10.4.1. Модели осевой дисперсии

ffi Если индикаторное вещество вводится в виде импульса в реаль ный поток, движущийся в трубе, пористой Среде или открытом канале, то вследствие диспергирования при движении потока этот импульс размывается. При постоянном расстоянии между точкой ввода и точкой измерения отклика степень размытия импульса зависит от интенсивности дисперсии. И наоборот, сте пень размытия импульса можно использовать для количественной характеристики явления дисперсии, т. е. для вычисления коэф

фициента	дисперсии в		модели		процесса,	описываемой уравне
нием (10.2.3),		записанным здесь			для безразмерных		величин:
t*	= ^	= -у- =	—		+ (**-4
где		S + £ 4 S			ô	)ô(n,	^АЛ)
				безразмерное		время;
с * =	—	безразмерная			детерминированная		зависимая
	с ср

переменная; Р — ^ — безразмерный коэффициент, так называемое число

Пекле;

z* — безразмерное расстояние по оси;

Vq — объемнасосудаяскоростьили канала,течениядетерминированнаяжидкости; величина;

Оценивание

параметров

уравнений

в частных производных

741

L = (zm — z0 ) — расстояние от точки ввода до контрольной точки;

v — скорость потока жидкости;

с с р = т/Ѵ — концентрация индикаторного вещества при равно мерном распределении массы m индикаторного вещества по сосуду;

t = Vlq — среднее время прохождения жидкости по трубе (время пребывания).

Заметим, что в модели (10.4.1) ввод индикаторного вещества в сосуд или канал имеет характер импульса, так что с* — безраз мерная детерминированная импульсная характеристика.

Определим два детерминированных момента как

	mi=^tcdt*,		(10.4.2)
		о
		оо
	mf=^(t-mt)c*dt\		(10.4.3)
		о
Заметим,	что фактически выражение для момента т 4		имеет сле
дующий	вид: -
		\ tc dt*
	m	Ô
	m	1 — ~z
		с* dt*

однако знаменатель нормирован так, что

c*dt* = 1.

Подставляя в условие нормировки выражения для с* и dt*, находим

1 j cdt — t

1 Л /Vf Л

ср

q J с dt = Fcc p = т.

Левеншпиль и Смит [7] впервые показали, что величину т# можно связать удобным соотношением с коэффициентом диспер сии. Используя преобразование Лапласа для решения уравне ния (10.4.1), Ван-дер-Лаан [8] и Арис [9] показали, что, если

С о о т н о ш е н ия между

Конфигурация

M Ш

Ввод (8)

Отклик

1)Бесконечная труба (одна контрольная точка)

D=0	S=o
	L
Ввод (S)	Отклик
2) З а к р ы т а я	труба

(одна контрольная точка)

ft) Отклик

B D

3)Общий случай

Конфигурация

Ж.

Вхооной сигнал люВЬи формы

Отклик Отклик

4)Бесконечная труба (две контрольные точки)

			Таблица	10.4.1
м о м е н т а м и и числом	Пекле д л я моделей только с осевой		дисперсией
Решение		Моменты
1 / Р И / 2	r p ( i _ f * ) 2 l	w i =	l + - p
1 / Р И / 2	r p ( i _ f * ) 2 l
			p2

с * = е Р / 2 у		( - l ^ S t t »		c -«„t«
Z j 4 a \| +			4P + P2	е
п	=1				mi	=	l
		Р 2	+ 4с#		mi	=	l
		Р 2	+ 4с#	it	2	2		_ Р
			4P	it	2	2		_ Р
t g	а п = -		4 Р а „	m ? =	-р—рТ^-е			)
t g	а п = -		4 Р а „
		4 а £ - Р 2
Н е		известно		114 = 1+1 - [2(1 - et)		* -	p 2 ?	- ( l - ß	) e -	^ - ^ j
				OT? = \| - + ^ " { 8 + 2 ( 1 - « ) ( i _ ß ) е - Р г * _
				- ( 1 - а ) е - р 2 * х
				X [4z*P + 4 (1 + а ) +			(1 -	а) е~Рг^]	-
				- ( l - ß ) e - ^ î - ^ x
				X [4 ( 2 * - , * ) Р +	4 (1 +	ß) + ( 1 _		ß) g - Р(г*е		-zb]}

	Продолжение	табл. 10.4.1
Решение	Моменты
	Ат< = 1

Не известно

Д т і = 1-

1 - ß [ 1 - е х р ( - Р ) ] е х р [Р ( z f - z * ) ]

Входной сигнал

±t

*г

р 2

- e x p [ P ( z f - z * ) ] x

ЛЮОои форлгы

{4 (1 +

ß) [ехр ( -

Р) - 1 ] +

( 4 - z*)

Отклик

(1 - ß) [ехр

( -

2Р) - 1 ] ехр

[Р

(z* - * • ) ]

5) Измерения

проводятся

+ 4 Р ( z f - z j f ) е х р ( - Р ) }

в двух точках

контроль

ного участка

Р-число Пекле, знаком * обозначены безразмерные величины.

744 Глава 10

к-й	момент
				J tc (z*, t) i
				о
		m	h = —
				f, с* (z*, t) dt
				О
конечен, можно		получить
		l i m	dhc* (z*, s)
		s-+0	dsh		,	л.к
		l i m e * (z*, s)
		s-+0
где	с* (z*, s) — изображение			функции			с* (z*, t) по	Лапласу,
a s	— обычный	комплексный		параметр преобразования. Следова
тельно, моменты mi и			тп# можно			найти	из формул
		1 1 1 , = - l i m			d ° * i z * ' s )		,	(10.4.4)
		mf + m» = lim ^І^іЛ..						(Ю.4.5)
	Так как коэффициент дисперсии входит в число Пекле Р,
желательно связать моменты m t					и тор с числом Р при различных

граничных условиях. Левеншпиль и Бишофф [10] получили ряд таких соотношений и дали соответствующие рекомендации. В табл. 10.4.1 дается краткая сводка наиболее важных соотноше ний. Заметим, что решения для концентрации в явном виде доволь но сложны либо вообще не известны. Очень трудно определить число Пекле Р по зависимости с* от t*, легче его получить, зная

ту и пг#.

Поскольку детерминированные моменты фактически оценивают ся при помощи случайной величины С с использованием следую щих соотношений:

оо