Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

где С — наблюдаемый отклик, функция времени; — оценка момента т^; М# — оценка момента т # , то необходимо исследовать

ь

I = j ф (t) X {t) dt,

а

где ф (t) — детерминированная функция, X (t) — нестационарная случайная функция. При заданной функции ф (t) и заданных пределах интегрирования интеграл / является случайной величи­ ной. Распределение случайной величины / зависит от выбранной функции ф (г), функции распределения случайной функции X (t) и пределов интегрирования. В частном случае, когда X (t) — нормально распределенная случайная функция, интеграл / явля­ ется нормально распределенной случайной величиной и

Если заданы математическое ожидание и дисперсия случайной функции X (t), то математическое ожидание и дисперсию инте­ грала / можно вычислить по формулам (10.4.8) и (10.4.9). Д а ж е в том случае, когда X (t) не является нормально распределенной случайной функцией, но интеграл аппроксимируется суммой и от­ дельные наблюдения Xt (t) независимы, согласно центральной предельной теореме, случайная величина / имеет приближенно нормальное распределение.

и дисперсия, не являются инвариантными при сдвиге во времени,

можно вычислить по п результатам, заоегистоиоованным в любой

и, следовательно,

V a r { / > } « ( - Ç ) 2 V a r > f i } -

Как работа Левеншпиля и Смита, так и работа Ван-дер-Лаана основаны на предположении о том, что ввод индикаторного веще­ ства описывается дельта-функцией. Дельта-функция представляет собой математическую идеализацию, так как требует введения конечного количества индикаторного вещества за нулевое время,, и в действительности ее можно лишь аппроксимировать. В работах [11—13] описан метод, не требующий применения идеальной дельта-функции. Метод предусматривает измерение концентра­

моменты кривых концентрации вычисляются, как и ранее, а затем

в систему, лишь бы оно вводилось выше двух контрольных точек Ввод индикаторного вещества может производиться в виде импуль­ са любой формы, а не обязательно только в виде дельта-функции.

Поскольку положение точки, где вводится индикаторное веще­ ство, несущественно, удобно связать безразмерные величины с расстоянием между двумя контрольными точками. Обозначим

Бишофф и Левеншпиль [13] представили также решения, свя­ зывающие уравнения (10.4.14) и (10.4.15) с безразмерным пара­ метром Р для проб, взятых как в пределах, так и за пределами контрольного участка. Два таких соотношения приведены в таб­ лице 10.4.1. При проведении экспериментов крайне желательно выполнять измерения в точках, достаточно удаленных от концов сосуда, с тем чтобы краевые эффекты были незначительны; в этом случае могут применяться исключительно простые выражения для бесконечной трубы. Другой, еще более важной причиной использования выражений для бесконечной трубы является то,

что в реальных системах невозможно точно учесть краевые эффек­ ты вследствие сложной картины движения потока на этих уча­ стках. Бишофф и Левеншпиль представили графики, позволяющие оценить положение контрольной точки, достаточно удаленной от конца сосуда, с тем чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами.

Пример 10.4.1. Оценивание коэффициента осевой

дисперсии по экспериментальным данным

Результаты, полученные в двух контрольных точках, для экспериментальной схемы, соответствующей конфигурации 4 в табл. П.10.4.1, представлены на фиг. П.10.4.1; предполагается, что регистрировалась непосредственно зависимая переменная С.

Ф и г . П.10.4.1.

данные для первой контрольной точки, Л — начало регистрации данных; б — дан­ ные для второй контрольной точки.

Основным источником затруднений при вычислении оценок детер­ минированных моментов является «хвост» кривой С, где неболь­ шие ошибки в определении концентрации существенно влияют на величину момента. Принимая за начало отсчета времени на этих двух графиках момент, когда индикаторное вещество вводит­ ся в систему, моменты отсчета на этих двух графиках можно связать следующим образом:

h = к + (ô2 - Ôt ), .