Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 663

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

754

Глава 10

 

10.4.2. Модели

осевой и радиальной

дисперсии

Экспериментальные методы измерения коэффициентов радиаль­

ной дисперсии основаны на вводе в поток индикаторного вещества

и измерении его концентрации в некоторой точке ниже по потоку от точки ввода. Однако не следует вводить^индикаторное вещество

или

измерять

его концентрацию на

некоторой плоскости.

Д л я

изучения

радиального перемещения

индикаторного вещества

и получения, таким образом, информации о радиальном переме­ шивании необходимо использовать экспериментальный метод, когда концентрация изменяется в радиальном направлении. Обыч­

но индикаторное вещество

вводится по оси трубки

(«точечный

источник»); это делается для того, чтобы обеспечивалась

симметрия

относительно оси трубки,

что упрощает вычисления.

По мере

продвижения индикаторного вещества вдоль трубки вследствие дисперсии оно распространяется в радиальном направлении. На больших расстояниях (теоретически на бесконечно большом расстоянии) от точки ввода индикаторное вещество полностью

перемешивается с потоком жидкости. Поэтому контрольная

точка

должна

находиться

на таком расстоянии от точки

ввода,

чтобы

можно

было

обнаружить имеющиеся различия в

концентрации.

Математическое

рассмотрение основано на

диффузионной

модели

 

 

 

 

 

дс_

дс ft

cßc

}f-~{r^)+mà(z-z0)f(r),

(10.4.18)

dt

 

 

 

 

 

 

 

где все коэффициенты считаются постоянными. Последний член уравнения характеризует «источник» (ввод) индикаторного веще­ ства в некоторой точке. Введем безразмерные величины

Средняя] концентрация индикаторного вещества в некоторой

точке, достаточно удаленной по потоку от точки

непрерывного

введения индикаторного вещества со скоростью

т, равна с с р .

Согласно уравнению баланса масс, массовая скорость вводимого индикаторного вещества равна массовой скорости этого ве­ щества на выходе из трубы:

m = nR2vzc,

После подстановки в уравнение (10.4.18) указанных безразмерных

величин

получаем

(при dc/dt = 0)

дс*

1

дЧ*

1

1

[-Ѣ (r* - g - ) ] = ô(z* - Z o *)/(r*) . (10.4.19)

 

 

 

PR

r*

Оценивание параметров уравнений в частных производных 755

Решения уравнения (10.4.19) можно использовать для оценивания

коэффициентов

дисперсии

по экспериментальным

данным.

 

Общее

решение

уравнения

(10.4.19)

довольно

громоздко.

В

табл.

10.4.2

приведены

менее

сложные

варианты,

связанные

с

упрощением

дифференциального уравнения или

граничных

условий.

Бишофф и

Левеішшиль

[13] исследовали

условия, при

которых справедливы менее строгие выражения, и привели гра ­ фики, позволяющие определить ошибки аппроксимации при

вычислении

коэффициентов дисперсии для

различных условий.

Уч<гсток

\ \ &ттрольный

участок

î1

Участок

ев ода

L

 

J

 

 

 

1

вывода.

 

 

 

1

 

 

 

 

і

 

Ввод

Первая

Вторая

индикаторного

контрольная

контрольная

вещества

точка

точка

Ф и г .

10.4.1. Эксперимент

дл я случая осевой дисперсии.

Они обнаружили, что ошибки, связанные с аппроксимацией крае­ вого эффекта, меньше для коэффициентов радиальной дисперсии, чем для коэффициентов осевой дисперсии. Даже если при выпол­ нении измерений непосредственно в конце сосуда ошибка и велика, она очень быстро уменьшается по мере перемещения контрольной точки в слой насадки. Следовательно, в наиболее типичных случаях слоя насадки для исключения влияния краевого эффекта^часто бывает достаточно проводить измерения на глубине, соответст­ вующей размерам одной-двух частиц.

В табл. 10.4.3 для ряда широко используемых моделей приво­ дятся их детерминированные моменты, определение которых было дано в настоящем разделе, а также параметры частотных характе­ ристик. Модели табл. 10.4.1 относятся к экспериментальной схеме, изображенной на фиг. 10.4.1.

Изучение табл. 10.4.3, казалось бы, позволяет сделать вывод, что для получения оценок коэффициентов проще использовать детерминированные моменты, чем частотную характеристику. Однако этот вывод справедлив только в случае простых моделей. Дальнейшее изучение таблицы показывает, что в случае модели с.р коэффициентами необходимо вычислять р детерминированных моментов, если должно использоваться соответствующее число независимых уравнений. Моменты выше второго порядка оказы­ ваются довольно неточными вследствие того, что ошибки, харак­ терные для «хвоста» кривой, весьма большие, что обусловливает

Таблица 10.4.2

Отклик на ввод индикаторного в е щ е с т в а в моделях с радиальной дисперсией [13—17]

Схема эксперимента

Ввод индикаторКонтрольная ного вещества точки (точечный источник)

Ограничение: Р Я " VL

ß?j ограничения

Отклик

Рп

ехр [ - ( Р д / 2 )

(У2

2 + Г 2 _ Г ) ]

4

y Z 2

 

(1)

+ 7-2

а г >0

(2)

J1(ai) = 0, qR =

I i

Лесу индика -

Контрольная

торного вещества

точка

Ограничение: BL =0

Ввод индика-

Контрольная

торного вещества.

точка

(трубка конечного

 

размера)

 

z = О z = z„

z=z f f

а г >0

(3)

/ ! ( а і ) = о, g=|/-4i ' Р ь і > ;

Jo(air)

Jliaie)

ехр

(4)

С

( а . )

а .

* = і + А у / g

 

 

Ji (aj) =

0,

 

 

радиус

трубки

E, е =

E/R

 

с* = 1 •- 2 / 0 ( а ; г ) /i(a;e)

<г.>0

24

 

 

 

 

 

 

 

 

(? — ?а) (? — Ы ехр [ — 2Рх,? (ze — z m

+ z0 )] +

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

itoy индика-

 

Контрольная

7Ѵг = ѳхр

( ^ - — g )

P L ( Z m — z0

)

К

+ ( ?

+ ? а ) ( ? - 9 ь ) е х р [ — 2qPL(ze—

z m ) ] +

 

•?рного вещества

точка.

 

торного вещества

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

L

V Z

'

/

J

1

+ ( g +

gg) (g + gb)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ? + ? а ) ( 3 + 9 ь ) - ( ? - ? а ) (g — ?b) exp [ - 2 P L q z e ]

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

z= 0 z = z„

z = z e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ni ка к в (5)

 

 

Дик» индикатор-

Контрольная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного вещества

 

точка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

Л и н е й н ы е

модели

 

Модель

Дифференциальные

Граничные

Коэффи­

 

циенты

 

 

 

 

уравнения

условия

 

 

 

 

 

 

 

 

модели

1.

 

 

дс

дс

1 дЧ

c(z,

0) = 0

Число

 

 

 

~dt^"dz"~"Tâ~z^

С (оо, 0) —

П е к л е Р

^—*~ІТоток

U " U 0

 

 

 

конечная

 

 

 

 

 

величина

 

 

 

 

 

 

 

 

с (zu

t) = 1

 

 

Только дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

дс

1 дс

1 d4

К а к

в мо­

 

Р

 

 

 

dt~t

h dz~ Р dz*

дели 1

h =

и/и0

•

— Поток

иФи0

t

 

 

 

 

 

 

Только дисперсия

3.

 

 

 

•К

— Поток

и = и

 

 

 

 

Перенос массы

 

 

ѵмтміористая•

среда^тжт.

Д и с п е р с и я

и

накопление

вследствие

равновесной

адсорбции

 

 

4.

 

 

 

1

^L , Поток

" = "„

 

ШШПористая

cpegcçtfmvwî

Дисперсия

плюс застойная

 

зона

 

 

дс

дс

1

d4

Как в мо­

Р

ydl+dz~

P M

дели 1

Ѵ = [1 +

1

dq

ki дс

 

+ (*і/е)]>1

 

ki — коэф ­

г

dt

г dt

 

 

 

 

фициент

 

 

 

 

 

распреде ­

 

 

 

 

 

л е н и я дл я

 

 

 

 

 

равновес­

 

 

 

 

 

ной адсорб­

 

 

 

 

 

ц и и

дс

дс

1

d4

К а к в мо­

Р

' d t + d z ~ P

dz*

д е л и 1

f—доля

объема

жидкости, запол­

н я ю щ е й поры; / < 1

(дисперсионные модели)

Детерминированные моменты

Дтщ

Л т #

 

2

Р

h2h?

Р

1 + А > 0

1-f

Р

S

/ < 1

2 Я

 

Р

Таблица 10.4.3

Параметры частотной характеристики для Ar и i|)

и

1

со

4

Т

1

4

р

1

coy

4

 

1

ш/

4

р

 

Модель

 

 

5.

 

 

 

1

„

 

и = и„

•—=-»- Поток

 

°

 

Перенос массы

 

Д и с п е р с и я плюс

накопление

путем адсорбции с конеч­

ной

скоростью

 

 

Дифференциальные

Граничные

Коэффи­

уравнения

 

условия

циенты

 

 

 

 

 

 

модели

de

 

de

 

Как в моде­

Р

~dt^~dz^

 

л и

1 плюс

кц

1

ô 2 c

1

âq

q(z,

0) = 0

к2 — коэф­

фициент

~ P

dz*

e

dt

 

 

переноса

массы

- 4 e - т г )

6.

° L . Поток

и = и0

Перенос массы

 

^/Одинаковая, концентрация с-

Ди с п е р с и я плюс межфазный перенос массы к пористой застойной зоне

,

de

de

 

'~dT+dz~~~

-

P

dz*

v

' ; dt

 

dr

 

 

d - / )

~ h ( c - c s )

К а к

в мо­

 

Р

дели 1 плюс

 

f

cs(z,

0) = 0

к3'-~

коэф­

 

 

фициент

переноса

массы

7. Д и с п е р с и я

плюс

нако­

de

de

1 d2c

К а к

в мо­

Р

пление

вследствие

ад­

f~ôT

+ ~dz~'

P dz*

дели 1 плюс'

ку

сорбции

с

ограниченной

 

 

 

cs

(z,

0) =

0

кг

скоростью

плюс перенос

 

 

 

 

- ( 1 - / )

X

 

(z,

0) =

0

к3

массы к

застойной

зоне

 

î m

 

 

 

 

 

 

 

f

* ( • + £ ) * -

s dt dr

Детерминированные моменты

•

Дті

 

 

 

1 + А > 0

2kl

2

 

е&

P

X

 

 

2

 

1

2 ( 1 - / ) 2

2

 

fc3

' P

і + А > і

2 (1 -

Z)2

X

X [ l +

(*i//e)l

Іг

 

As

 

 

1

2 k l

\

-

Продолжение таблицы 10.4.3

Параметры частотной характеристики для Ar и ф

и

1 ,

Cù2fc2

4 ' еР [ Ш 2 + ( А 2 Д 1 ) 2 ]

1 ©«Аз

4 1 P { © a + [ Ä 8 / ( l - / ) ] a }

1 , со

,4 + Т Х

'

ft3Cû(l-/)2X

„

Г X [ l + (Äi//e)] ,

Л\Л1 + о ) 2 ( 1 - / ) 2 1

Ä2W

~|

1 е і ^ + ^ а д

J

1 e A ^ - H ^ i ) 2 ] . !

+

4

X

I ( 1 - / ) [ Ш 2 +

J

+ [ Ѵ ( і - / ) ] 2

т{'+

 

feï(i-/)x

 

,

X [ l + (fci//e)]

1

'

fc| + û)8(l_/)2

 

*ï

1

' e / c 1 [ ö ) 2 - | - ( A ; 2 / A 1 ) 2 ] |

dt

2 \

ky )

Смотрите также файлы