Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 658

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

762

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение

таблицы

10.4.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АТ

— отношение

амплитуд;Тотношение

амплитуды

в точке z2

к

амплитуде

 

в

точке

z i ;

 

In Л г

=

(Р/2){і — [ 2 ^ +

VßXtf

+ ( 2 Ä , 2 ) 2 ] 1 / 2 } ,

значения kt

 

приводятся

в

таблице;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с — безразмерная

 

концентрация;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ci — концентрация

в точке zj (безразмерная величина);

 

 

 

 

 

« s

— концентрация

в застойной зоне (гипотетическая величина);

 

 

D—коэффициент

 

 

осевой

дисперсии;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ — д о л я

объема

жидкости, заполняющей поры;

 

 

 

 

 

 

 

h =

u/u0;

 

 

равновесия при адсорбции между, q я с

(константа

Генри);

кі—коэффициент

 

^2 — безразмерный

коэффициент

межфазного

переноса

массы

в

модели

 

с

адсорбцией;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jc3 — безразмерный

коэффициент межфазного переноса массы в модели

 

с

застойной

 

зоной;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L — длина

контрольного

участка;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р — число

П е к л е ,

P =

u0L/D;

 

индикаторного

 

вещества,

приходящееся

q — количество

 

адсорбируемого

 

 

на единицу

 

объема

пористой

среды,

q = kic/ß,

следовательно,

скорость

 

накопления

 

равна

(dq/dt)

= (kic/e)

(deldt);

 

 

 

 

 

 

 

 

<qm — количество

 

адсорбируемого

индикаторного

 

вещества,

приходящееся

 

на

единицу

 

объема

твердого вещества

на

поверхностях,

ограничива­

 

ющих

движение потока

жидкости;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t—безразмерное

 

 

время,

t =

QuQ/L;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и — средняя скорость

потока;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и0—скорость

потока в

свободной

трубе,

деленная

на порозность

s;

 

z — безразмерное

расстояние

вдоль оси,

z =

z'/L;

 

 

 

 

 

 

zj — координата

 

первой контрольной точки (безразмерная величина);

z2 — координата

 

второй контрольной точки (безразмерная величина);

 

е—порозность (относительный свободный объем);

 

 

 

 

 

 

Ѳ — время;

 

 

частота, а> =

а>'Ь/и0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(о—безразмерная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— сдвиг

фаз,

 

я|5 = (Р/2)

[ — 2%і + У(2Х^

+ (2К2у]1/2,

значения

%І приво­

 

д я т с я

в таблице; знак '

обозначает

размерную величину .

 

 

небольшую практическую ценность моментов более высокого порядка.

При оценивании параметров моделей, представленных линейны­ ми (относительно зависимой переменной) дифференциальными урав­ нениями в частных производных с числом коэффициентов больше двух, рекомендуется использовать частотную характеристику. Недостатком этого способа является то, что функции 4 , и f являются сильно нелинейными и что коэффициенты в формуле для сдвига фаз ib весьма нечувствительны к типу используемой модели.

Хотя частотная характеристика и используется для оценивания коэффициентов, импульсный входной сигнал более предпочтите­ лен в экспериментальной работе, так как, проведя анализ Фурье

Оценивание

параметров

уравнений

в частных

производных

763

импульсной характеристики, можно получить необходимую инфор­ мацию о частотах. Один эксперимент с импульсным входным сигналом может заменить несколько экспериментов, в которых входной сигнал изменяется по синусоидальному закону на различ­ ных частотах.

Задачи

10.1. Слой насадки, через который проходит установившийся поток жидкости, является обычным элементом нефтехимической аппаратуры, а также применяется в маслоотстойниках. Процесс передачи тепла от жидкости к слою насадки можно описать несколькими способами. Допустим, что выбрано уравнение балан­

са с одним

параметром, имеющее

следующий

вид:

где р — плотность;

Ср — теплоемкость; ѵг — скорость; z — коор­

дината вдоль

оси;

Т — температура

(случайная

величина); г —

радиальная

координата.

 

 

Предложите ряд экспериментов (т. е. укажите начальные и гра­ ничные условия для реального процесса, описываемого моделью), которые позволяют удовлетворительно оценить эффективный коэф­ фициент теплопроводности к. Какие наблюдения необходимо выполнить? Какова будет ошибка при определении температуры Т

в точке z = 0 (начальное сечение) и в точке z = L

(конечное

сечение

слоя)?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.2. Работу трубчатого реактора описывает

следующая

модель:

 

 

дС

 

дС

• , r

 

I

АЕ

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

-дГ + Ъ-дГ^-^оСехр

 

( —

ш

)

 

 

 

рСР

(§-

+ v z

^ )

 

 

 

 

==™-(Tw-T)n-AHRxn[-k0Cexv(-j§r)],

где

С — концентрация,

случайная

величина;

AHRxn

— теплота

реакции,

известная

постоянная;

 

Д£" — энергия

 

активации,

постоянная; R — газовая постоянная

для идеального газа, изве­

стная величина;

к0 — некоторая

постоянная;

h

— межфазный

коэффициент теплопередачи, постоянная; Tw

— температура

стен­

ки,

известная

величина.

Остальные

обозначения

те же,

что

и в

задаче

10.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью какого рода экспериментов можно получить неза­

висимые оценки к0,

h и Ді?? Каковы соответствующие

граничные

условия?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указание:

величины

Т и С весьма чувствительны к

небольшим

изменениям

Ыѵг и Tw

в

некоторых

интервалах значений

этих

переменных

для

сформулированной

выше

модели.

 

 

764

 

 

 

Глава

10

 

 

 

 

10.3. Для

несжимаемого

ламинарного

потока

уравнение

Навье — Стокса имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p-Jjf =

- V

(P +

pgz) +

[xV2 v,

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р — плотность

(известная

постоянная);

 

 

 

V — скорость

(вектор);

 

 

 

 

 

 

р

— давление;

 

 

 

 

 

 

 

 

g — ускорение

силы

тяжести

(известная постоянная);

z — высота

относительно

начала отсчета;

 

 

\і

— вязкость;

 

 

 

 

 

 

 

 

D/Dt

— субстанциональная

производная,

D/Dt

=

— + v V .

Допустим,

что V — стохастический

вектор

(имеющий три

составляющие), р

— также случайная величина, а остальные вели­

чины являются детерминированными. Как наиболее эффективно оценить ц по измерениям скорости? Дайте подробное описание эксперимента, приведите уравнения, граничные условия и крите­

рий

оценки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.4. Безразмерное уравнение диффузии для абсорбции или

десорбции из

конечного

плоскопараллельного

слоя имеет вид

 

 

 

 

 

дс*

ô 2 c *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt*

=

dz*2

'

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«АО — ^Аоо '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

'

 

Lï

'

 

 

 

z — координата

в

направлении

диффузии,

L — толщина

слоя,

(оЛ

— массовая

доля

вещества

А.

 

 

 

 

 

Как можно оценить D по измерениям соЛ и t при граничных

условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с*

=

1,

t*

<

0,

0 <

z*

<

1,

 

 

 

с*

=

0,

t*

>

0,

 

z*

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z*

=

1?

 

 

Указание: Доля

исходного вещества

в слое

в момент t

равна

î

£ с* dz*

I с* (0) dz*

о

10.5. Для определения коэффициентов диффузии в жидкости удобно применить метод капилляров. «Меченая» (обычно с помощью

Оценивание

параметров

уравнений

в частных

производных

765

радиоактивного вещества) жидкость вводится в капиллярную трубку однородного сечения диаметром примерно 1 мм и длиной 2 см. Один конец трубки запаян. Открытый конец трубки опу­ скается в сосуд с большим количеством этой же жидкости, не содержащей радиоактивного вещества. Через определенное время t (несколько секунд) трубка вынимается и определяется доля / оставшегося радиоактивного вещества. Затем, получив решение уравнения диффузии для цилиндра с начальной одинаковой концентрацией С0

1 =

= - j r [ ехР (—1|>) + 4" е х Р ( — 9 г М +

е х р ( - 2 5 г ^ + • • • ] '

где гр =

n2Dt/AP,

а I — длина трубки, можно вычислить коэффи­

циент диффузии D меченой жидкости.

 

 

Каким образом можно найти оценку для D, зная отношение /,

которое

является

случайной величиной?

Считайте, что I я

t —

детерминированные величины.

 

 

10.6. Два цилиндра — один со стандартным содержанием

вла­

ги, а другой с неизвестным содержанием влаги — сушатся в оди­ наковых условиях. При решении детерминированной модели для распределения температур с помощью преобразований Лапласа получается уравнение, которое при обратном преобразовании дает мнимые (а не действительные) температуры. Что нужно сделать, чтобы экспериментатор получил решение в действительных пере­

менных?

Решение уравнения в пространстве изображений по

Лапласу

имеет

вид

 

. f(x,

s)=(ach]/'-jx)(bahj/"-Lx),

где X — расстояние от конца цилиндра; s — параметр преобразо­ вания Лапласа; Т — температура.

10.7. Дифференциальное уравнение, описывающее ламинар­ ный изотермический горизонтальный полностью установившийся поток несжимаемой ньютоновской жидкости в прямоугольном трубопроводе постоянного поперечного сечения, имеет вид

JW_ <РѴ_ і_др_

. .

ѵдхі

" f " ду* ~~ u. dz '

W

где V — скорость в направлении оси z; х и у — прямоугольные координаты в плоскости, перпендикулярной оси z; dpi dz — гра­ диент давления .в направлении оси z; u. — вязкость, постоянная величина. При интегрировании уравнения (а) для трубопровода шириной 2а и глубиной 2Ъ, на поверхности которого поток имеет нулевую скорость, получается следующее выражение для ско-

Смотрите также файлы