Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 655
Скачиваний: 2
772 |
|
Глава 11 |
|
||
налов. Переписав уравнение (11.1.1) в следующем виде: |
|||||
vi*) |
|
1 |
|
(11.1.2) |
|
z(s) |
« п + « п - і « п ~ 1 |
+ - " + в і * + в о ' |
|||
|
|||||
получим передаточную |
функцию, |
соответствующую уравне |
|||
нию (11.0.1). Если правая часть уравнения (11.01) содержит не
только функцию x (і), |
но и ее производные, то в числителе переда |
||||||
точной функции появляется |
многочлен |
по s: |
|
|
|||
|
У (s) _ |
V s m + bm - is" 1 - 1 + ... +b , s + b_o |
(1113) |
||||
|
x (s) |
s n + a n - i s n |
- 1 + • • • + <4S + <*o |
|
|||
Если входным воздействием на подсистему является импульс |
|||||||
ная функция |
(дельта-функция) |
x (t) = |
ô (t), |
для |
которой |
||
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
x (s) = |
X [x (t)] = |
J e-e l Ô (t) dt = |
i, |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
то соотношение (11.1.3) принимает вид |
|
|
|
||||
У(») |
_ ' /»ч |
bmsm+ |
bm.isn-iJr |
. . . + |
ъ&+Ь0 |
» |
|
1 |
ё К ) |
s n+ a n _ |
l S n - i + . . . + a i S + |
a o |
|||
где g (s) = X lg (t)] — преобразованная по Лапласу импульсная характеристика, обычно обозначаемая как g (і). Следовательно, передаточная функция оказывается преобразованной по Лапласу импульсной характеристикой и в общем случае соотноше ние (11.1.3) можно записать как
у (s) |
~ / |
\ |
|
x(s) |
• = «?(*) |
|
|
или |
|
|
|
y(s) = è(s)x(s). |
# |
(11.1.4) |
|
Из соотношения (11.1.4) видно, что в пространстве |
изображений |
||
ло Лапласу выходной сигнал можно найти как произведение входного сигнала на импульсную характеристику. Если переда точная функция известна, выходной сигнал линейной (по зависи
мой переменной) модели при любом |
входном сигнале можно найти |
|||
с помощью формулы (11.1.4). |
|
|
|
|
После обратного преобразования обеих |
частей |
уравне |
||
ния |
(11.1.4) для любого входного |
сигнала |
получаем |
отклик |
во |
временной области: |
t J g(t-a)x(a)da. |
|
|
|
y(t) = X-l[j{s)]=X-4g{8)x'{8)]= |
(11.1.5) |
||
|
|
Оценивание |
параметров |
передаточных |
функций |
773 |
||
|
Интеграл такого типа встречается в самых различных |
задачах. |
||||||
В теории |
преобразований |
он называется |
интегралом |
свертки, |
||||
а в классической математике — интегралом |
Дюамеля. |
Импульс |
||||||
ная |
характеристика |
g (t) |
называется |
также весовой |
функцией, |
|||
так |
как в |
интеграле |
(11.1.5) функция |
g (t |
— а) определяет вес |
|||
входного |
сигнала x |
(t). Отклик |
у (t) |
эквивалентен некоторому |
||||
взвешиванию входного сигнала по различным моментам времени от 0 до t. Дл я модели с постоянными коэффициентами форма отклика на входной сигнал, поступающий в систему в любой
момент времени, |
зависит |
только от формы входного сигнала и не |
|||
зависит от |
времени его |
поступления. |
|
||
|
Y(s) |
|
|
|
Выходной |
|
|
|
|
|
учааток |
Термоконтактный |
|
|
|
||
датчик |
на выходе |
Soc(s) |
Ys(s) |
||
|
|
|
|||
|
|
|
Yc(s) |
gp(s) |
Слой насадки |
|
|
|
|
в кедонне |
|
Термоконтактный |
|
|
|
||
датчик |
на входе |
|
Xp(s) |
||
|
|
|
|
SiCs) |
Входной |
|
|
|
|
|
участок |
|
Ф и г . |
11.1.1. Блоксхема |
реального процесса. |
||
Поскольку, как было показано, модель (11.0.1) во временной области и передаточная функция (11.1.3) непосредственно связаны
друг с другом, то можно задать |
вопрос, |
зачем вообще передаточ |
ную функцию используют в |
качестве |
модели. Передаточные |
функции, например, находят применение при анализе систем управления, когда приходится анализировать и комбинировать довольно сложные наборы подсистем. Поскольку преобразова ние Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение (11.0.1) к алгебраическому, исследование устойчивости и чувствительности аналитически или графически легче выполнить в пространстве изображений, чем во временной области. Соотношение (11.1.4) позволяет довольно легко связать в пространстве изображений одну подсистему с другой. Рассмотрим, например, колонну со слоем насадки, изображенную на фиг. 11.1.1. Измерения в движу щемся потоке производятся с помощью термоконтактных датчиков, устанавливаемых на входе и выходе потока. Однако при опреде лении дисперсии в слое насадки необходимо учитывать влияние измерительных приборов и самой колонны. На фиг. 11.1.1 в виде
774 |
Глава 11 |
блок-схемы изображен поток информации в экспериментальной установке. Передаточная функция всего процесса, включая слой насадки и приборы, имеет вид
^ ( s ) = | d £ ) |
(Ц.1.6) |
хс (s)
а искомая передаточная функция для слоя без учета краевого эффекта определяется выражением
ft,<«)«4^. ( И . 1 . 7 )
Хр (S)
Передаточные функции подсистемы связаны (в чем можно убе диться, проследив за потоком информации) следующим образом:
Хс (S) = gic |
(S)X(S), |
Xp(s) = |
gi(s)x(s), |
Ус (s)=g0c |
(s) у (s), |
У (s) = g0(s) yp (s),
поэтому при наличии слоя насадки
l- 8i» (s) J gic (*)
При отсутствии слоя насадки, что обозначается индексом »ф , gP (s) = l и
g# (s ) = go (s) èi (s) Soc (s) _
Следовательно,
Формулу (11.1.8) можно рассматривать как соотношение между передаточной функцией для слоя насадки в колонне и наблюдае мой передаточной функцией для всей колонны при отсутствии слоя насадки. Проводя эксперимент со слоем насадки и без него, можно исключить краевой эффект приборов.
. Частотную характеристику можно найти по импульсной или переходной характеристике с помощью методов, описанных в рабо тах [1—3]. Еще проще получить частотную характеристику непосредственно с помощью передаточной функции, заменив параметр s на ш и разделив на действительную и мнимую части функцию g (ш) . На фиг. 11.1.2 показано соотношение между вре менной областью, пространством изображений по Лапласу
