Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 649

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание

параметров

передаточных

функций

781

передаточную функцию можно записать в измененной форме

g W

l+alS

+ a2s*+...

+ ansn-

(11.2.5)

Затем введем следующие передаточные функции:

 

 

 

 

(11.2.6)

 

i

 

 

 

gm+n (s)

= —

 

[Ут+n-l—gm+n-1 («)]>

 

где î/* — предельное

значение функции yt (t) при

oo, опреде­

ляемой следующим

образом:

 

 

 

t

 

 

Уі (*)=

j

[ l - y ( Q ] A ,

 

Ife(<) =

f

[yî-yi(t)]dt,

 

 

 

І

 

(11.2.7)

Ут+п (t) =

0

j [Ут+n-l —J/m+n-l (t)] dt.

 

 

 

 

 

Другими словами,

=» f [ 1 - y (*)]#,

0

tf=JOOto?-ft

о

oo

dt.

Значения функции y* можно связать с параметрами уравне­ ния (11.2.5) следующим образом. Так как

Vi (») = Si (s) * i (s) = T И — e (s)l (s).

то, полагая

(s) =

ils (т. e.

x t (f) = 1 при t >

0) и применяя

теорему о конечном

значении

для преобразований

Лапласа, рас-

782 Глава 11

смотренную в приложении

Б , можно установить, что

 

lim syi (s) = l i m [l — g (s)] — = lim yt (t) -

y*.

 

s-»0

s-»0

 

£->oo

 

 

После

несложных

алгебраических

преобразований

легко пока­

зать,

что

—g(s)] _

 

 

 

 

 

\j

(ai — bi) +

(a2 — b2)

s + . . .

 

 

 

g

1 + aïs -f- a 2 s 2 - f - .. .

'

 

так что si/i (s) ->(ai — bi) при s->0. Следовательно,

 

 

j

/ * = A I — ô j .

Аналогично при £ 2

(<) = 1

 

 

Уа(в) = 7 " [ ^ — І і (*)]^(«)

и после ряда алгебраических

преобразований имеем

( S ) =

ІУІЧ — ( a 2 — b2)] + [yta2 — (a 3 — fc3)] s + . . .

!

i - f e j s - f a2 s8 -f- • • •

 

 

Тогда

 

 

 

lim s(/2

(s) =

l i m г/2

(i) = z/2* = y*а ± — (a2 — fe2).

s-»0

 

i-voo

 

Последовательно продолжая такой анализ, получаем следующее матричное уравнение:

1

0

0

0

0 . .

 

 

 

 

yt

1

0

0

0 ..

-a2

yt-Ъг

 

 

УІ yt

1

0

0 ..

-a4

УІ + Ь3

(11.2.8)

yt yt У* 1 0. .

y t - h

 

 

УІ yt

yt

î/î

a-5

У*ы+Ь5

 

 

Матричное уравнение (11.2.8) представляет собой систему

линейных уравнений, в которые входят а и Ь, но элементы

левой

матрицы (кроме

0 и 1)

являются

случайными величинами,

если

значения у* вычисляются по экспериментальным данным. В этом случае оценивание должно проводиться не обычным методом

наименьших

квадратов, а одним из методов, рассмотренных

в разд. 5.4

и 5.6.

Если все значения bt равны нулю, что имеет место в том случае, когда в правой части уравнения (11.0.1) отсутствуют производные, то получается система нелинейных уравнений для аг- и у*, когда каждое значение у? последовательно заменяется соответствующим

Оценивание параметров

передаточных

функций

783

значением at:

 

 

 

 

а * - а 2

= У*,

 

 

а? — 2а 1 а 2

+ а 3

= У*,

 

 

При повторении экспериментов математическое ожидание и дис­ персию для а4 можно оценить по выборочному среднему и выбо­

рочной дисперсии

для Y*. Затем, постулируя

(нормальное)

рас­

пределение для ах

и зная

выборочные

значения

У*, можно

полу­

чить приближенные

выражения для

математического

ожидания

и дисперсии параметра а2 и

т. д. Предполагается,

что

числовая

ошибка, вносимая

в

функции

(11.2.7)

при интегрировании,

пре­

небрежимо мала

и

является

несмещенной.

 

 

 

 

Исследование путем имитирования показало, что если в урав­

нении (11.2.8) каждое

значение у*

заменить

его

выборочным

средним У*, полученным из повторных экспериментов для случая,

когда все

значения

ЪІ равны

нулю,

то его

решение приводит

к

слегка

смещенным

оценкам

параметров передаточной функ­

ции и приближенные

выражения для дисперсии коэффициентов

можно

получить, решая

уравнение

(11.2.8)

относительно alt

а2,

. . .:

 

 

аі = УГ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«îa = (??)«-у;

 

 

и

т. д.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

Var {аі}яі

Var { F f } ,

 

 

Var {â2 } « Var {(У*)2 } + Var {У*}

и т. д.

Пример 11.2.1. Оценивание параметров передаточной функции

В данном примере имитируется эксперимент, иллюстрирующий применение уравнения (11.2.8) для нахождения оценок параме­ тров. Для передаточной функции

заданы параметры: at = 0,200 и а2 = 0,050. Отклик на единич­ ный ступенчатый сигнал (переходная характеристика) в про­ странстве изображений имеет вид

y(s) =

'g(s)x(s)^^-.

784

Глава 11

Y(t)

Yi(t)

0,03

1

1

1

1 1

1

 

 

 

 

 

 

0,02

 

 

 

 

 

 

0,01 4~

\

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

î

~

-0,01

 

\

 

 

У2* = -0,0105

 

\

 

 

f

 

 

 

 

 

 

-0,02

!

1

1

1

1

1

0

0,4

0,8

1,2 ^

1,6

2,0

2,4 2,8

Ф и г . П . 1 1 . 2 . 1 .

Во временной области соответствующая характеристика, если передаточная функция g (s) задается уравнением (а), имеет вид

у (t) = 1 -VÏÔ5

<r2 i sin ( 4 / + 1,107).

(б)

Нормальная случайная ошибка прибавляется к у (t):

Y(t)=y

(t) + с

(в)

Оценивание

параметров

передаточных

функций

785

В данном случае Щ {е} = 0 и Var {е} = 5 - Ю - 4 . Имитированные значения г ж у [t) получены на цифровом моделирующем устрой­ стве MIMIC. На фиг. П . И . 2 . 1 , а показана типичная имитирован­ ная характеристика Y (t).

Функции (11.2.7) были получены (также с помощью модели­ рующего устройства MIMIC) путем замены yt (t) случайной вели­ чиной Yi (t). На фиг. П.11.2.1 показаны асимптотические значения Yt (t) при больших значениях t. Ошибка численного интегрирова­ ния не превышает 10~6Y. Были проведены четыре повторных эксперимента, по результатам которых вычислены следующие выборочные значения:

Y* = 0,207,

s2r* =

7,61.10-*,

5 * = - 0 , 0 1 1 1 ,

s y |

= 9,83.10-ß ,

s*y*)a = 6,41 • 10~6.

Подставляя полученные результаты в уравнение (11.2.8), получаем

 

' 0,207 "

(г)

аг _

. —0,0111_

 

откуда

ât = 0,207,

d2 = (0,207)2 + 0,0111 = 0,0539.

Приближенные значения дисперсии равны

Var{ôi} » sy* = 7,61 • 10"4,

 

Var fal}

» sy*)2 - f sfy* = 1,62 • 10~5.

 

 

 

1

2

 

11.2.2.

Получение

оценок

в пространстве

изображений

по

Лапласу

путем

преобразования

наблюдений

Некоторые авторы предлагают вместо преобразования пере­ даточной функции во временную область преобразовывать экспе­ риментальные наблюдения в пространство изображений. С этим предложением связаны две проблемы. Во-первых, существует проблема преобразования непрерывных и особенно дискретных данных без внесения в результаты существенной числовой ошибки. Во-вторых, при использовании метода наименьших квадратов в пространстве изображений по Лапласу, т. е. когда для оценива­ ния параметров передаточной функции g (s) минимизируется

* (*) = 2 [6 (*)-£(*)]»

(11-2.9)

Смотрите также файлы