Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 653

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

776 Глава 11

получается

передаточная

 

матрица

 

 

 

 

 

 

 

 

g (s)

= (si

+ а ) - 1

 

 

с элементами

gtj.

Таким

образом,

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

у (*)= g

(s) к

(s)

(11.1.10)

справедливо

 

и в

этом

случае.

Расписав матричное

уравне­

ние (11.1.10)

по

элементам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з'=і

 

 

 

 

 

 

можно заметить, что влияние xh

на г/г выражается через

gik (s).

Каждый

из

элементов

gtj

(s) называется передаточной

функцией

V

 

 

 

V

Xj.

 

 

 

 

 

 

для ух

относительно

 

 

 

 

 

 

Передаточную функцию можно получить идля моделей, представ­ ленных линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, но для каждой модели передаточная функция будет иметь различную форму. Типичный пример приведен в табли­ це 11.1.1. Интересно отметить, что передаточные функции для моделей с распределенными параметрами содержат экспоненты с параметром s в показателе. Обращаясь к таблице преобразований Лапласа, находим, что в соответствующей временной области имеет место запаздывание выходного сигнала относительно вход­ ного. Это запаздывание характерно для моделей, представляющих собой дифференциальные уравнения в частных производных, которые содержат член v (dcldz), описывающий конвекцию, или некоторый эквивалентный эффект. Физически запаздывание яв­ ляется временем прохождения входного сигнала через подсистему. Модели, содержащие только член, описывающий распределение частиц, как, например, уравнение диффузии dcldt = 3) (d2c/dz2), характеризуются мгновенными откликами, хотя начальная вели­ чина отклика равна нулю.

Теперь, когда мы рассмотрели получение передаточных функ­ ций и их форму, перейдем к методам оценивания параметров передаточной функции, форма которой известна.

11.2. О Ц Е Н И В А Н И Е П А Р А М Е Т Р О В М Е Т О Д О М Н А И М Е Н Ь Ш И Х

КВ А Д Р А Т О В

Вэтом разделе рассмотрим оценивание параметров передаточ­ ной функции методом наименьших квадратов как во временной области, так и в пространстве изображений по Лапласу. Пусть форма передаточной функции задана и требуется оценить ее коэф­ фициенты. В разд. 11.3 будет рассмотрен случай, когда форма

 

Таблица 11.1.1

Передаточная функция

для модели с распределенными параметрами, описывающей дисперсию

 

в трубе с двумя контрольными точками

Модель

Передаточная функция

Ко н т р о л ь н ый участок

О< z* < z*

дс*

дс*

1

д2с*

Aj + A2

 

где

dt*

dz*

P

dz*2

АЗ + АІ

'

 

 

 

 

 

Выход

трубы

 

 

 

 

 

 

 

z* ;> z*

 

 

dot

dcî

 

1

д24

Ai : №+и,п-и+*Гя}™{(<-<)'иЦ±Н)1Я]}.

dt*

1 9z*

Pb

ö z * 2

c* (**,0) =

cg (z*,

0) =

0,

A2 • [ ( ^ * Г + ( ^ Г Ы ( « - < ) ' [ Ы і + Я ' Ч } -

c*(z*-)^c*(z*+),

 

 

 

A3

 

 

c*

(z0,t)--

r*

 

 

 

Ai

 

 

( o o , i) — к о н е ч н а я

величина,

 

 

с* («*-)-

1

дс* (z*-)

 

 

 

 

dz*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

dct(z*+)

 

 

 

 

 

 

Рь

 

dz*

 

 

 

Здесь Р — число

П е к л е ; *- -безразмерная величина; z* — координата первой контрольной точки; zj — координата

второй контрольной

точки; z* • - д л и н а контрольного участка.

778

Глава

11

 

 

передаточной

функции неизвестна

и требуется

определить

как

-форму передаточной функции, так и ее коэффициенты.

 

Допустим,

что коэффициенты

передаточной

функции

g (s)

постоянны или, во всяком случае, изменяются незначительно за время, необходимое для получения оценки. Класс функций g (t) во временной области, соответствующих g (s), ограничим функ­

циями, которые

равны нулю при

t <С 0 и стремятся

к

нулю при

t ->• о о , т. е. функциями,

описывающими

устойчивые

процессы.

Последнее условие не является слишком

жестким,

поскольку,

например,

при

g (t) -> с0,

когда г—>-оо,

можно

рассматривать

функцию

[g (t)

— с 0 ] ->• 0

при

і - > о о .

Аналогичным

образом

если функция при t - > оо становится периодической, то,

вычитая

этот периодический член,

получаем функцию, которая

стремится

к нулю при t о о . Предполагается также, что обратное преобра­ зование X'1 [g (s)] однозначно.

Поскольку экспериментальные данные получают во временной области, то и рассмотрим вначале получение оценок во временной •области.

11.2.1. Получение оценок во

временной

области

путем обратного преобразования

передаточной

функции

Критерии оценивания «обычным» методом наименьших квадра­ тов требуют минимизации функции ф (см. разд. 9.2). Д л я непре­ рывных данных

ф= ([Gß)-g(t,

ß ) ] 2 ^ ,

(Ц.2.1)

-а для дискретных данных

ф=2

[G(ti)-g\(ti,

ß)]2 ,

(11.2.2)

где G (t) — наблюдаемая (эмпирическая) импульсная характери­ стика (случайная переменная), g (t, ß) — импульсная характери­ стика модели (результат обратного преобразования по Лапласу передаточной функции), ß — вектор подлежащих оцениванию параметров. Достаточными условиями минимума ф являются следующие:

Оценивание

параметров

передаточных

функций

779

2.Матрица Гессе для ф:

Гд2ф о2ф

flßi 9ß2

дН 92ф

öß2 dßi öß2 dß2

92ф

ößm dßrrt

является положительно определенной (либо выполняется некото­ рое другое эквивалентное условие, обеспечивающее минимум).

Разложим модель

d(s)

на элементарные дроби, как показано во многих руководствах по управлению процессами г ) (можно также использовать раз­ ложения другого типа):

eis,

ч

'

а 2

 

• • • '

(11.2.3)

ß ) = - s+Sl

s + s2

1

где —Sj, —s2 , . . .— корни знаменателя d (s) = (s + «i) (s+s2 ) • • •» т. е. полюсы передаточной функции g (s, ß), которые могут быть как действительными, так и комплексными, а параметры аи

a2t . . .

содержат

действительные

и

мнимые

части нескольких

полюсов. Если,

например,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ( S '

^ = (• +

«!) ( s + a 2 - f - i ß ) ( s + a 2 - i ß ) '

где ß имеет элементы а,

а 2 и ß,

то

можно

показать, что раз­

ложение

на элементарные

дроби имеет

следующий вид:

 

*(*,

ß)

=

ч

а2

 

 

 

а3

 

 

s + a 2

+ iß

s + a 2 — i ß

где

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S! = a j

 

«1 = ( « 2 - a i ) 2 + ß2 '

 

 

 

а2

=

 

 

1

 

 

S2 = a 2 - j - i ß ,

 

2 ß [ i ( a 2 - a i ) - ß ] '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

s3 = a 2 — i ß .

 

С о = - 2 ß [ i ( a 2 - a i ) + ß ]

'

*) Если

d (s)

как в некоторых моделях с распределенными параметрами, то параметры экспоненциального члена обычно определяются независимо от элементов вектора ß по данным о времени, которое необходимо, чтобы импульсный сигнал дал первый заметный отклик.

780 Глава 11

В исследуемой временной области модель имеет вид

*(*,Р) = з-Ч£(., ß)l =( „Г^.+ Р ,-

- P[(a,-t t l )» + P»]8 І П

Vß ' + a r C t g - ^ Г )

•

Легко показать, что условие

дф/dßj =

0 можно заменить

на

да/

'

&у

 

 

независимо от того, являются параметры a,j я Sj действительными или представляют собой комплексно-сопряженную пару.

Тогда (для непрерывных данных)

'/

m

0

3=1

'у

m

0i= l

иуравнения для оценок имеют следующий вид:

 

m,

(11.2.4)

 

 

 

~G(*) — 2 â^-e '*]âj<e"! J*<ft = 0 , ; = 7» + l , .

2ія.

5

i = l

 

Заменив интегралы суммами, аналогичные уравнения можно полу­

чить

и для дискретных

данных.

К

сожалению, весьма

много векторов ß удовлетворяют суще­

ственно нелинейным уравнениям (11.2.4). Дике [4] показал, что верхний предел числа решений равен (Ы — 3), где d — порядок знаменателя передаточной функции, используемой в качестве модели. Таким образом, использование уравнений (11.2.4) может привести к весьма смещенным оценкам вследствие существования нескольких локальных экстремумов для ф. Итерационные методы минимизации ф в соотношениях (11.2.1) или (11.2.2) для времен­ ной области, описанные в гл. 6, дают более подходящую схему оценивания параметров методом наименьших квадратов.

Более удовлетворительный метод оценивания параметров соот­ ношения (11.1.3) состоит в следующем. Разделим уравнение (11.0.1) на а0 и подберем такую функцию х (t), чтобы правая часть урав­ нения (11.0.1) имела свободный член, равный единице. Тогда

Смотрите также файлы