Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 651

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

786 Глава 11

или некоторое другое аналогичное выражение, невозможно оце­ нить аналитически смещение оценок параметров (в предположе­ нии, что метод наименьших квадратов во временной области дает, несмещенные оценки). Исследования, выполненные методом ими­

тации, показали наличие

значительного смещения,

когда

или

s

 

 

 

^{s) =

yi[G{s)d(s)~n(s)i{s)\2

 

s

 

 

минимизируется методами, рассмотренными в разд. 6.2. К сожале­

нию, невозможно дать ответ на следующий вопрос: какой

критерий

необходимо использовать, чтобы оценки в пространстве

изображе­

ний по Лапласу были эквивалентны оценкам, получаемым методом наименьших квадратов, во временной области? Невозможно также дать ответ и на такой вопрос: какой критерий во временной обла­ сти эквивалентен критерию наименьших квадратов в пространстве изображений по Лапласу?

Первая из названных проблем — числовое преобразование данных — является менее серьезной. Беллман и другие авторы [5, 61 предложили снимать экспериментальные данные для полу­ чения импульсной характеристики через определенные промежут­ ки времени (указанные в работе [5]), чтобы при преобразовании можно было использовать квадратурную формулу. Однако такой подход может оказаться неудобным или нецелесообразным с точки зрения планирования эксперимента. Большой объем данных может быть потерян в интервалах между моментами снятия отсчетов.

По-видимому, более удачный метод состоит в том, что наблюде­ ния проводятся в наиболее подходящие моменты и после этого

эмпирическая характеристика

G (t)

аппроксимируется кусочно-

линейной

функцией.

Если

тангенс

угла наклона какого-либо

отрезка

в интервале

tt ^

t ^

ti+l

равен

 

 

,

 

_G(tl+i)-G(tt)

 

 

1 —

 

Т.

Т. '

то характеристика G (t) в этом же интервале имеет вид

 

G i i

( 0

= rG(tM)-G(u)

{ t _ t i ) +

G { t

i

) l у {t_tt)i

(ц . 2 . 10)

где

U (t —

ti)

— единичная

ступенчатая

функция,

равная

нулю

при

t<Ctj.

Кроме

того, необходимо

исключить

вклад

Gxi (t)

после момента ti+1,

вычитая

из

формулы

(11.2.10) следующее

выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G2i(t)

 

=

гі+1—li

{ t

_ ,

)+

G{

t

. + l ) —

t i + i ) .

 

 

 

 

I-

 

 

 

 

 

J

 

 

 

Оценивание

параметров передаточных

 

функций

787

После

преобразования функции Gu(t)—C2i(t)

по Лапласу для

интервала

tt ^ t ^

ti+t

получаем

 

 

 

^(8)

= е - Ц ^

+

Ц ^ ) ~ е - ^ ( ^ ^ ^ ^ ) .

( Ц . 2 . И )

Для любого момента

t >

0 эмпирическая

импульсная

функция

в пространстве изображений по Лапласу равна

сумме

отрезков,

заданных

формулой

(11.2.11):

 

 

 

0 ( « ) = 2 l V - « ( ^ + ^ ) - e - - w ( ^ +

e ( Î £ t â ) .

(Ц.2.12)

 

І = І .

 

 

 

 

 

 

Непрерывные данные можно преобразовать с помошью анало­ говой или гибридной вычислительной машины либо путем числен­ ного интегрирования. Подставляя в формулу

 

оо

g(s) =

^e-stf(t)dt

 

о

st = z, получаем

о

 

Записывая это выражение в виде

 

оо

 

g(s) = s-^zqe-zy(z)dz,

? > — 1 ,

о

 

можно увеличить точность вычислений. Этот интеграл можно аппроксимировать линейной комбинацией функций, содержащих полиномы Лагерра:

ооп

 

J zqe~z\\> (z) dz « 2

АьУ(*ь)-

 

 

0

ft='l

 

 

 

Подробные

таблицы Ak

и ф (tk) приведены

в работе [7].

Суммирование по s

в формуле

(11.2.9) требует

некоторых

пояснений.

Поскольку

s — комплексный

параметр,

он может

пробегать

значения по любому контуру в комплексной области,

не содержащему полюсов преобразованного

решения. Для удоб­

ства обычно задаются действительные целочисленные

значения s

от 1 до N после того, как проверка покажет, что полюсы функции

g (s) не лежат на действительной оси. Предлагаемые

значения s

придают больший вес более ранним

наблюдениям и меньший вес

более поздним, так как X [t] = 1/s2.

788

Глава 11

Таким образом, можно сделать вывод, что оценивание в про­ странстве изображений по Лапласу методом наименьших квадра­ тов возможно, если наблюдения преобразованы, однако получае­ мые оценки параметров будут смещенными.

[ 11.3. М Е Т О Д Ы О Р Т О Г О Н А Л Ь Н Ы Х П Р О И З В Е Д Е Н И Й

Рассмотрим теперь метод оценивания коэффициентов передаточных'функций, который впервые предложили Пури и Вейгант [8]. Пусть

 

 

 

| ( Ä , ß ) = c ^ M

(Ц.3.1)

 

 

 

 

d(s)

 

— модель процесса,

где

с — некоторая постоянная,

 

n (s) = bnsn

+

bn-iSn-1

+...+hs+i,

 

d (s) = adsd

-

f

acids'*'1 +

. . . + a i s + 1, d > « +

1,

üj

и

Ъ]—параметры,

 

подлежащие

оцениванию. Д л я каждого из

р =

п + d +

1 неизвестных

параметров

передаточной функции

g (s,

ß)

определяем

постоянную метки

следующим

образом:

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zj=\g(t,

$)fj(t)dt,

7 =

0,

1,

p,

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

где

fj

(t) — рассматриваемые

далее

произвольные

функции.

 

Согласно

теореме

Парсеваля,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

Іоо

 

 

 

 

 

 

 

 

zj =

]g{t,

hîj{t)dt

= ~

j

g (8,

$)fj(-s)ds.

 

 

 

 

0

 

 

—ioo

 

 

 

 

 

Если порядок функции fj (s) таков, что степень знаменателя про­

изведения [g

(s, ß) fj

(—s)]

не менее чем на два порядка

превы­

шает степень

числителя,

то

 

 

zi

= m§è(s,P)fj(-s)ds,

(11.3.2)

где контур охватывает правую полуплоскость по часовой стрелке. Пури и Вейгант выбирали функции /7- (t) следующим образом:

/

fit)

/(«)

7 = 0

f0(t) = U(t)

/о00 = т

7 > 1

/,(*) = *-"'*

hto-rèn

Оценивание

параметров

передаточных

функций

789

где a,j — произвольные коэффициенты, a U (t) — единичная сту­ пенчатая функция. Дике [4] предложил использовать следующие функции:

U (О

h (*)

 

1

1

 

s + aj

s + y

UV) = e-*

i

1

Тогда, согласно формуле (11.3.2),

 

 

 

= # ( « . ? ) - £ ( Y),

7 = 1, 2,

(11.3.3)

*T = À § Z ^ )

 

 

 

 

 

(H-3.4)

*o=

f

ß)/0(*)& = l i m [ " - f

ß)l

=c45- = c .

(11.3.5)

 

J

 

s_>o L s

 

J

 

a (0)

 

обра­

Комбинируя соотношения

(11.3.3) — (11.3.5) следующим

зом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zj = І (aj) - g (T) = с

d (aj)

~ z ? = zo 4 ? T ~ z °"

 

находим

 

 

 

 

d (a,j)

 

 

 

z0n(ay) = (zj + zY)d(ay)

 

 

или

 

 

 

 

 

 

n(aj)

= hJd(ai),

 

(11.3.6)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

несколько

более

общей передаточной

функции,

чем

(11.3.1),

а именно для

 

 

 

 

 

 

Дике

показал, что,

g (s, ß) = c s

m 4 f f ,

m > l ,

(11.3.7)

вводя

величину

 

 

 

t

Jlg(t)]^

j" g(t)dt

Смотрите также файлы