и обозначая символом Jk к последовательных операций интегри рования в интервале от 0 до t, можно получить новые постоянные метки
оо |
|
|
|
|
z0k = j * 3h |
[g (t, ß)) f0 |
(t) dt = 0 |
при к < |
m, |
mu |
|
"(0) = t, |
|
|
z<*= j Jh te(*. |
ß ) ] / 0 ( 0 |
при |
= m, |
d(0) |
|
|
где /о по-прежнему равняется U (t). Затем необходимо определять ZQU при к = 1, 2, 3, . . . до тех пор, пока не получится первое ненулевое значение zo ; „ которое будет использоваться в дальней шем как z0. Таким образом.
|
|
|
|
_ |
m n (aj) |
zy |
|
|
|
|
|
Zj — z0a3- -у- - |
|
|
|
|
|
|
d(a.j) |
|
|
и уравнение, |
эквивалентное (11.3.6), |
имеет |
вид |
|
|
|
|
afh |
(aj) = h/d (а,-). |
(11.3.8) |
Уравнение (11.3.8) можно |
записать в матричной форме, которую |
можно |
использовать |
для |
определения |
параметров передаточной |
функции (11.3.7): |
|
|
|
|
|
|
т + 2 |
а Г |
+ п |
- А і а і |
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
a m + 1 |
т + 2 |
|
1 — h2az |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
L a |
т + 2 |
„ m + n |
I , |
|
|
|
а д + і ! • • • а п + < 2 — « n + d C S n + d |
|
|
|
|
|
|
|
X |
/г2 |
— < |
|
|
|
|
|
|
(11.3.9) |
Рассмотрим пример, поясняющий детали этого метода для слу чая детерминированных величин.
Пример 11.3.10. Оценивание коэффициентов передаточной
функции |
|
|
|
Допустим, что передаточная |
функция |
имеет |
вид |
a3 s3 |
-(- a2 s2 - j - |
«js -f-1 |
(а) |
Проиллюстрируем применение соотношения (11.3.9) при отсут ствии ошибки, используя вместо численного интегрирования ана
Оценивание параметров передаточных функций 791
литическое интегрирование. В данном примере предположим, что экспериментальная импульсная характеристика во временной
области |
представляет |
собой |
детерминированную |
функцию |
|
|
|
|
|
|
£(*) = |
2 е Г * - е - ' , |
|
|
|
(б) |
эквивалентную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(*> ß ) = |
s 2 + 3 s + 2 |
• |
|
|
W |
Таким |
образом, |
решая |
уравнение |
(11.3.9), |
нужно |
полу |
чить следующие |
результаты: |
|
|
|
|
|
с = |
|
1 |
3 |
= |
~2, |
«2 = |
1 |
0, |
6 , = 0 |
и т = |
1. |
"2", |
аі |
— , оз = |
Первым |
этапом |
является |
вычисление |
zoh |
путем |
последователь |
ного интегрирования импульсной характеристики во временной
области |
до |
появления |
первого |
ненулевого |
значения |
z0k: |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
ft = |
0: |
z0 0 |
= |
\ |
J°[g(t)]dt= |
|
j |
(2e-2 i — e~l)dt |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
о |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
k = i: |
z 0 1 = j J M ^ ( * ) ] d < = j J ( 2 е - 2 т — е - т ) Л Л = |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
z0 1 |
= |
x / 2 , то |
|
c = |
V 2 , |
a |
так |
как fe = |
1, то и |
m |
= 1. |
Следующим |
этапом |
является |
выбор |
четырех |
значений |
aj |
(для |
четырех |
значений |
hj) |
|
и |
одного |
|
значения |
у: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_ |
І |
|
_ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кі — -jj- , |
а 2 — -1 j а |
з |
— "2~ > |
|
|
|
|
|
|
|
|
а 4 |
= |
4 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычисление |
значений |
zy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«i = |
j |
g(t)idt)dt |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо
1
= j (2е-2 * — е - ' ) ( е - ^ 2 — |
e'%t)dt=- 30 |
792 Глава 11
Z2 |
= j |
(2e-2 ( —e"') (e"' —e"2 ') d* = |
0, |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
Z3 |
= j |
(2<r2< —e -<) (e-3 */2 — e~2t)dt |
= 210 |
|
z 4 |
= j |
(2e-2 ! — |
•t/4. |
|
7 |
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение |
(11.3.9) принимает |
вид |
|
|
" 1 |
2 |
1 |
1 |
|
7 |
- |
|
4 |
15 |
— 15 |
30 |
|
~ 30 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Г b i |
2 |
|
|
3 |
3 |
3 |
ßt |
3 |
|
|
|
(г; |
|
9 |
18 |
27 |
81 |
а2 |
81 |
|
|
|
4 |
35 |
35 |
70 |
-а3- |
70 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
13 |
|
|
|
|
. 16 |
45 |
90 |
320 |
|
L 180 J |
Уравнение (г) имеет |
следующее решение: |
Заметим, что Ьх = 0 и а3 = 0, как и требовалось.
Теперь исследуем влияние ошибки процесса на применение уравнения (11.3.9) для получения оценок, если вместо детермини рованной функции g (t) должны использоваться эксперименталь ные значения импульсной характеристики G (t). Допустим, что ошибка прибавляется к детерминированному выходному сигналу во временной области:
|
|
G (t) |
= g (t, ß) + |
e (t), |
|
|
где e (t) — стационарный шум, амплитуда которого |
распределена |
по нормальному |
закону |
с нулевым |
средним и дисперсией |
а|; |
шум e (t) |
некоррелирован |
с g |
(t, ß). |
|
|
|
Допустим, что |
fj (t) = |
е~аі*. |
Тогда (в данном |
случае Zj |
— |
случайная |
величина) |
|
|
|
|
|
Zj= \ [g(t, V)f)(t) + |
s(t)fj(t)]dt, |
Оценивание параметров передаточных функций 793
и |
математическое |
ожидание |
случайной величины Z 7 |
имеет вид |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%{ZJ) |
= n[\[g{t, |
ß ) < T a / + e ( О е - " ' ' * ] } =g(aj). |
(11.3.10) |
Вычислим дисперсию случайной величины Zj |
|
|
Var {Zj} = ai . = % {Zj} - |
[Щ { Z , } ] 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
0 |
|
|
|
|
I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
- |
g% |
|
= |
g |
{ ? |
(«;) - L 2g (a,-) j 8 (*)e |
" V |
dt + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ü |
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J 8 (f) в" V |
eft |
j e (f) « T V dt\-g* |
(aj) |
- |
|
|
|
|
о |
|
|
|
0 |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ? |
(a; ) + |
2g (aj) |
g { j e (*) < T a / |
+ |
|
|
|
|
|
|
oo |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ g { j |
J 8 ( ï ) e ( T ) e - ^ V ^ T d ^ T } - i 2 ( a ; - ) - |
|
|
|
|
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
j g {e (0 e (x)} е~аі*е~аіх |
dt dx = |
|
|
|
|
|
|
0 |
Ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j |
ai£/ |
(* - |
T ) е~аі*е-аіх |
dt dx = |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
a| j e - 2 e j ' ^ = ^ _ . |
(11.3.11) |
|
Если |
fj |
(t) = |
e~aJl |
— e-V, |
то, |
выполнив |
довольно |
значитель |
ный объем аналогичных вычислений, можно показать, |
что когда |
Zy |
вычисляется |
независимо |
от |
Zj |
как |
|
|
|
то
V « ^ - l [ ^ ^ ] . |
( И . З Л 2 , |
где ошибки e (t) и &у (t) могут быть различными, но они должны быть некоррелированными:
|
|
|
Ш{Ъ {t) 8 |
(Т)} = |
О, |
|
|
|
|
Щг (t) е, (т)} = О |
|
и ai = |
a|t . |
Выбор |
функции f} (t) |
= е - |
0 ^ — |
более предпочти |
телен, |
чем |
выбор |
функции |
|
|
|
если, как первоначально требовалось, ex, <і у. С целью макси мального уменьшения дисперсии Дике предлагает учитывать условие
Дисперсию Zj можно также уменьшить путем повторного прове дения экспериментов. Уравнение (11.3.9) превращается в систему переопределенных уравнений, которую можно решить одним из методов наименьших квадратов; за оценки параметров могут быть приняты средние значения этих параметров, полученные в каждом эксперименте. Даже если дисперсия Zj может быть вычислена,
|
|
|
|
|
|
|
дисперсии коэффициентов |
передаточной |
функции g (s, ß) невоз |
можно |
рассчитать |
непосредственно, хотя |
их можно аппроксими |
ровать, |
линеаризуя |
уравнение (11.3.9) |
относительно Zj. |
Пример 11.3.2. Получение оценок при наличии шума |
Рассматриваемые |
здесь |
примеры взяты из работы Дикса [4] |
и иллюстрируют |
влияние |
на оценки нормально |
распределенного |
шума с нулевым |
средним, |
а также выбираемых |
значений A.t, aj |
и т. д. Интегралы |
были вычислены на цифровой |
вычислительной |
машине по формуле трапеций. Обращение матриц (11.3.9) для
отыскания вектора |
параметров |
проводилось |
методом |
исклю |
чения. |
|
|
|
|
|
В л и я н и е в е л и ч и н ы |
и н т е р в а л а |
в р е м е н и |
At п р и и с п о л ь з о в а н и и |
ф о р м у л ы |
|
т р а п е ц и и . |
Были имитированы |
данные для |
подгонки следующей |
модели: |
|
g(s,$) = c |
2 У Л |
т |
- - |
(а) |
При этом нормально распределенная случайная ошибка прибав
лялась |
к функции g (t) |
= 8e _ 0 ' 4 t |
— 7e-°>6 t |
во временной |
области, |
которой |
соответствует |
функция |
g (s) = |
(s + 2)/(s2 + s |
+ 0,24) |
в пространстве изображений. Следовательно, «истинными» значе ниями параметров были: с = 8,333, by = 0,500, a4 = 4,167 и а2 = = 4,167. В табл. П.11.3.2а показано влияние величины интервала
