Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 641

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание параметров передаточных

функций

799

где т — интервал между измерениями; N —число

измерений

за цикл; / — частота.

 

 

Таким образом, основное назначение z-преобразований состоит не в том, чтобы оценить коэффициенты в z-пространстве, а затем определить эквивалентные параметры передаточной функции в «-пространстве, а в том, чтобы проанализировать динамическую систему, описываемую разностным уравнением. Разностное урав­ нение может быть разностным аналогом дифференциального урав­ нения либо может представлять собой самостоятельную модель, описывающую дискретные данные.

Допустим, что процесс должен быть описан разностным урав­ нением известной формы:

У (tk) + аіУ (h

—

 

+ а2у (tk — 2т) +

. . . + апу (tk

— пх) =

= Ъ0х (tk)

+ btx (th

— т) +

. . . +

Ътх

(tk — mx),

 

 

(11.4.3)

где последовательность значений у — дискретные значения

выход­

ного сигнала,

последовательность

значений х — дискретные зна­

чения входного сигнала, a th

— к-й момент измерения. Выполняя

z-преобразование

уравнения

(11.4.3),

получаем

 

 

 

 

у (z) + a,z- 1 j/ (z) + . . .

 

- i -

anz~ny

(z) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

b0x (z) + b2z~xx (z) - f . . . - f bmz~mx (z).

Передаточная

функция в пространстве z-изображений

 

имеет вид

 

 

g ( s )

=

i<±=

 

l 1

&mZ

 

.

 

(И.4.4

 

 

 

 

 

 

 

 

'0+b-1+---+ ",r

 

 

 

Сравните формулу (11.4.4) с формулой (11.1.3), учитывая при

этом, что

параметры

формулы (11.4.4) не тождественны

пара­

метрам уравнения (11.1.3), а связаны

с ними, как

указывалось

ранее, очень сложной

функциональной зависимостью.

 

 

 

 

 

11.4.2.

Введение

ошибки

 

 

 

 

Обозначим,

как обычно,

вектор из (т + п + 1)

коэффициен­

тов уравнения

(11.4.3) и формулы (11.4.4) через ß и

запишем

уравнение

(11.4.3)

 

в

матричной

форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßT yf t = 0.

 

 

 

(11.4.5)

Кроме того, как обычно, к прибавим ошибку, включающую вызываемые входным сигналом:

Yf t = yf t

детерминированному отклику все воздействия на него, не

+ gf e ,

(11.46)

800

Глава 11

где

Г 1 "

-у (h)

 

У (tk — т)

Я 71

y(th

— nx)

- h

x(th

— x)

- — bm-

.X (tk — mx)-

Г er (th)

er (tu — T )

e r ft — nx)

ex ft)

e* ft — T )

sx(tk — mx)

Предполагается, что аддитивные ошибки имеют известную кова­ риационную матрицу Г и что математическое ожидание каждой отдельной ошибки равно нулю.

11.4.3. Получение оценок методом ошибки

уравнения

Если в уравнении (11.4.5) заменить yk на (Yfe — eft), то можно получить так называемую ошибку уравнения

 

 

 

 

 

е& = ß T 8 f t

— ßTYft.

 

 

 

 

Элементы вектора ß можно выбрать таким образом, чтобы

минимизировать

сумму

квадратов

ошибок

уравнений

для

всех векторов

Yh, как показано

в гл. 5. Итак, минимизируется

 

к

е?,

 

 

 

К;

К>п

+ т + 1,

 

 

2

Ä =

l , 2,

 

 

fe=i

 

 

 

 

 

 

 

 

что

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß

= -

l

l

 

Y f e y f t ) ] ,

(11.4.7)

 

 

 

Yfe

 

ft=i fe=i

 

 

 

Y ft),

где

Yk — вектор

с

вычеркнутым

первым

элементом

a ß

— оценка

вектора ß, в котором вычеркнут

первый элемент, 1

Обратная матрица, входящая в уравнение

(11.4.7), будет

суще­

ствовать, если последовательность входных величин не является решением однородного разностного уравнения, порядок которого меньше т.

Оценивание методом ошибки уравнения не позволяет получить несмещенные или наилучшие оценки параметров. Основным достоинством этого метода является его простота и возможность получения довольно хороших оценок.

 

Оценивание параметров

передаточных

функций

801

НАЛ.

Получение

оценок

методом

максимального

 

 

 

 

правдоподобия

 

 

Левин

[10]

получил

оценки

параметров

уравнений

(11.4.3)

и (11.4.4)

методом максимального правдоподобия. Чтобы

во всех

наблюдениях были независимые ошибки, последовательности зна­ чений Y и X должны быть получены из неперекрывающихся во времени последовательностей. Кроме того, число групп наблюде­ ний должно быть больше числа оцениваемых параметров. Пред­ полагается, что все наблюдения Y f t (как Y, так и X) имеют много­

мерное

нормальное распределение *), а

функция

правдоподобия

записывается

как

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Р (Уі, • • • » Уь) =

Qn)l-K(.n+m+2)y2

Х

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

хехр[—і-2 (Yfc-y^fr-MYfc-yfc)].

Максимум p

(уi, . . ., уh) можно

получить, минимизируя

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

Ф= S ( Y f c - y f c

) T Г-MYk-yfc)

(11.4.8)

по y h ,

где yf e

удовлетворяет

уравнению

связи (11.4.3). Роджерс

и Штайглитц [11] рассматривали получение оценок методом максимального правдоподобия в пространстве z-изображений.

Очевидно, что если ошибки для близко расположенных значе­ ний коррелированы, то интервалы между измерениями необхо­

димо увеличить, чтобы получить некоррелированные

ошибки.

Следовательно,

при такой методике получения оценок значитель­

ная часть имеющихся данных может быть не использована.

 

Смит и Хилтон [12], а также другие авторы показали, что

минимизация

критерия ф,

определяемого формулой

(11.4.8),

с

учетом уравнения связи

 

(11.4.3)

эквивалентна

минимизации

 

 

 

 

 

k--

ß j r ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по

ß. Минимальное

значение

А равно

наименьшему

значению X,

удовлетворяющему

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(irS

Y f t Y f t

T - ^ r ) ß = 0,

 

(11.4.10)

 

 

 

ft=i

 

 

 

 

 

 

 

*) Ф у н к ц и я

распределения

имеет

вид

 

 

 

P ( Y t < л ; Y 2 < у 2 ; . . . ; Y K < у к } .

r

802 Глава 11

a вектор оценок коэффициентов ß является собственным

вектором,

соответствующим

% = </>МІШ-

 

Хотя обычно оценки параметров являются смещенными, Левин

показал, что если

ошибки малы по сравнению с наблюдениями,

то величина смещения мала по сравнению со средними

квадрати-

ческими отклонениями параметров. Левин также показал, что при использовании перекрывающихся наборов наблюдений вели­ чина смещения не намного больше, чем при использовании непере­ крывающихся векторов. Приближенное выражение для ковариа-

ции

оценок

коэффициентов

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

СоС{$}ъ$-р-[±%

 

Ykn]~l

,

(11.4.11)

где

знак ~

означает, что вычеркивается

первый элемент вектора.

Пример 11.4.1. Оценивание параметров разностных уравнений

Рассмотрим

следующее

разностное уравнение:

 

У (h)+ о-іу (tk

— т) + а2у

(tk

— 2т) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ьо*

(th)

+

btx (th

— т), (а)

для

которого

z-изображение имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

g( Z ) =

l + al Z -i + a2 Z -^

 

 

(б)

где т — период

измерений,

равный 2nlNf; N

— число

измерений

за цикл; / — частота. Обозначим первую пару наблюдений, полу­

ченных в момент 1т, соответственно

через

Xt и У 4 , где Xt —

значение

входного сигнала,

a 7 f — значение

выходного сигнала;

Х2 и Y2

— наблюдения в

момент

t =

2т и

т. д.

Уравнение (а)

с

коэффициентами

 

 

 

а4

=

1,96664,

Ъ0 =

0,

 

 

а2

= 0,969072,

6, =

0,002428

соответствует следующей передаточной функции в пространстве

изображений

по Лапласу:

 

 

 

 

 

S (s ) = s 2+ 4s_|_4o *

 

(в )

Для входного

сигнала

 

 

 

 

 

x (t) = 1 -

e-10t

 

(г)

«истинный отклик»

во временной области

имеет

вид

У (t) =

(е-*)

cos 6t -

(е-*) sin 6t -

Ае^

+ 1, (д)

Оценивание параметров

передаточных

функций

803

где

 

 

 

 

ci

=

—432,

 

 

с2

=

624.

 

 

На фиг. П.11.4.1а показаны детерминированные входной и выход­ ной сигналы.

Для имитации реального процесса к x (t) и у (t) добавлялась случайная ошибка, распределенная по нормальному закону,

1,2

О I

I

I

I

I

I

I

I

I

О

0,2

OA

Oß

Oß

Iß-

1,2

1A

Iß

,A

 

 

Время,с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

0,2 OA

Oß Oß

Iß

1,2

IA Iß

 

 

Время, с

 

 

 

Ф и г. П . 1 1 . 4 . l a .

Детерминированный

входной

сигнал и отклик .

и периодически выбирались

значения

имитированного входного

и выходного сигналов. При этом обеспечивалось нормальное рас­ пределение для частоты выборки как функции амплитуды с нуле­ вым математическим ожиданием и дисперсией а2 . Предел За

соответствовал 5% установившегося значения, равного 1, т. е. а

=

= (0,05/3) = 0,0167.

На фиг. П.11.4.16 показана относительная

ошибка в процентах

для значений наибольших коэффициентов

а}

Смотрите также файлы