Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 643

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

804 Глава 11

и bj, определяемая при различных методах оценивания как

Ошибка

[ % ] = -Оценка — Истинное

значение

 

 

 

Истинное значение

 

И с п о л ь з о в а н и е

п о с л е д о в а т е л ь н ы х

н а ­

б л ю д е н и й . В

уравнение

(а) вместо у

и х были подставлены

<=> Ю'3

ю~2

ю"

i

w

wo

Относительная

ошибка,

прибавленная

 

 

к

y(t), %

 

 

 

Ф и г . П.11.4.16.

А — измерения в последовательных точках, уравнение (е); Б — периодическая коллокация, уравнение (ж); В — метод ошибки уравнения, уравнение (11.4.7); Г — метод максимального правдоподобия, уравнение (11.4.10); Д — метод максимального правдо­

подобия.

последовательные наблюдения и решено полученное матричное уравнение:

 

х п +

 

 

Г Yn+2 '

Xn+з

 

Yn+2

Уп+1

Yn+3

Xn+i

Xn+з

Yn+3

Y n + 2

(e)

Yn+i

LXn +5

Xn+i

Y n + i

Yn+3-^

•a2j

В уравнение (e) входят только пять последовательных значений входного сигнала и шесть последовательных значений выходного

сигнала, поэтому оно содержит меньше информации

относительно

g (z), чем приведенное ниже

уравнение (ж).

 

 

П е р и о д и ч е с к а я

к о л л о к а ц и я .

Вместо

всей

последовательности данных может быть использовано, как,

напри-

Оценивание параметров передаточных функций 805

мер, в

уравнении

(ж),

каждое

десятое

наблюдение:

 

 

~ Х п + 2

Х п + і

 

-

V

~Yn+2~

 

 

Ха+2

Ха+1

Y a + i Ya

 

bi

Y a +2

(ж)

 

^ß+2

Хт

n

 

— ßi

Ур+2

 

 

 

 

-Ху+2 Ху+І

Yy]

-

—a2.

- Yv+2 -

 

Кривая Б на фиг. П.11.4.16 изображает ошибку для величин

п,

а, ß и у,

каждая из которых уменьшена в 10 раз. Как при исполь­

зовании

уравнения (е),

так и при использовании уравнения

(ж)

ошибка оценки значений наибольших коэффициентов быстро возрастает с увеличением ошибки, представляющей шум про­ цесса.

О ц е н и в а н и е

п о м е т о д у о ш и б к и

у р а в н е ­

н и я . Кривая В на фиг. П . И . 4 . 16

показывает результаты для

100 последовательных

наблюдений,

когда для получения оценок

используется уравнение (11.4.7).

 

 

С г л а ж и в а н и е

д а н н ы х п о м е т о д у

о ш и б к и

у р а в н е н и я . Был подобран многочлен, описывающий входные и выходные данные. В первоначальные моменты наблюдения были определены значения сглаженной непрерывной функции времени и полученные значения X и У подставлены в уравнение (11.4.7). Сглаживание с использованием многочлена шестого порядка было неудовлетворительным, так как этот многочлен слиш­ ком сильно отклонялся от истинного отклика, чтобы его можно было использовать при оценивании. Непосредственное сглаживание с помощью многочлена пятого порядка перед получением наи­

меньших

квадратов

ошибки уравнения

дало оценки

не

лучше

изображаемых кривыми

л

и Б на фиг. П.11.4.16.

 

 

О ц е н и в а н и е

п о м е т о д у

м а к с и м а л ь н о г о

п р а в д о п о д о б и я .

Кривые Г и Д на фиг. П.11.4.16

изобра­

жают оценки максимального правдоподобия для двух

различных

ковариационных

матриц

 

Г.

 

 

 

Пример

11.4.2.

Моменты

наблюдения и

смещение

 

 

В работе [14] приведены некоторые данные, полученные при имитировании методом Монте-Карло, о влиянии интервала между наблюдениями и ошибки процесса на смещение и дисперсию оце­ нок параметров разностного уравнения.

В модель процесса, передаточная функция которого имела вид

s 2_(_o,5s+l '

4 >

вводилась детерминированная переходная характеристика. К де­ терминированному отклику прибавлялась нормальная слу­ чайная ошибка (фиг. П . И . 4 . 1а) . По данным, полученным при

806 Глава 11

четырех различных

интервалах

задержки (т = 0,25;

0,50;

1,0

и 2,0 с) при продолжительности

наблюдений —т ^

t ^ 8,0

с,

оценивалось

z-изображение с

четырьмя

параметрами:

 

 

 

 

1-f a1z~1-\-a2z~2

'

 

(б)

Отношение

сигнала

к шуму

равно 100.

 

 

 

На фиг. П . И . 4

. 2 показано смещение оценок параметров,

полученных

усреднением по 25 оценкам. Оценивание

ПРОИЗВОДИ­

СЬ 0.5 g

S3

/

/

/

-0,5

/

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

О

Oß

1ß

Iß

 

Zß

О

Oß

Iß

lß

Zß

 

Интервал между

измерениями., с

 

 

Интервал

между измерениями,

с

О

Oß

1ft

lß

Zß

О

Oß

1,0

1,5

2,0

 

Интервал между

измерениями ,с

Интервал между

измерениями,с

 

Ф и г. П . 11

. 4 . 2 .

Большое отношение

сигнала

к

шуму .

 

 

• метод

максимального

правдоподобия;

 

метод

ошибки уравнения.

лось двумя методами: 1) методом ошибки уравнения и 2) методом максимального правдоподобия. Точные значения параметров уравнения (б) равны

ах

=

-1,824,

ЬІ =

0,030,

а2

=

0,882,

Ьг =

0,030.

Оценивание параметров передаточных функций 807

В табл. П.11.4.2а приведены средние квадратические откло­ нения, вычисленные по формуле (11.4.11).

Из графиков на фиг. П.11.4.2 и табл. П . И . 4 . 2а видно, что величина смещения оценок, полученных методом максимального правдоподобия, при любых значениях т значительно меньше среднего квадратического отклонения. И наоборот, величина смещения оценок параметров знаменателя, полученных методом

ошибки

уравнения,

при т ^ 0,50 равняется

двум

 

и даже

боль­

шему числу средних

квадратических отклонений. Заметим

также,

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

 

П.11.4.2а

Средние

квадратические

отклонения, полученные

на основе 25

оценок

 

(в скобках записаны округленные истинные значения)

 

 

Интервал

ai

 

 

а2

 

Ъі

 

 

 

 

между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наблюде­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ниями т

I

 

i l

I

H

I

и

 

I

 

II

0,25

0,109

1,825

0,125

2,133

0,172

1,457

0,152

1,191

 

(0,22)

 

 

(0,25)

 

(0,55)

 

 

(0,50)

 

0,50

0,108

0,221

0,151

0,312

0,187

0,175

0,154

0,103

 

(0,20)

 

 

(0,25)

 

(0,37)

 

 

(0,31)

 

1,00

0,116

0,137

0,169

0,223

0,205

0,252

0,138

0,148

 

(0,15)

 

 

(0,24)

 

(0,25)

 

 

(0,17)

 

2,00

0,173

 

 

0,578

0,485

 

 

0,159

 

 

(0,17)

 

 

(0,61)

 

(0,47)

 

 

(0,17)

 

I — оценки, полученные

методом

ошибки

уравнения;

I I — оценки, полу ­

ченные методом максимального правдоподобия.

 

 

 

 

 

что при любом

значении т наиболее

смещенная

оценка

коэффи­

циентов, полученная методом ошибки уравнения, имеет большее смещение, чем наиболее смещенная оценка коэффициента, полу­ ченная методом максимального правдоподобия. Хотя оценки, полученные методом ошибки уравнения, оказываются менее сме­ щенными при коротких интервалах между измерениями, при малых отношениях сигнала к шуму наблюдается совершенно обратная картина (табл. П.11.4.26). Нормированным смещением называется смещение, деленное на выборочное среднее квадратическое отклонение.

В табл. П.11.4.2в сравниваются квадратные корни из эле­ ментов ковариационной матрицы, вычисленной по формуле (11.4.11), с аналогичными значениями, полученными по 25 выбор­ кам при т = 1,0 и отношении сигнала к шуму, равном 100. Матри­ ца симметрична. Средние квадратические отклонения (на главной диагонали) хорошо оценены, однако элементы, не лежащие на главной диагонали, значительно отличаются друг от друга.

Смотрите также файлы