Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 613

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

99

то какова плотность распределения вероятности X и У, р (х (] у) —

— Р (х> У)і

если X

и

У" — независимые случайные величины?

(Термин П

объяснен

в приложении А.)

 

 

2.9. Какой смысл «совместного распределения накопленной вероятности»? Приведите пример дискретного и непрерывного совместного распределения. Нарисуйте график и обозначьте оси.

2.10.Можно ли интегрировать и дифференцировать случайные величины?

2.11.Найдите математическое ожидание каждой из следую­ щих величин (У" — случайная переменная, у — детерминирован­

ная переменная, а — постоянная):

б ) ^ •

°' dfi '

в) / ( У ) = j(6Y-r-5)e-*£tt;

п

г) f(Y) = S iY\.

i=l

2.12.Найдите математическое ожидание зависимой перемен­

ной в

каждом из следующих дифференциальных

уравнений (X

и У — случайные

величины;

а и Ъ — постоянные;

у — детерми­

нированная

величина):

 

 

 

 

. dW .

dY

v ...

 

 

 

 

...

dY .

dY

, . „

,

 

 

 

6 ) - w + a - d x - = b ( ^ - y ) -

 

 

 

2.13.

Найдите

среднее значение

(математическое ожидание);

а)

рэлеевской

случайной

величины (см. задачу

2.4);

б)

случайной величины X , равномерно распределенной в интер­

вале

a

X

b

и

равной

нулю вне его.

 

2.14. Дл я какой

из

следующих

плотностей

распределения

вероятности

случайная

переменная

X строго стационарна?

а) р (х)=—у=—ехр

 

— -

 

(нормальное распределение);

б) р (х) = е~м ^j—

(распределение

Пуассона).

 

2.15. Найдите среднее значение зависимой переменной в сле­ дующих моделях процессов (случайные величины обозначены про­ писными буквами):

100

 

 

Глава 2

 

 

 

а)

перенос тепла

 

 

 

 

 

б)

массообмен

d x 2 - U

Т(х2)

=

Т20;

 

С (0,

х) =

0,

 

 

 

 

H-a散

дх*

C(t,0)

=

c0,

 

dt

l i m С (t,

х)

= 0.

 

 

 

2.16. Найдите среднее значение и дисперсию случайной вели­ чины X с равномерной плотностью распределения

=

-

при — 2 - < Z < - 2 - ,

р (ж) =

0

в остальной

области.

2.17. При условии

что

дисперсия

случайной величины X

равна

0,75,

найдите дисперсию следующих случайных величин:

а)

5Х;

 

б)

,

 

в)

X +

7;

X

х - з

 

г )

- 2 ~ -

2.18.В каком случае % {X} % {Y} = g {ХУ}?

2.19.Определите для каждого случая, является ли случайная переменная X стационарной (в широком смысле) или нет, и пояс­ ните, почему.

а)

X

(t)

=

cos (at

+

Г)

(Г — случайная величина);

б)

X

(t)

=

A

cos

(dt +

В sin (ùt (А

и 5 — случайные величины);

в)

X

(t)

=

aY

+

bt

(Y

— случайная

величина);

г)

X

=

aY

+

b

(Y

— случайная

величина).

2.20.

Д л я

заданных ниже случайных

переменных Y (t) и соот­

ветствующих плотностей распределения вероятности вычислите

автокорреляционные

функции.

 

 

 

 

Переменные:

 

 

 

 

 

 

 

а) Y

(t) =

Аеш

 

(А — случайная

величина, і = У

—1);

б) Y (t) = Ai cos

cot + A2

sin (ot

(Au

A2

— независимые слу­

чайные

величины) ;

 

 

 

 

 

 

в) Y

= Ах

+

b

(А — не

зависящая

от

времени

случайная

величина).

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотности

распределения:

 

 

 

 

 

а ) - Р ( а ) = 4"'

- М І ^ Т '

 

 

 

 

 

р(а) = 0,

\ А \ > \ ;

Распределения

вероятности и выборочная

статистика

101

б) р (а) = се~аіІь,

где с — постоянная,

которую необходимо

определить.

2.21.Найдите автоковариацию для случайных переменных задачи 2.20.

2.22.В таблице записаны значения совместной плотности рас­ пределения случайных величин X и Y. Являются ли они незави­ симыми?

X

1

2

3

1

1

1

4

8

8

1

1

1

8

16

16

1

1

1

8

16

16

2.23.При условии что X — случайная величина со средним

значением

ц х , найдите % {X},

% {2Х},

 

% {X

+

1},

% {2Х

+ 1},

% {X2} и

Ш {X

- ііх}.

Заметим,

что

Ш {X2}

Ф

%2

{X}.

Найдите

соответствующие дисперсии, т. е. Var {X},

Ѵаг {2Х}

и т. д.

2.24. Совместная плотность распределения вероятности двух

случайных

величин

X

и Y равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (х,

у)

= X +

у

при

0 ^

X

^

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < У

< 1 ,

 

 

 

 

 

 

р (х, у) = 0

 

 

в остальной

области.

 

 

Найдите

коэффициент

корреляции

между

X

и

Y.

 

 

2.25.

Используя

указанные

совместные

плотности

распределе­

ния, вычислите взаимную корреляционную функцию гХу

ІЧі

случайных

функций

X

и

Y.

 

 

 

 

 

 

 

у

 

а) X

и

Y — независимые

случайные

функции,

равномерно

распределенные

соответственно

в интервалах

(0, а)

и (0, Ъ).

б) X

и

Y — случайные

функции

с

совместной

нормальной

плотностью

распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

(х,

у) = А ехр [— (ах2

+ Ьху + су2 + dx +

еу)],

 

где ах2

+ Ьху + су2 + dx -J-

еу^>0.

 

 

 

 

 

 

 

2.26.

Некоторый случайный процесс с сосредоточенными

пара­

метрами

можно

описать следующей

моделью:

 

 

 

 

 

 

 

 

• £ Ж + 2У(*) =

Х(«),

 

 

 

 

 

Y(0) = 0,

102

 

 

 

 

 

Глава

2

 

 

 

где X

(t) — стационарная случайная входная переменная процесса

с

характеристиками

% {X (t)} =

2

и

г х х (т) = 4 +

2 е _ І т | , где

т = / 2

— tt-

Найдите:

 

 

 

 

 

 

а)

% {Y (t)};

 

 

 

 

 

 

 

б)

rXY

(h,

t2);

 

 

 

 

 

 

 

В) ГYY

(hi t2)-

 

 

 

 

 

 

 

2.27.

Случайные величины X и Y независимы и имеют плот­

ности

распределения

р (х) — е ~х

и

р (у) = е ~ѵ

при X > . 0

и Y >

0. Вычислите ковариацию и коэффициент корреляции для

X

и

Y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.28.

Определите корреляцию по ковариации и дисперсии

и

кратко

поясните

утверждение,

что «независимые

переменные

всегда

некоррелированы,

но не все некоррелированные величины

независимы».

 

 

 

 

 

 

 

 

а) Приведите пример, в котором нулевая корреляция предпо­

лагает

независимость.

 

 

 

 

 

 

б)

Приведите пример, в котором нулевая корреляция не пред­

полагает

независимость.

 

 

 

 

 

В обоих случаях используйте совместное распределение.

 

2.29.

Если

случайная величина

X

равномерно

распределена

в интервале от —а до а, то р (х) =

1/2а в этом интервале и равна

нулю вне интервала. Чему равны начальные и центральные

моменты нулевого, первого и второго порядка

величины X?

2.30.

Чему равны начальные моменты нулевого, первого и вто­

рого порядка

величины X для плотности экспоненциального

распределения

вероятности р (х) = ке~х1 Что

такое kl

Как

можно

вычислить

к?

 

 

2.31. Докажите, что максимум нормированной

плотности

нор­

мального распределения лежит при значении Цх, а точки

пере­

гиба — при цх

±

ах.

 

 

2.32.

Чему

равны

 

 

а) Р { С / > 0 , 4 } ,

 

 

 

б) P {U >

- 0 , 4 } ,

 

 

в) Р { | С 7 | < 0 , 4 } для нормированной величины, распределенной по нормальному закону?

2.33.

Предположим, что плотность некоторого продукта

описы­

вается

нормальным

распределением, и

известно, что

среднее

значение плотности

и. равно 6,4 г/см3 ,

а дисперсия er2

равна

1,4 (г/см3 )2 . Каково наименьшее значение плотности среди 15% всех самых больших ее значений?

2.34. При условии, что распределение диаметров резьб являет­ ся нормальным, среднее значение диаметра равно .0,520 см, а стандартное отклонение 0,008 см, определите в процентах число резьб с диаметрами: а) между 0,500 и 0,525 см, б) большими чем 0,550 см и в) равными 0,520 см.

Смотрите также файлы