Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 634

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Получение

оценок в частотной

области

817

месте. Данные могут также обрабатываться в реальном масштабе времени. Как правило, непрерывные данные получают при исполь­ зовании аналоговой или гибридной вычислительной машины; отдельные частоты выделяются с помощью гармонического ана­ лиза (фильтрации). С другой стороны, дискретные данные анали­ зируются на цифровой вычислительной машине часто с помощью автокорреляционной и взаимной корреляционной функций.

12.1. М О Д Е Л Ь П Р О Ц Е С С А В Ч А С Т О Т Н О Й О Б Л А С Т И

В разд. 11.1 при выводе формулы (11.1.5) указывалось, что импульсную характеристику (называемую также весовой функ­ цией) для линейной детерминированной модели с постоянными коэффициентами, описываемой уравнением (11.0.1), можно исполь­

зовать для определения

отклика на любой

входной сигнал:

 

оо

 

y(t)=

j g(t — x)x(x)dx.

(12.1.1a)

 

о

 

Полагая t — т = т' и производя замену переменных, можно показать, что равенство (12.1.1а) тождественно соотношению

оо

 

у {t) = j g (т) X (t — т) dx.

(12.1.16)

о

 

Если взять преобразование функции g (t) по Фурье, то получим

частотную характеристику

О00

g

(со) = & {g (t)}

=

j g (t) e-^dt

= j g (t) e-^dt,

 

 

 

- o o

0

где и =

2л/ измеряется

в

радианах за

единицу времени, а / —

в герцах. Нижний предел интеграла вместо —оо может быть

принят

равным

нулю, так как g (t)

= 0 при t <

0.

На функцию

g (t) налагаются

лишь небольшие

ограничения,

которые можно

найти

в любом

серьезном руководстве по математическому ана­

лизу.

Частотная характеристика

получается

из

передаточной

функции, если в последней s заменить на ш (см. гл. 11). Передаточную функцию (частотную характеристику) можно

охарактеризовать в частотной области двумя способами. Посколь­

ку S (<о) — комплексная

функция, одним из способов

представле­

ния передаточной функции является следующий:

 

g((ù) =

M\g (w)] + ijCg

(со)],

(12.1.2)

818 Глава 12

где Л [g (со)] — действительная часть функции g (со), & J [g (©)] — мнимая часть (фиг. 12.1.1). Абсолютное значение, или модуль, функции g (со) имеет вид

Il g (СО) H = ѴМ2

I i (tö)] 4- J

2 [g ( ö ) ) ] = r

и аргумент (угол) функции

g (со) равен

г|), где

tgV]) =

J [g H ]

 

Ä[g(ü>)]

 

 

 

 

Таким образом, другой способ представления передаточной функ­

ции основан на записи ее в полярной

форме:

 

g (а) = г (cos ^ - f i sin r£)

= ге*Ф =

H g (со) || е~1^а\

(12.1.3)

При любом входном сигнале x

(t) отклик модели имеет вид

 

у (со) =

g (tö) "х (со).

(12.1.4)

Следовательно, если g (со) и х (а.) записываются в полярной форме

у (со) = H I

(со)

H е^

H x (со) H е*в,

 

то модуль функции у (ы) равен

произведению модулей

функций

g (со) и x (со), а аргумент

функции

у (tö) равен сумме

соответ-

g(co) = г (cos ijj + lsLn-ф) = re'*

Действительная ось

Ф и г . 12.1.1. Представление комплексного числа в полярных координатах .

ствующих

аргументов:

 

у (со) = I Û ( C Û ) И | | і (<о) H

Частотная

характеристика во временной области, т. е. установив­

шийся отклик на синусоидальный входной сигнал частоты со,

определяется как отношение

амплитуд (равное || g (со) ||), умно­

женное на sin (töt + г|)):

 

У (t) = Il g

И D sin (töt + t|>),

Получение оценок в частотной области

819

в чем можно убедиться, выполнив преобразование Лапласа или Фурье функции у ( і ) и перейдя к обратному преобразованию выражения (12.1.4) либо применив теорему о свертке, рассмат­ риваемую в разд. 12.3.1.

При последующем изложении наблюдаемый іыходной сигнал У (t) будем считать состоящим из истинного отклика и случайной

e(t)= Y(i)-ytt)

Мнимая ось

Действительная ось

 

 

Одна из возможных

функций Y (ш)

Ф и г . 12.1.2. Отклик

процесса во

временной и

частотной

областях.

а — временная область, пунктиром

обозначены доверительные пределы

стационарной

ошибки; б — частотная область, кружком

показана доверительная область, в которой

находится

начало

вектора

у (и) для одной из частот.

 

ошибки e (t) (фиг. 9.1.2); источником ошибки может быть сам процесс или аппаратура, используемая при получении данных. В любом случае предполагается, что случайная составляющая является по существу стационарной:

У (t) = у

(t) + г (t).

(12.1.5)

На фиг. 12.1.2 доверительные

пределы для отклика

процесса

во временной области сравниваются с соответствующими довери­ тельными пределами в частотной области.

8 20

Глава 12

При получении оценок параметров методом наименьших квад­ ратов требуется минимизировать

оо

 

ф = j [Y (t) - у (t)]2 dt

(12.1.6)

О

относительно параметров. Вследствие того что в формуле (12.1.6) верхний предел интегрирования равен оо, желательно, чтобы функция у (t) убывала с течением времени в случае импульсной характеристики или затухала к концу периода в случае синусои­ дального входного сигнала. Применяя к формуле (12.1.6) равен­ ство Парсеваля

о о о о

 

J

=

! J

|| /

(со) || ^со

(12.1.7)

 

о

 

о

 

 

 

и переходя в частотную область,

имеем

 

 

о о

 

 

 

 

 

4 = 4

j ||F(co) - y((o)|pdcû

 

 

 

 

(12.1.8а)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

= 4 }

 

Р І П » ) ] - І І У И ] } Ч

 

 

°

 

„

 

„

(12.1.86)

 

+

{J[y(co)] - J[y(co)l} 2 ]dco,

 

где M

[ \ — действительная

часть

преобразования

Фурье,

a J I

] — мнимая часть;

в

квадратных скобках

заключен

аргумент. Формулу (12.1.86) можно интерпретировать следующим образом: требуется минимизировать величину ф, представляю­ щую собой сумму квадратов отклонений в частотной области.

Формулу (12.1.8а) можно пояснить более наглядно, если

наблюдаемый отклик

и отклик модели в частотной области пред­

ставить в полярной

форме (для экономии места со опускается):

Y

(со)

= V [cos W + i sin W],

у

(со)

= V [cos w -f- i sin w],

где V (со)

и

V (со)

— амплитуды

функций

Y (со) и у (со)

соответ­

ственно,

a W (со)

и w (со)

— их аргументы;

все эти величины дей­

ствительные.

Подставляя

эти

выражения

в формулу

(12.1.8а),

Получение оценок в частотной области 821

получаем

оо

ф = —

[ H У (cos И7-М

sin W) — v(cosw+isinw)l\2db)

=

 

о

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

=

~л~ j \\(V cosW

— v cos

w) + i (V sin W — v sin

u;) ||2

doi =

 

0

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 Г

J [У2

-b У2 — 2Ki> cos (w — И7 )] doi.

(12.1.9)

 

 

 

о

 

 

 

Из этой формулы видно, что оптимальное значение w должно быть таким, чтобы величина 2Ѵѵ cos (w — W) была максималь­ ной, т. е. необходимо, чтобы w = W. Получаемое в этом случае выражение содержит только отношения амплитуд:

оо

о

откуда следует, что ф — 0, если V = ѵ.

Формулу (12.1.8а) можно также связать с передаточной функ­ цией, учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей отдельных сомножителей. В этом случае

 

Y (со) -

у (со) = X (со) Г ^

—

- =

X (со) [G (со) -"g(со)],

 

 

 

L

ж (со)

X (со)

J

 

 

и

формула

(12.1.8а)

принимает

вид

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

*= 4"

j [ " * ( c û > Il I ' G ( (

ö ) - ^ Н І І

] 2 ^ -

(12.1.10)

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

В

некотором

смысле

х (со)

является

«весовой

функцией»,

так как

хотя преобразование Фурье дельта-функции равно 1, преобразо­ вание Фурье входного сигнала, отличающегося от дельта-функции,

«задает

вес» выражения || G (со)

— g (со) ||.

12.2.

П О Л У Ч Е Н И Е О Ц Е Н О К

П Р И Д Е Т Е Р М И Н И Р О В А Н Н Ы Х

В Х О Д Н Ы Х С И Г Н А Л А Х

Простые входные импульсные или треугольные сигналы с изве­ стными преобразованиями Фурье удобно использовать как вслед­ ствие простой математической формы этих сигналов, так и по той причине, что их получение не вызывает затруднений. В таб­ лице 12.2.1 показаны типичные детерминированные входные сигналы и их преобразования Фурье. Импульсный сигнал воз-

Смотрите также файлы