Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 630

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

826 Глава 12

разложить в ряд квадратный корень

 

—

»

1

1

;

+ —W

+ —ïïi

 

- -

И

1

5

А /

 

 

 

;

 

 

 

У*

 

 

 

V

 

 

 

 

 

и, используя

тождество

 

Эйлера

 

 

 

 

 

разбить произведение

ж (со) g (со) на

действительную и

мнимую

части. Если необходимо рассматривать большое число членов разложения (и), то для получения оценки D методом наименьших квадратов лучше всего применить какую-либо другую схему эксперимента, а не задаваемую уравнением (б) (с тем чтобы можно было изменить граничные условия). Ясно, что с математической точки зрения дельта-функция предпочтительнее треугольного

входного сигнала, так

как' в случае дельта-функции

х (со) == 1.

В формуле (12.1.8а)

интегрирование по со можно

проводить

не до оо, а до некоторой частоты coy, при этом СО у выбирается таким образом, чтобы вклад Y (coy) в величину интеграла был пренебре­ жимо мал. Если аналитическое интегрирование в выраже­ нии (12.1.8а) невозможно, то можно использовать один из методов численного интегрирования.

12.3. П О Л У Ч Е Н И Е О Ц Е Н О К П Р И С Л У Ч А Й Н Ы Х

ВХ О Д Н Ы Х С И Г Н А Л А Х

Вданном разделе рассматривается применение случайных входных сигналов для оценивания параметров модели в частотной

области. Подставляя

выражение

(12.1.16)

в

формулу

(12.1.5),

в случае одиночного входного сигнала и одиночного

отклика

получаем

 

 

 

 

 

Y (t) =

j g (X) x (t

- X) dX +

e

(*),

(12.3.1)

 

о

 

 

 

 

где e (t) — случайная ошибка, добавленная к отклику, а X — фиктивная переменная. Поскольку синусоидальные или ступенча­ тые входные сигналы могут вносить возмущение в процесс, можно использовать случайные входные сигналы x (t), обозначаемые через X (t). Это могут быть либо произвольно генерируемые слу­ чайные сигналы с небольшими амплитудами, либо реальные воздействия на процесс. Допустим, что e (t) и Х- (t) — функции, слабо стационарные в смысле, определяемом формулой (2.2.7). Если же это допущение не сделать, то в уравнении, которое будет здесь выведено, останутся лишние члены, что исключает получе­ ние простого решения для передаточной функции. Кроме того,

Получение

оценок в частотной

области

827

формула (12.3.1) не позволяет определить время нечувствитель­ ности или время запаздывания в модели процесса; эти величины необходимо определять специально.

При получении оценки импульсной характеристики g (t) в слу­ чае конечной продолжительности регистрации входного и выход­ ного сигналов можно минимизировать величину

ф = \ е2 (t) dt

о

или среднюю квадратическую

ошибку

 

 

Ч

 

ф = ^-

j e2(t)dt.

(12.3.2)

fо

Спомощью равенства Парсеваля (12.1.7) можно показать, что когда e (t) — белый шум, т. е. в частотной области г (со) — неко­ торая постоянная, то при оценивании методом наименьших квад­

ратов каждая частота будет иметь одинаковый

вес. Винер [5]

для минимизации ф [формула

(12.3.2)]

применил

вариационное

исчисление и показал, что

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

гхт

(т) =

J g (Я,) г х

х (т -X)dk,

- т

>

0,

(12.3.3)

где

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гхт

(т) =

g {X

(t) Y(t

+ т)},

 

 

 

гхх

(т -

Я) =

g {X

(t) X (t +

T -

Щ.

 

Нельзя гарантировать, что оценка g (t), полученная путем реше­ ния уравнения (12.3.3), является удовлетворительной в том смысле, что ее дисперсия мала по сравнению с дисперсиями других

возможных оценок, но

если g {e (t)} =

0,

то оценка

является

несмещенной. В частном случае, когда

г (t)

— белый

шум, рас­

сматриваемый в разд.

12.3.1, оценка,

полученная

по

уравне­

нию (12.3.3), имеет наименьшую дисперсию по сравнению со всеми линейными оценками. Для многих других случайных ошибок оценки, полученные методом наименьших квадратов, при увели­ чении времени регистрации данных асимптотически приближают­ ся к оценкам с минимальной дисперсией.

Уравнение (12.3.3) можно получить другим способом. Замен им в формуле (12.3.1) t на t + т, умножим обе части уравнения (12.3.1) на X (t), а затем от обеих частей полученного соотношения возьмем

828

 

 

Глава 12

 

математическое

ожидание

 

 

Ш{Х (t)Y(t

+ x)}

=

${X(t)

J g (к) X

 

 

 

 

 

о

 

X X

(t +

T -

X) dk}

+.Щ {X (t) e (t + t ) } .

(12.3.4)

Если случайный входной сигнал и ошибка e (t) некоррелированы, то второй член в правой части соотношения (12.3.4) обращается в нуль. Операции взятия математического ожидания и интегри­ рования по времени первого члена правой части этого соотношения можно поменять местами. Получаем выражение

оо

 

гхт Ы = J g W г х х (т - к) dk,

(12.3.5)

о

 

которое совпадает с формулой (12.3.3), за исключением ограниче­ ния, налагаемого на т, которое уже учтено в формуле (12.3.5). Следовательно, импульсная характеристика в формуле (12.3.5) является оптимальным линейным представлением процесса. [В случае нелинейного процесса соотношение (12.3.5) по-прежнему является наилучшим (в смысле средних квадратов) линейным представлением процесса.]

 

12.3.1. Спектральная

плотность

 

 

Спектр

энергии или

спектральная

плотность1)

s x x

(со) —

преобразование Фурье

автокорреляционной функции

г х х (т);

взаимная

спектральная

плотность

sXY (со) — преобразование

Фурье взаимной корреляционной функции rXY (т). На фиг. 12.3.1 показаны спектральные плотности, соответствующие графикам, представленным на фиг. 2.1.3 и 2.2.1. Используя обратное пре­ образование Фурье, видим, что между величинами s (со) и г (т) существует следующая взаимосвязь:

оо

* i i W = j е - ^ г х х (г) dx,

 

(12.3.6а)

— оо

 

 

оо

 

 

ГххЮ = 4г 1 ^ххМа^

'

(12.3.66)

-1)

Если X (t) — н а п р я ж е н и е ,

a Y (t) — в о з н и к а ю щ и й входной

ток,

то г х у

(0) — среднее количество

поступающей энергии. Чтобы получить

спектр

непериодической функции,

берется преобразование Ф у р ь е этой

функ­

ции .

А$-функцис

со

а

 

 

 

 

 

и)

 

Ф Х г . 12.3.1.

Графики

спектральной плотности

(при ю > 0)

для

автокор­

реляционных

функций,

изображенных

на

фиг. 2.2.1

[6].

 

а — синусоида;

б — синусоида плюс

случайный шум;

в — узкополосный

случайный

 

шум; г — широкополосный случайный

шум.

 

 

830

 

 

 

Глава 12

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

SXY(®)=

\

e-i(ÙXrXY(T)dT

= sYX(«i),

(12.3.7а)

 

 

 

— оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

r Y y ( T ) =

_ L

j e! M T sY Y (со) dor,

 

(12.3.76)

sxx

 

 

 

— с»

 

 

 

 

( w ) — преобразование

четной

функции,

оно

всегда имеет

нулевой фазовый

угол; информацию о фазе

содержит

только

SXY

(w). На фиг.

12.3.2. показаны

автокорреляционные

функции

Тип входного

Автокорреляционная фѵнкция

сигнала

r x x (т)

 

С л у ч а й н ый

е - « I I * И

 

телеграфный

0

Г

сигнал

 

 

Случайная би­ н а р н а я п о с ­ ледователь­ ность

Постоянный

,I N I

 

'm

4- •

если

H т | | < t m

 

0,

 

 

если

II т II > tm

 

 

 

 

О

Г

Белый шу м

Л 6 ( 0

t

,

 

 

0

г

Синусоидаль­

cos (ш0 т)

 

 

ный

 

 

 

Спектральная

плотность "sxx (со)

ж.

о S

4 sin 2(ö)fT O /2)

02n/tmi>3

 

I

c2 Ô (CO)

 

QÙJ

Со)

t f t.-

Ô(CÛ + C 0 0 ) +

 

+ Ô(CÛ —COo)

Ф и г. 12.3.2. Автокорреляционные функции и соответствующие им спект­ ральные плотности.

Получение оценок в частотной области 831

для некоторых широко применяемых входных сигналов и соответ­ ствующие им спектральные плотности.

В частном случае, когда спектральная плотность постоянна (четвертая строка на фиг. 12.3.2), случайный процесс носит назва­ ние белый шум. Белый шум соответствует автокорреляционной функции для стационарного ансамбля г (т) = ко (т), где к — неко­

торая

постоянная, a

ô (т) — дельта-функция. Так

как при

sxx

(<°) =

const

средняя

энергия

становится бесконечной,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

С ѵ

 

 

 

 

 

Средняя

энергия = г х

х (0) = - ^ -

\ s x x (СО) <2СО - > оо,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—оо

 

 

 

то

чаще

рассматривается

белый

шум в некотором

ограниченном

диапазоне частот, т. е.

белый

шум в ограниченной

полосе:

 

 

 

 

 

 

sXx(®)

=

k,

— Y < C l ) < - | ,

 

 

 

 

 

 

 

 

sxx

И

= 0,

 

со >

iL ,

 

 

 

где

b — ширина

полосы,

а

м — частота.

 

 

 

 

Проводя преобразование Фурье соотношения (12.3.5), полу­

чаем

простое

выражение,

связывающее передаточную

функцию

в частотной области со спектральной плотностью и взаимной

спек­

тральной

плотностью 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Irr

(©) =

g (to) s x x

(со).

 

(12.3.8)

 

г)

Свертка

двух функций

fi

(t) и / 2

(t):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/(*)=

J

со

fl{X)f2(t-X)dX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

имеет преобразование Фурье:

оооо со

/(ш) = j e~mf{t)dt = j

е ~ ш j

f1(l)f2(t — k)dkdt

=

—O

—O

—O

 

 

 

O

oo

 

 

= j fi(X) j e~i(äif2(t — X)dtdX.

При t — X=% последний

 

— CO

— oo

интеграл

в правой части

переходит в

оооо

j h(X)e-iaX

Ç e-ioxf2(x)dxdX

=

f\(u)f2{v),

где fi (со) и / 2 (w)—преобразованияO —Фурьесо

ф у н к ц и й / А (t) и / 2 (t) соответственно.

Смотрите также файлы