Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 632

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

822	Глава	12
			Таблица 12.2.1
Типичные детерминированные		импульсные	в х о д н ы е с и г н а л ы *)
Т и п	сигнала	X (t)	1(G))

	Импульс в мо	в (О
	мент t = 0	в (О
	мент t = 0

t ,

a u .

ІЛ t

° t, t2

И м п у л ь с в мо мент t = t0

Треугольный

и м п у л ь с ,	на
ч и н а ю щ и й с я		в
момент і =	0

ô ( * - * „ )

c0tU ({) + сі (t — ti)X

XU(t-ti)	+
+ c2(t — t2)U	(t-t2)

i) U (t) — единичная ступенчатая функция.

— "^2	l C 0 +		C l	COS(tiû>)	+
+	c2	cos		(t2a>)] +
+	-^a		[ c l S i n (h(ù)		+
	+	c2	sin (t2 û))]

буждает широкий спектр частот, точная характеристика которого
зависит от формы импульса. Хоген	[1] рассмотрел преимущества
и недостатки импульсов различной	формы.

Преобразование экспериментальных данных, полученных во временной области, в частотную область без внесения существен ной числовой ошибки вызывает известные затруднения. Имеется ряд алгоритмов для обработки непрерывных данных на цифровых вычислительных машинах; обработка этих данных на аналоговых или гибридных вычислительных машинах не представляет труда. Обычно для преобразований Фурье устанавливается конечный

предел	интегрирования:
Y (to)	А / j У (t) e~i(ätdt	= j	Y (t) cos (at) dt + i \ Y (t) s i n (Ш) dt,
	0	0	о
			(12.2.1)

где tv — продолжительность наблюдений. Основой успешного преобразования данных является тщательное вычисление инте гралов, подставляемых в формулу (12.1.8).

Имеется ряд программ для цифровых вычислительных машин, позволяющих быстро вычислить преобразования Фурье [2, 3].

Получение

оценок в частотной

области

823

Вместо использования выражения (12.2.1), где интегралы вычисляются с помощью квадратурных формул по дискретным данным или по выборке из непрерывных данных, Хейс и др. [4] предложили следующий более гибкий и более эффективный метод. Функции x (t) или Y (t) во временной области задаются в несколь ких дискретных точках и аппроксимируются следующей кусочногладкой функцией:

n
Y (*) « 2 #	(* -	tk)	[ak	+	b k ( t - th) +	c k ( t -	thf	+	...],
fc=i									(12.2.2)
									(12.2.2)
где U (t — th)	— единичная				ступенчатая	функция;		th	— момент
наблюдения;	ah,	bh	и	т. д.— коэффициенты,			выбираемые для

наилучшего описания поведения функции между двумя наблюде ниями. Если используются только коэффициенты ah и bh, то дан ные выражаются последовательностью прямолинейных отрезков;

если же добавляется	коэффициент ch, то кривые		являются отрез
ками парабол и т. д.
Преобразование	Фурье	выражения (12.2.2)	имеет	вид
У ( о ^ 2 ^ M 4 ^		+ 7 ^ + W + - - - ] -		( 1 2 - 2 - 3 )

Чтобы подставить в формулу (12.1.86) величину Y (to), ее нужно

разбить на	действительную		и	мнимую	части:
^ [ Г (<»)]»	2	( - 1 Г + І Г	-	+ - - - ) 8	І П 0 ^
	fc=i

+ ( - ä - + ^ ~ . . . ) » . - < . .

Ограничение суммы в формуле (12.2.3) слишком малым числом п приводит к неудовлетворительной аппроксимации Y (t) во вре менной области. Используя равенство Парсеваля, легко показать, что представление Y (t) в виде усеченного ряда дает наилучшую аппроксимацию Y (t) в смысле наименьших квадратов, которая возможна при усеченном частотном спектре.

После получения формулы (12.1.8) или (12.1.10) задача нахож дения оценок в точности совпадает с задачей нелинейного оценива ния, рассмотренной в гл. 6. Минимизацию <f>. можно осуществить

824

Глава 12

одним из численных методов, описанных в разд. 6.2. Интерпре тация математического ожидания и дисперсии оцениваемых пара метров будет такой же, как и в гл. 6, хотя в данном случае вычис ления проводятся в частотной области.

Пример	12.2.1. Получение оценок в частотной области
Типичное		уравнение дисперсионной модели, рассмотренное
в разд.	10.4,	имеет вид

<•>

где у — зависимая переменная; t — время; ѵ — скорость; z — координата вдоль оси; D — коэффициент дисперсии, который требуется оценить по наблюдаемым значениям зависимой пере менной Y. Уравнение (а) может описывать поток в слое насадки или пористой среде, распространение загрязняющих веществ в реках и т. д. Предполагается, что Y = у + г. Для получения аналитического решения для модели процесса уравнение (а) следует рассматривать совместно с определенными граничными условиями. При начальных и граничных условиях

		у (z, 0) =				0,
		у (0, t)=x				(t),			(б)
		l i m у	(z, t)		=	0
		Z->oo
невозможно	получить	удобное		аналитическое				решение	уравне
ния (а). Однако решение в			частотной области сформулировать
можно.
После преобразования по Лапласу уравнения (а) и граничных
условий (б)
	p r d2!/ (z,	s)	dy (z,		s)	" , .		r.	, .
	D ^ r L ~ v - ^ d z - L ~ s y ^ s ) =0'								(B)
		y(0,	s) =		x(s),
		l i m	y(z,		s) = 0				(r)
		Z—yoo
можно получить решение для у				(z, s)		и с помощью условия (г)
определить	два произвольных			коэффициента				решения:
	y(z, s) = x (s) ехр					—•	z		( Д )
						2D

На некотором расстоянии z = L , т. е. в точке наблюдения, зави симая переменная во временной области равна у (L, t), & в про-

Получение оценок в частотной области 825

странстве изображений			по Лапласу
у (L,		s)-=x(s)exv		vL			(e)
у (L,		s)-=x(s)exv		2D


Заметим,	что	передаточная		функция		является экспонентой.
Преобразование		Фурье	получим,		заменив	s на ісо:
y(L,	(о) = ж (ft)) exp I ~			- (1 — і / 1		4 (m) D	(ж)
y(L,	(о) = ж (ft)) exp I ~			- (1 — і / 1			(ж)
			[2D	\	V

Можно подставить выражение (ж) в формулу (12.1.86) либо передаточную функцию в уравнение (12.1.10).

х(і)

Ф и г . П . 1 2 . 2 . 1 .

Допустим, что ввод в трубу или канал индикаторного веще ства осуществляется в виде треугольного импульса, изображенного на фиг. П.12.2.1. Во временной области функция x (t) имеет вид

	x(t) = 2tU{t)-b (t—L)u(t-±)				+ 2 ( * - 1 )	U ( і - 1 ) ,
а	в частотной области
X	(Со) •	1[2 — 4 cos (0,5со) +	2 cos to]
		© 2
		-I	г	[ — 4 sin (0,5со) +		2 sin СО] .	(з)
Значение		функции х (со) при to =		0 нельзя вычислить по			форму