Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 628

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

832

Глава 12

Кроме того, умножая уравнение (12.3.1) на Y (t + т) и выполняя необходимые преобразования, можно показать, что

STY

(СО) = H g (со) ||2 s x x (со),

(12.3.9)

однако это соотношение не содержит какой-либо информации о фазе передаточной функции — она теряется, когда берется абсолютное значение g (со); следовательно, это соотношение имеет ограниченное применение.

 

Х,(і).

 

 

• У, (t)

 

 

 

X2(t).

Процесс

 

Y2(t)

Y(t)

 

 

X(t) Х3М-

 

 

•Y3(t)

 

 

т.д

 

 

и т.д.

 

 

Ф

if т. 12.3.3. Процесс с

несколькими входными

и выходными

сигналами.

 

Введя несколько дополнительных определений, можно записать

соотношение, аналогичное (12.3.8),

для матричной передаточной

функции g (со), определяемой формулой

(12.3.3)

для

процесса

с

сосредоточенными

параметрами

(или

ряда

таких

процес­

сов) с несколькими входными сигналами (фиг. 12.3.3). Предпо­ ложим, что вектор X (t) входных сигналов имеет п составляющих,

а вектор Y (t) выходных

сигналов имеет m составляющих. Кроме

того,

необходимо ввести

три матрицы спектральной плотности:

sx

(со) — матрица спектральной плотности входного сигнала,

Su (со) — спектральная плотность і-го входного сигнала, a Sjf (со) —

взаимная спектральная

плотность

г-го и /'-го входных

сигналов;

s Y

(со) — матрица спектральной

плотности выходного

сигнала,

su (со) — спектральная плотность і-го выходного сигнала, a

S J J ( C Ö ) —

взаимная спектральная

плотность

і-го и /-го выходных

сигналов;

sXY

(со) — матрица

взаимной спектральной плотности

вход­

ного и выходного сигналов, ô\fY

(со) — взаимная спектральная

плотность

і-го входного и і-го выходного сигналов,

Sjfy (со) —

взаимная

спектральная плотность

і-го входного и /-го

выходного

сигналов.

 

 

 

 

 

 

Тогда,

обобщая одномерный анализ, получаем

 

 

sY

(to) =

g*

(со) "sXY (со) =

g* (со) s* (со) g? (со), (12.3.10)

S*Y

( 0 ) =

s*

(со) gT (со),

 

(12.3.11)

где g* (со) — комплексно-сопряженная матрица g (со), а Т обо­ значает транспонирование. Передаточная матрица g (со) вычис­ ляется из соотношения

g (со) = {[s* (со)]-1 & (а>)}т

(12.3.12)

Получение оценок

в частотной

области

833

12.3.2. Планирование

эксперимента

при

случайных

входных

сигналах

 

 

Обычно случайные воздействия на процесс выбираются таким образом, чтобы упростить получение передаточной функции в частотной области (частотной характеристики). В частном случае, когда автокорреляционной функцией входного сигнала является rXX (т) = kô (t), спектральная плотность представляет собой белый

шум Sxx (<•>) = к, я передаточная функция имеет вид

(12.3.13)

Оценивание коэффициентов эмпирической передаточной функции, т. е. оценивание g (со), можно было бы провести, как показано в гл. 6, методом нелинейного оценивания, если данные являются дискретными.

Получение белого шума как физически реализуемого воздей­ ствия на процесс является исключительно трудной задачей; гораздо легче генерировать белый шум, имитируя его на вычисли­ тельной машине. Следовательно, проще использовать входные сигналы, которые являются не случайными, а псевдослучайными, но имеющими автокорреляционные функции, аппроксимирующие дельта-функцию.

Одну псевдослучайную последовательность, обладающую нуж­

ными

свойствами, можно

определить

следующим

обраром:

 

 

 

1. Входной сигнал с равной вероятностью принимает значе­

ния

-\-а или —а.

 

 

 

Т

=

 

2.

Входной сигнал является периодическим с периодом

=

M At, где M — число

элементарных

интервалов

перехода

от

+ а

к

—а (число двоичных единиц бинарного кода).

 

 

 

На

фиг. 12.3.4, а показаны типичный входной

сигнал и

его

автокорреляционная функция, которая несколько напоминает дельта-функцию в каждом интервале (О, Т), но имеет треугольную форму. Входной сигнал [7] можно рассматривать как такую упоря­ доченную последовательность двоичных элементов с0, . . ., с м _ 4 , в которой число значений —а на единицу больше числа значе­ ний + а . Следовательно,

М - 1

Вторая сумма показывает, что автокорреляционная функция входного сигнала имеет форму достаточно острого пика и может аппроксимировать дельта-функцию, мощность которой равна пло-

834 Глава 12

щади этого пика. Последовательность элементов с,, определяю­

щих, будет ли в следующем интервале At

входной сигнал равен

+ а или —а, можно вычислить с помощью

линейного рекуррент­

ного соотношения, рассматриваемого в статье Цирлера [7], а также в книге Петерсона [8].

Ф и г . 12.3.4. Псевдослучайный входной сигнал с требуемой автокорреляцион­ ной функцией .

а — идеальный периодический двоичный сигнал для М=19 и соответствующая автокор­

реляционная функция; б — графическое изображение формулы (12.3.5) при периодиче­ ском двоичном входном сигнале.

В табл. 12.3.1 приведена программа на языке Ф О Р Т Р А Н для вычисления псевдослучайных сигналов + 1 и — 1 , подобных после­ довательности, изображенной на фиг. 12.3.4. Другими возможны­ ми входными сигналами являются псевдослучайные телеграфные сигналы, подобные изображенным на фиг. 12.3.4, но изменяющиеся от + 1 до —1 в случайные интервалы времени, задаваемые рас­ пределением Пуассона. Автокорреляционная функция для этой совокупности представлена в первой строке фиг. 12.3.2. Еще одним возможным сигналом является случайная двоичная после­ довательность, также аналогичная изображенной на фиг. 12.3.4

 

 

 

Получение

оценок

в

частотной

области

835

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 12.3.1

Программа на

я з ы к е

 

Ф О Р Т Р А Н

 

д л я вычисления

п се в д о с л у ч а й н ы х

 

 

 

 

 

 

в х о д н ы х

сигналов

 

 

 

 

Программа

для

 

случайных

входных и

выходных

 

сигналов

С $ $ $

N X — число

цифр

в последовательности

 

 

 

DIMENSION

ІА

(3000)

 

 

 

 

 

4

R E A D 100,

N X

 

 

 

 

 

 

 

100

FORMAT

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

IF (NX)

2,2,3

 

 

 

 

 

 

 

3

PRINT 101,

N X

 

 

 

 

 

 

 

101

F O R M A T

(23H

T O T A L NO. OF ELEMENT S =

,

15//)

 

IZ =

- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DO

5M =

1,

N X

 

 

 

 

 

 

 

 

I A

(M) =

IZ

 

 

 

 

 

 

 

 

5

CONTINUE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = 0,5*

FLOAT

 

(NX)

 

 

 

 

 

 

L A = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IZ =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1B = A * A

X = FLOAT (NX)

 

D = AMOD (В,

X )

 

 

 

 

ID =

I F I X

(D +

0,5)

 

 

 

 

I A

(ID) =

IZ

 

 

 

 

 

L A = L A + 1

 

 

 

 

 

A = FLOAT (LA)

 

 

 

 

IF ( Y — A —0,001)

6,6,1

 

 

6

PRINT

102, (IA (M), M =

l ,

M X )

102

FORMAT

(10

(10X,

1515/)/)

 

 

PUNCH 103, (IA (M), M =

l ,

N X )

103

FORMAT

(1515)

 

 

 

 

GO

TO

4

 

 

 

 

 

2

CALL

E X I T

 

 

 

 

 

END

 

 

 

 

 

 

и отличающаяся от нее тем, что изменение сигнала от + 1 к —1 происходит через дискретные случайно выбранные интервалы At. Автокорреляционная функция и спектральная плотность для этого случая приведены во второй строке фиг. 12.3.2. Кинг и Вудберн [9]'показали, как осуществлять выбор периода Т входного сигнала, интервала между измерениями и длительности основ­ ного двоичного сигнала At, т. е. как планировать эксперимент, чтобы оптимизировать определитель, рассмотренный в разд. 8.4.

Наконец, может быть задан следующий вопрос: можно ли оценить передаточную функцию на основе зарегистрированных данных о нормальной работе установки? Хотя в принципе такое оценивание возможно, на практике оцо часто оказывается невы­ полнимым, по следующим причинам. Во-первых, обычно входное воздействие на процесс может не быть стационарной случайной величиной. Во-вторых, вследствие применяемого способа обработ-

836

Глава 12

ки данных сведения о нормальной работе установки обычно не являются достаточно точными и не позволяют получить требуемую информацию. Оснащение установки соответствующими приборами позволяет преодолеть это затруднение, но может потребовать больших расходов. Третьей проблемой является большая про­ должительность регистрации данных, что необходимо для ослабле­ ния корреляции между шумом процесса и детерминированной частью входного сигнала.

Х(і) X,(t)

Процесс

Регулирующее устройство

Ф it г. 12.3.5. Регулируемый процесс со случайным входным сигналом .

Более серьезным недостатком является то, что входной сигнал, кроме случайной составляющей, может содержать контролируе­ мые изменения, которые необходимо учитывать при корреляцион­

ном анализе. Рассмотрим, например,

регулируемый

процесс

(фиг. 12.3.5). Входной сигнал содержит некоторую составляющую

ошибки

г (г*),

обусловленную

наличием

соединительного

звена,

содержащего

регулятор. Следовательно,

теперь член % {X (t —

— т) e (t)} в соотношении (12.3.4) не обращается в нуль и должен

быть сохранен. При некоторых частных

допущениях относитель­

но e (t)

оказалось

возможным

разделить автокорреляционную

функцию

R X Y

(т) на две составляющие,

одна из которых не испы­

тывает возмущений

[10]. Однако до сих пор не решен

вопрос,

как обрабатывать данные при более реальной ошибке e (t) [11, 121.

12.3.3. Получение оценок спектральных

плотностей

Для оценивания передаточной функции

с помощью фор­

мул (12.3.8), (12.3.9), (12.3.12) или (12.3.13) необходимо иметь

оценки средней

по ансамблю спектральной плотности S

X Y (<Й)

и, возможно, s x x

(со). Хотя эти оценки можно определить

по

выборочным средним, как показано в гл. 2, они обычно вычис­ ляются с помощью средних по времени. В случае средних по времени используются данные, записанные на одной временной диаграмме, а не совокупность наблюдений, зарегистрированных на различных диаграммах. Средние по времени будем обозначать угловыми скобками ( ), если без этого их смысл не ясен из текста'. Использование средних по времени является менее мощным мето-

Смотрите также файлы