Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 624

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Получение

оценок в частотной

области

837

дом оценивания средних по ансамблю, чем использование выбо­ рочных средних, поскольку последние связаны с повторным про­ ведением экспериментов. Нас прежде всего интересуют два средних по времени, которые являются случайными величинами и поэтому обозначаются прописными буквами. В случае непрерывных вели­ чин этими средними по времени являются:

1. Временная автокорреляционная функция

 

 

1

*{

Rxx(r)

= (X(t)X(t

+ x)) = ±

X{t)X(t + %)dt.

 

 

4

І

2. Временная

взаимная

корреляционная функция

 

 

 

ч

RxY(%)

= (X(t)Y{t

+ x)) = i~

\x(t)Y(t + %)dt,

f І

где tf — конец интервала регистрации данных. В случае дискрет­ ных величин этими средними по времени являются:

1. Временная автокорреляционная функция

п

 

 

Rxx{i)

= ^^X{th)X{tn

+

%).

 

 

 

 

 

/4=1

 

 

 

2. Временная

взаимная

корреляционная

функция

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Дхг(тО = 7Г 2 X(tk)Y(th + x),

 

где п — число

 

 

 

h=i

 

 

 

выборок

данных.

 

 

эргодическим,

Реальный

стационарный ансамбль

называется

если средние

по

времени

равны соответствующим

средним по

ансамблю с вероятностью 1. Процесс может быть эргодическим относительно некоторых выбранных параметров либо относитель­

но всех параметров. Недостаточно, чтобы математическое

ожида­

ние

среднего по времени

равнялось математическому

ожиданию

среднего по ансамблю; условие эргодичности требует

также,

чтобы дисперсия

среднего

по времени

стремилась к

нулю при

tf

оо . Если

последнее

условие не

выполняется,

то

нельзя

утверждать, что математическое ожидание среднего по времени

равняется математическому

ожиданию

среднего по

ансамблю

с вероятностью 1. Средние

по времени

дают оценки,

которые

являются случайными величинами, тогда как средние по ансамблю таковыми не являются. Следовательно, требование того, чтобы дисперсия случайной величины была равной нулю, необходимо,

чтобы обеспечивалось равенство средних по времени средним по ансамблю с вероятностью 1.

838

Глава 12

Можно

показать, что для стационарного процесса (который

не обязательно должен быть эргодическим) математическое ожида­ ние корреляционных функций,, вычисленных как для непрерыв­ ных, так и для дискретных данных, равно корреляционной функ­

ции по ансамблю

 

 

 

 

Ш {Rxx (т)} =

г х

х

(т),

8 { Д А Ѵ ( Т ) }

=

r X Y

 

(т).

Это означает, что соответствующие

средние по времени являются

несмещенными оценками средних но ансамблю. Вычисление дис­

персий для R x x (т) и RXY

(т) довольно сложно, так как связано

с определением моментов

четвертого порядка.

Выполняя преобразования Фурье оценок средних по времени для корреляционных функций, получаем оценки спектральных плотностей по ансамблю:

00

SxxH=

j

e-^Rxx(T)dx,

 

— оо

 

 

оо

 

S X Y H =

j

e~^RXY{x)dx.

 

— oo

 

Однако эти оценки спектральных плотностей по ансамблю являют­ ся смещенными. Кроме того, дисперсия этих оценок не умень­ шается при увеличении интервала регистрации данных (или

числа отсчетов в случае дискретных

данных).

 

В этом случае необходимо сглаживать оценки корреляционной

функции или оценки спектральной плотности с помощью

соответ­

ствующей весовой функции, чтобы получить несмещенные

оценки

спектральных плотностей по ансамблю

с приемлемой дисперсией.

Математические ожидания сглаженных корреляционных функций обычно оказываются неудовлетворительными оценками корреля­ ционных функций ансамбля. Однако соответствующие преобразо­ вания Фурье сглаженных корреляционных функций, т. е. спек­ тральные плотности, являются удовлетворительными оценками спектральных плотностей по ансамблю. На фиг. 12.3.6 показан поток информации при обработке данных.

Д л я надлежащего сглаживания автокорреляционных функций их можно умножить на некоторую весовую функцию во времен­ ной области, называемую «окном» запаздывания (window lag). Кроме того, спектральные плотности могут быть умножены на преобразование Фурье «окна» запаздывания, называемое спектраль­ ным «окном» (spectral window); следовательно, рассматривается пара «окон». «Окна» запаздывания усредняют корреляционную функцию в окрестности некоторого заданного момента времени,

Получение

оценок в частотной

области

839

придавая больший вес ближайшим к нему значениям и исключая удаленные значения. В свою очередь каждый момент времени служит некоторым центром «окна» и, таким образом, охватывается весь рассматриваемый интервал времени. «Окна» запаздывания w (т) представляют собой подходящим образом выбранные четные

Яхх M Сглажива­ Н« M

SXX(Ù>)

 

ние

 

Задержка

X(é).

Процесс

 

-YIt)

 

 

SuJiuT

Сглажива

 

 

нш

 

 

 

Ф и r. 12.3.6. Поток информации при вычислении передаточной функции .

функции x (фиг. 12.3.7) с ограничениями: w (0) = 1 и w (т) = 0 при I т I > tm. После умножения на «окно» запаздывания моди­ фицированные корреляционные функции имеют вид

Rxx (t) = w (т) R x x (т),

RXY Ы = w (x) RXY (T),

где функция R (x) определена только для | т | ^ tm, a функция R (x) определена для всех т. В результате модифицированные корреляционные функции определены для всех т и имеют следую­ щие изображения по Фурье:

S x x

(о) =

w (а>) S x

x

(со),

S хг

Ы =

w (и) SXY

 

( о ) .

Более важным, чем выбор конкретной формы «окна» запазды­ вания из числа изображенных на фиг. 12.3.7, каждое из которых позволяет получить оценки, вряд ли отличающиеся друг от друга, является выбор фактора, регулирующего ширину «окна» во

временной области. Это либо величина tm,

либо число отсчетов m,

охватываемых «окном», либо

эквивалентная величина — ширина

полосы Ъ в частотной области. Ширину полосы частот

обычно

связывают с

шириной прямоугольного

«окна». Если

же

«окно»

не является

прямоугольным,

то используется

некоторая

эквива­

лентная ширина полосы Ье

= 2 я / т . В

общем

случае

представ­

ляется наиболее успешным

эмпирический подход к

выбору т.

„Окна " задержки

Спектральные

„ окна "

 

 

 

 

 

\

Ь>г(и>)

 

 

 

 

 

 

 

 

V "

 

 

 

 

 

 

 

w,(ù))/>,08

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

'm

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

О

1

 

ft*.

Ф и г . 12.3.7. Тр и наиболее

часто используемые п а р ы «окон».

 

 

 

1)

Бартлетт:

 

 

 

W1 (т) =

1

-

 

если

II Т И <

tm,

wi (т) =

О,

 

 

если

| І Т | | > / т ,

wi (оэ) = tm

sin - у <ùt„

 

 

 

I

-coin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Ханнинг:

 

 

 

и>2(т)= -7г (* +cos ~

) ,

если

II т И sc i m ,

6 у

 

 

trn '

 

 

 

 

 

іо2 (т)=0,

 

 

 

 

если

II t

H > im,

wi (to) = -1 Q (и) + -y « ("> + " ^ ) + О (û)

-

- ^ - ) ,

Q((û) = 2 t m .

 

(ût™

 

 

 

 

 

 

S i n ю < n

Ханнинг:

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

«>3 (T) = 0,54 -f 0,46 cos - — ,

если

|| т || s;

tm,

W3(x)=0,

 

 

 

 

если

l|t||>*m.

w3((fl) = 0.54Q (ш) + 0,23 [Q (CÛ + y-)

+ Q (<o - •—)]

Получение оценок в частотной

области

841

Вначале берется большая ширина полосы,

т. е. задается

малое

значение т, и исследуется влияние уменьшения ширины полосы (обычно в области частот) путем увеличения т. Если достигается такое значение т, когда при дальнейшем его увеличении уже невозможно обнаружить тонкие детали, то это значение m можно зафиксировать. С другой стороны, m может оказаться слишком большим по сравнению с числом имеющихся отсчетов в интервале (О, tf), так что спектр становится блуждающим, т. е. его дисперсия (которая обратно пропорциональна ширине спектра) становится чрезмерно большой. Выбор «окна» должен производиться, исходя из здравого смысла и характера корреляционной функции. Если спектр имеет четкий резонансный пик и используется широкое «окно», то этот пик может «расплыться» по широкому частотному диапазону и остаться незамеченным. Чтобы получить большую точность в случае спектральной функции, имеющей заметные колебания амплитуды в узком диапазоне частот, необходимо узкое «окно», но в этом случае при заданной продолжительности регистрации данных будет наблюдаться худшее сглаживание и большая дисперсия. Таким образом, чтобы при заданной точно­ сти получить более сглаженную спектральную плотность, тре­ буется большая продолжительность регистрации данных. Мини­

мальная частота,

которую можно вычислить, / м и н =

1/2т м и н зави­

сит от длительности максимальной задержки хт,

используемой

при вычислении

корреляционных функций.

 

При наличии оборудования для обработки или регистрации непрерывных данных непосредственно на месте проведения экспе­ римента получаемые данные могут быть обработаны на аналого­ вых или гибридных вычислительных машинах как непрерывные. Однако если экспериментальные-данные должны анализироваться на цифровой вычислительной машине, то они представляются обычно в дискретной форме и в таком виде хранятся в запоми­ нающем устройстве вычислительной машины. Сглаженную спек­

тральную

плотность

можно вычислить,

зная

последовательность

п равноотстоящих во времени значений X и Y:

Sxy(XA(ù)=

 

2

w(jAt)RXY(iAt)exp{

— iKA(ùjAt), (12.3.14)

 

 

 

j=-N

 

 

 

 

« N

 

 

Л - - І

 

 

RXY (jAt)

+

\ _ .

2

X (kAt) Y (kAt + jAt),

j > 0,

 

 

 

 

fe=0

 

(12.3.15)

 

 

 

 

N+j

 

 

 

 

 

 

 

RXY(Jbt)tt

n

+

\ + .

2

X(kAt-jAt)Y(kAt),

 

; < 0 ,

й=0

Смотрите также файлы