Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 622

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

846

Глава 12

Умножая каждое соотношение на такое же соотношение с аргумен­ том (t + т) и переходя в обеих частях к математическим ожида­ ниям, получаем корреляционные функции. Используя преобра­ зования Фурье, находим

Sxx

(to)

=

Sxx

(to)

+

s E o g 0 (to),

Syy (to) = Syy

((si)

+

See (tu),

SXY

(to)

=

Sxy

((O).

 

 

Полагаем, что корреляционные функции для х и е 0 , у и г,

а также

е и

е 0 равны нулю. Считаем также, что случайные ошибки e (t)

и е 0

(t) стационарны и, следовательно, наблюдаемый

входной

сигнал X (t) является стационарным. Чтобы убедиться в справед­

ливости этих допущений,

можно

выполнить проверки,

описанные

в гл. 3.

 

 

 

Функция когерентности между входным и выходным сигналами,

определяемая как

 

 

 

Ухг(<*) = ГЩЩ-7>

° < . Ь Н < 1 ,

(12.3.19)

lsXX

(û>) SYY

H

 

является мерой линейной зависимости между X и Y в частотной области, соответствующей квадрату коэффициента корреляции во временной области. Чтобы показать влияние аддитивных оши­ бок, функцию когерентности можно также представить в следую­ щем виде:

~2

, .

II 'ху «») II2

УХѴ (о)

 

 

[«x* (to) +

V o ( c û ) ] ^УУ ( C O ) + S E E <FFL)1

 

 

II >xy (<*>) II2

:( ю ) ; „ (со) Гі+

4 S Ä

+ >

C )

+

W

^ )

 

 

 

 

 

5 3CX

( W ) S y y

(О))

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.3.20)

1 + ^

, M

1

« е р е р М

«ерво (">)

«ее ( Д > )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* y y ( Ш )

Sxx

(CO)

SJCJC (Cû)

S y y (CO)

 

В частном случае, когда входной сигнал не имеет ошибки, приме­ няя формулу (12.3.9), имеем

fxY (О) =

— =

1 j

i

—

.

(12.3.21)

i j

See И

sËE

(CO)

 

4

 

 

 

 

 

 

 

«уу (w)

 

sx x (со) H g (со) ||2

 

Если

See(ft))<Syy (СО),

Получение

оценок

в частотной

области

847

ТО

 

 

 

 

УХГ

(СО) «

1

 

 

 

 

(ffl)

 

 

Гудмен [15] использовал функцию когерентности для получе­ ния следующих приближенных доверительных соотношений для

коэффициента усиления и фазового угла, когда G (со) представ­ ляет собой несмещенную оценку g (со), а данные являются выбо­

рочными: / ч

I G (со) H-У g (со)

II «Г (СО) H

< s i n G ' ||ф(со)-ф(со) H < Ѳ }

 

 

к '

h/2

1 - 1

, Л І

I , (12.3.22)

Л—

VXY И

c O S 2 6 _ '

где предельная ошибка (в радианах). Число степеней свободы /с, приходящееся на расчетную точку спектра, при использовании выборочных данных вычисляется следующим образом. Если N =

=tf/At — число интервалов между измерениями, a N m — число

интервалов при максимальной длительности запаздывания:

 

 

 

 

 

 

M

 

<~i

tm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\.

At

tm

 

~£m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

k »

2N/'Nm

для

всех

частот 0 <

со <

с о м а к с [16]. При

со = О

имеем

k = tj/xm.

В

случае

непрерывных

данных к =

2bbtj, где

Ъе

— эквивалентная

ширина

полосы

входного сигнала

и

«окна».

 

Поскольку функция

когерентности

yXY

(со) неизвестна,

вместо

нее можно использовать некоторую завышенную оценку, так что доверительные соотношения будут лишь приближенными. Если получена первая оценка функции когерентности, то приближен­ ное число степеней свободы, необходимое для измерения частот­ ной характеристики с требуемой точностью, можно рассчитать по формуле (12.3.22). Затем находится оценка для g (со) при полу­

ченном числе степеней свободы и yXY (со) вычисляется заново. В качестве примера использования соотношения (12.3.22) рас­

смотрим эксперимент,

в

 

котором

 

 

 

 

со = 0,100

рад,

M

\

S

X

Y

(0,100)] =

0,01287,

J

[

S

X

Y

(0,100)]

=

0,04822,

 

S

X

X

 

(0,100)

=

0,09875,

SYY (0,100) = 0,003153,

848

 

 

 

 

Глава

12

 

 

число

отсчетов

240,

 

 

 

 

 

 

время

регистрации

данных

1 ч, .

 

ширина «окна»

10 мин,

 

 

 

 

 

 

максимальная длительность задержки для корреляции 20 мин.

Следовательно,

 

 

/ ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fxY

(0,100) =0,800,

 

 

 

 

/ ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ухт (0,100) =

0,89

 

 

 

 

 

/с = ^ - ° =

12.

 

Д л я доверительной

вероятности

0,90

имеем

 

 

0 9 0 - 1 — (

 

 

^ 0

' 8 0

^>6

 

 

и,»и — i

 

\ i _ o , 8 ü c o s 2 9 i '

откуда 9 = 0,349 рад и sin 9 = 0,342.

Следовательно,

 

/ ч

 

 

 

 

 

 

 

/ ч

 

 

G (со)

1

<

0,342

 

и

 

 

 

Il g И II

 

||гр(со)-т]5((й)||< 20,00 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы установить верхний и нижний пределы частоты, заметим,

что

At = 60/240 =

Ѵ4 с,

откуда / м а к с

= 1/(2 -Ѵ4 -60) = 1/30

Гц,

или

«макс = 2 -2я =

12,56 рад/мин. Минимальная

частота

равна

/ м и н

= 1/(2-20-60)

=

1/2400 Гц, или

ю м и н = 0,157

рад/мин.

Дженкинс [17] получил приближенные выражения для диспер-

 

 

 

/ \

/ ч

 

 

 

сий оценок уху (®), || G (to) || и гр (со) в случае больших выборок:

 

Var {ухг H }

«

-Ç-

[ 1 + fXY

 

(&)],

 

(12.3.23)

 

/ 4

 

 

 

1

 

 

 

 

V a r { | | G ( < ö ) | | } « ^ | g ( ö > )

 

 

(12.3.24)

 

 

 

 

 

 

 

 

L V X Y (<*>)

 

 

 

Var{t|)(tö)} «

«s

1

 

 

 

(12.3.25)

 

Гхг (щ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

+ІѴ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßft = Y 2

 

 

 

 

 

 

 

fe=-JV

 

 

 

 

Здесь

itfjj — ширина «окна»

задержки во временной

области при

к = г/At, или т = кAt и m =

tm/At,

или £ m

= пгАі, если т заме­

нить на г т . Определение квадранта, в котором находится

фазовый

угол,

должно проводиться

независимым

 

способом.

Из

форму-

Получение оценок в частотной области 849

 

 

 

 

 

/ ч

 

 

 

 

 

 

лы (12.3.24)

видно,

что Var (|| G (си) ||}

оо при

уХу

(со)

О

 

/ Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Var

{\\G (со) 11} - > 0 при уХу

(<*>) - > 1- Дженкинс также

показал,

 

 

 

 

 

/

\

 

/ ч

 

 

 

что в первом

приближении Cov {|| G (eu) ||, ф (со)} =

0. Это свиде­

тельствует о

том,

что коэффициент

 

усиления и фазовый

угол

можно

рассматривать

независимо.

Если

распределение

оценки

 

 

 

 

 

/ ч

 

 

 

 

 

 

коэффициента

усиления р (|| G (со) ||)

приближенно

описывается

^-распределением

с

числом

степеней свободы

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

то при доверительной вероятности (1 — 2а) величина log [|| g (со) ||] имеет следующие доверительные пределы:

Нижний Верхний

 

 

 

,

ѵ|Й(©)|

 

i

v | ö ( w ) l

 

 

 

 

 

 

 

M — а

 

 

 

 

л а

 

 

 

 

где Ха и

Хі-а — соответственно

верхний

и

нижний

процентили

^-распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица

При

нескольких

входных

и

выходных

сигналах

когерентности,

учитывающая

корреляцию,

которая

может суще­

ствовать

между

входными

сигналами,

имеет

вид

 

 

 

Y 2

=

[{Is* (со)]"1 s**"

(u>)}rJ* l X

Y (со) lsY

(co)I-1 , (12.3.26)

где знак

*

обозначает

сопряженную

матрицу. При

отсутствии

ошибки

Y 2 = I - Каждый

элемент

матрицы

у 2 можно

подставить

в соотношение (12.3.22) при данной частоте.

 

 

 

Пример 12.3.1.

Оценивание передаточной функции

 

 

 

 

с применением

корреляционного

анализа

Галлиэр, Слипцевич и Пакетт [18] использовали простой аппарат идеального смешения в качестве теплообменника для оценивания передаточной функции процесса методом корреля­ ционного анализа. На фиг. П.12.3.1а показана схема эксперимен­ та. Как нагревающей, так и охлаждающей жидкостью является вода. Математическая модель этого процесса имеет вид [19]:

1. Горячая «наружная» жидкость:

ç£p2V ^ = PiCplFTt - p%CnFT2 - UA (Т2 - Tt).

(а,)

Накопление

Ввод

Вывод

Межфазный перенос

850 Глава 12

2.

Холодная

«внутренняя»

 

жидкость:

 

 

 

 

CpkM

 

 

= WCP3T3

-

WCPJ,

 

+ UA(T2~

Tt).

(a2 )

 

Накопление

Ввод

 

Вывод

Межфазный перенос

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А — площадь наружной

поверхности

змеевика с

охлаждающей

жидкостью,

м2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ср — теплоемкость, ккал/(кг) -°С;

 

 

 

 

 

F

— объемная

скорость

потока,

м3 /мин;

 

 

M

— масса

охлаждающей

жидкости внутри змеевика, кг;

 

Т

— температура, °С;

 

 

 

 

 

 

 

 

t

— время,

мин;

 

 

 

 

 

 

 

 

U

— межфазный коэффициент теплопередачи, ккал/мин «м2

°С;

V

— объем

жидкости

в

аппарате,

см3 ;

 

 

 

W — массовая скорость жидкости

в

змеевике,

кг/мин;

 

р — плотность

жидкости,

г/см3 .

 

 

 

 

 

Уравнения

 

(а)

можно

записать в

следующем

виде:

 

 

dTt

 

IF

U А

у

 

VA

 

 

PiCpjFTj

 

 

dt

" г

\

V "T" pzCp2V

)

2

lP2CpiV

 

4 -

РгСр2Ѵ

'

W

 

dTA

 

(W

UA

y

-

UA

r

 

WCp3T3

 

 

 

dt

'

\ M

MCpi

j

4

MCpi

1 2

—

MCpi

•

\°2>

Член T^W/M приближенно равен нулю вследствие малых колеба­ ний скорости W, что было продемонстрировано испытаниями на

t

Ф и г . П.12.3.1а.

аналоговой вычислительной машине; следовательно, для линеари­ зации уравнений (б) этим членом можно пренебречь. В частном

случае,

когда

обе

жидкости

имели одинаковую

теплоемкость

и плотность,

вводилось

случайное воздействие в

виде колеба­

ний W,

а величины

F,

Ft и

Т3 поддерживались

постоянными.

Случайное входное воздействие генерировалось путем установки клапана в положение высокой или низкой нормы расхода с интер­

валом 10 с в зависимости

от того, четной или нечетной была

госледняя п и ф р а в т а б л и д е

случайных чисел. На фиг. П.12.3.16

Смотрите также файлы