Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 620

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Получение оценок в частотной

области

851

показана запись входного сигнала, который представляет

собой

по существу случайную «квадратную» волну (случайную двоичную

последовательность)

с амплитудой,

изменяющейся от - f а

до

—а.

Входной

сигнал W

(t) можно

записать

как

 

 

 

 

 

( - f я

нечетная цифра)

при

(n—

 

\)tm<.t<ntm,

 

W(t — Z) — \

,

\

'

 

ѵ

( — а

четная цифра )

 

 

 

 

 

где Z — случайная

величина,

обозначающая

интервал от

t

= О

до момента первого переключения клапана. Все последующие

переключения

происходили в моменты nAt, где п — целое число.

^ 6,0 л/мин

а

^-0,0л/мин

_п_ги ш_гаѵ-RTL

j j

 

—4 1— 'Ос

 

ô

1,7

 

Ф и г . П . 12 . 3 . 16 . З а п и с ь входного и выходного сигналов в

аппарате .

а — массовая скорость охлаждающей жидкости^ТГ; б — температура

на выходе Тг.

Автокорреляционная функция случайной двоичной последова­ тельности с периодом переключения tm (фиг. 12.3.2) имеет вид

r W w ( x ) = g { W (t)W(t + X)}:

^ і 1 - ^ )

П Р И

° < I M K ' m ,

{ О

при

M > tr.

Автокорреляционная функция имеет треугольную форму, анало­

гичную

изображенной

во

второй строке таблицы на фиг. 12.3.2,

с тем

лишь отличием,

что максимум находится в точке

а2. П р и

tm

0

функция r w w

(т)

приближается к импульсной

функции,

à взаимная корреляционная функция между входным и выходным сигналами rWT — к корреляционной функции импульсной харак­ теристики. Спектральная плотность входного сигнала находится

852 Глава 12

как преобразование

Фурье

автокорреляционной функции r w w

(т):

со

 

tm

 

 

^ ( с о ) = j r w ( x ) e - i a ' c d T

= a2 j ( 1 - №L) e~i(i,x

dx =

 

 

 

-tn

 

 

= 2a2

j ( l - i l L ) c o s c o T d t = a ^ M

^ ^ - J .

(в)

Необходимо, чтобы входной сигнал имел достаточную мощность на частотах, представляющих интерес, с тем чтобы характеристику системы можно было измерить на этих же частотах. Дл я значений переменных

V = 0,02172 м3 , F = 0,90 м3 /мин, Р і = р 2

=

р = 1 г/см3 , CpZ

==

= Cvk = Ср = 0,309 ккал/кг.°С, U = 59,8 ккал/мин-°С-м2 ,

Л =

= 0,171 м2 , M = 0,762 кг, Ті = 60 °С,

Т3

= 21 °С получена

следующая передаточная функция линейной модели (где t изме­ ряется в минутах, температура в градусах Фаренгейта, а массовая скорость в фунт/мин):

hiß)

4,215

.

W(s)

s 2 + 1 3 , 0 8 2

« + 9 , 4 1 3 '

соответствующая импульсная характеристика модели во времен­ ной области имеет вид

g (t) = 0,3646 (е-».™* - е - 1 2 - 3 2 ') .

Следовательно, постоянные времени рассматриваемого устройства приближенно равны 1/0,764 = 1,3 мин и 1/12,32 = 0,08 мин. Сравнивая частотную характеристику модели (с исключенным членом TiW/M), полученную из передаточной функции [соотноше­ ние (г)] путем замены s на ш и записи g (со) в полярной форме, со спектральной плотностью входного сигнала, заданной форму­

лой

(в), выбираем

tm

= 10 с. Спектральная плотность случайной

двоичной

последовательности принимает

нулевые значения при

(ùtm/2

=

пп, » =

1,

2, 3, . . . . При tm

= 10с первый

нуль

появляется при 37,7 рад/с, где отклик системы ослабляется

более

чем

в 100 раз.

 

 

 

 

Дл я обработки данных о входном и выходном сигналах на цифровой вычислительной машине данные регистрировались с интервалом 1,93 с, что соответствует 1 мм ленты при частоте наложения информации 97,5 рад/мин, которая находится за пре­ делами рабочего диапазона оборудования. На основе данных за весь период были вычислены средние значения Tz и W и вычтены из соответствующих величин, чтобы исключить систематическую ошибку в корреляционных функциях; + а соответствует 3,79 л/мин,

 

Получение

оценок в частотной

области

853

а

—а соответствует

2,27 л/мин;

следовательно, как

показано

на фигуре П.12.3.16,

| а | = 0,76

л/мин.

 

 

Оценка автокорреляционной функции вычислялась на основе

скорректированных

дискретных

данных

по формуле

 

 

п-т

 

 

 

 

 

 

S

 

Wt(t)Ti+x-

 

 

 

 

І=І

 

 

 

 

 

 

 

 

n—m

n

 

 

 

 

t=l

 

i=m+l

 

где

71 == T2; m — максимальное

число

используемых

отрезков

времени в интервале

задержки;

п — общее • число дискретных

точек, взятых на временном графике. Аналогичным образом можно вычислить авторреляционную функцию. Члены, стоящие в правой части формулы после знака минус, введены для того, чтобы исклю­ чить возможное смещение, возникающее вследствие использова­ ния данных, зарегистрированных на некотором интервале общего времени. Время, необходимое для выполнения вычислений, при­ мерно пропорционально (п — т) т.

Оценки спектральной плотности были получены путем пред­ ставления функции RWT (т) между дискретными значениями отрезками прямой, как показано в разд. 12.2.2. Дл я проверки величины ошибки, возникающей при таком представлении RWT проводились исследования методом имитации для принятых авто­ корреляционных функций. На частотах 0,032 рад/мин численная ошибка появлялась в четвертой значащей цифре действительной

части

спектральной

плотности;

при

частоте 1 рад/мин ошибка

была

в третьей

значащей цифре; при 500 рад/мин — во

второй

значащей

цифре.

 

 

 

 

 

 

Путем суммирования членов, полученных при аналитическом

интегрировании

по каждому отрезку

в выражении для R W T (т),

было

найдено

преобразование

Фурье функции

R W T

(т):

 

 

 

N-i

j+l

 

 

 

 

 

 

SWT(a)=

2

j « ; j ( T ) [ a j + ß j ( T — Xj)]e-ia>JAtdx,

 

(e)

где wi (t) — ширина

«окна», wt

(t) =

[1 — (x/tm)2]1,

l =

2;

a} —

значение

корреляционной функции в

момент nAt;

ßj — средний

тангенс угла наклона корреляционной функции между моментами jAt и (j + 1) М:

R t _ « j [ ( / +

l)A * 1 - gj(/At) .

V 1

At

І — число

отрезков времени; N — общее число отрезков времени

за период

регистрации данных.

854

Глава 12

Вформуле (е) отсутствуют ошибки на высоких частотах,

которые

могут

появиться

при интегрировании

произведения

ocj- (jAt) e~i(ai&t по

формуле

трапеций.

 

После

интегрирования

выражение (е) можно

представить

в форме, более удобной для вычислений на цифровой вычислитель­

ной

машине:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SWT

(со) =

4-

{ / w sin (ùNAt + -^-

[(/,- -

fj-i)

cos a>NAt

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i V - l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

(Л - /о) +

2

(2/j -

fj+i -

 

fj-i)

cos ajAt]

}

+

 

 

 

+

~

{ / _ w sin coiVAt + - ^ -

-

 

 

 

cos coiVД« -

(/t -

/о)

+

 

 

-(N-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

 

(2/> - / ж

- / ы )

cos <Й/Д*] } +

 

{(Zw cos со/VA*-/0 )

-

 

i = - 1

 

 

 

 

 

 

N-l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Щ -

 

 

~

s i n ö i V A

f

+ 2 ' ( 2

/ i

-

 

-

/ м ) sin m/Ai] }

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ г { -

 

U N COS CO/VДt _

/ 0 ) _

- L -

[

_

(f_N

_

 

s

i n

co/V At

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N-i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

2

( 2 / і - / і + і - / і - , ) 8 І п с о у Д г ] }

,

(ж)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fr =

w (/At) i ? w

r

(/Ді).

 

 

 

 

 

 

 

На фиг. П.12.3.1B показаны

типичные

значения

функции

RWT

(t)-

Сравните

также

 

математическое

ожидание автокорре­

ляционной

функции

(равнобедренный

треугольник

с

вершиной

в начале

отсчета,

изображенный

на

фиг. 12.3.2)

с

RWw

(т) на

фиг. П.12.3.1в. При увеличении продолжительности

регистрации

данных

колебания

вправо

 

от треугольника

 

затухают.

Оценивае­

мые значения автокорреляционной функции и функции взаимной корреляции были сделаны безразмерными путем деления их на значение функции R (т) в момент т = 0.

На фиг. П.12.3.ІГ сравнивается спектральная плотность вход­

ного сигнала S w w (со) при увеличивающейся

продолжительности

регистрации

данных с теоретической плотностью, определяемой

по формуле

(в). На фиг. П . 12 . 3 . ІД показана

взаимная спектраль­

ная плотность. Вычисления были прекращены при длительности запаздывания, равной 180 отрезкам времени.

зр

О

20

АО

60

80

100

120

140

160

WO

J

I

I

I

I

I

I

I

I

I

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Ф и г . П . 1 2 . 3 . І В .

Оценки

к о р р е л я ц и и

для

3000

результатов с

з а д е р ж к о й .

а — нормированная

взаимная корреляционная функция; б — нормированная автокор­

 

 

 

реляционная

функция.

 

 

 

 

Частота, рад/мин

Ф и г . П. 12.3.1 г. Оценка спектральной плотности входного сигнала S w w (со).

Смотрите также файлы