Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 614
Скачиваний: 2
866 |
Приложение |
А |
Если априорное распределение является равномерным, т. е. если априорная плотность распределения равна некоторой постоянной, то выражение (А.2) сводится к
—,I |
О |
• |
М 6 | х ) |
|
|
|
L{Q\x)dQ |
|
Если априорная информация о предполагаемом событии или гипотезе является весьма скудной, апостериорная вероятность большей частью или полностью определяется функцией правдо подобия, т. е. дополнительными данными. Если, однако, априор ная информация преобладает над последними данными, то апо стериорная вероятность почти полностью определяется априорной вероятностью.
Третья интерпретация вероятности связана с аксиоматическим рассмотрением. Согласно Кейнесу [2], который одним из первых предложил использовать аксиоматический подход:
«Все утверждения являются истинными или ложными, однако информация, которой мы располагаем о них, зависит от ряда обстоятельств; и хотя удобно говорить об утверждениях как об определенных или правдоподобных, они, строго говоря, лишь отражают соотношение между имеющейся информацией и полной совокупностью знаний, действительных или гипотетических...
Утверждение не является правдоподобным потому, что мы счи таем, что это так».
Другими словами, вероятность некоторого утверждения пред ставляет собой некоторое действительное число, устанавливаемое только на основе логических рассуждений, и степень доверия к этому утверждению также определяется лишь на основе логиче ских рассуждений.
Здесь нет возможности показать взаимосвязь этих интерпрета ций вероятности. В работах Кибурга, Кернера, Лиса или Папулиса, указанных в списке литературы в конце приложения, про водится детальное обсуждение этих вопросов.
При использовании различных критериев и при планировании экспериментов необходимо знать некоторые определения и законы
теории |
вероятностей, которые |
приведены |
ниже. |
|
|
1. Согласно |
частотной интерпретации |
теории вероятностей, |
|||
|
|
О < |
Р < 1. |
|
(А.З) |
2. Если вероятность осуществления некоторого |
события А |
||||
зависит |
от того, |
произошло ли |
событие В, |
то такие |
два события |
называются зависимыми; если вероятность осуществления собы тия А не зависит от того, произошло событие В или нет, или наоборот, то эти события называются независимыми.
Основные |
понятия теории |
вероятностей |
867 |
3. П р а в и л о |
с л о ж е н и я . |
Если Ау, А2, • . ., Ап |
— |
несовместные (взаимно |
исключающие) |
события, т. е. события, кото |
|
рые не могут произойти в одно и то же время, то вероятность |
осу |
||
ществления только одного события равна сумме вероятностей для
каждого |
Ah: |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(А{ |
или Аъ или |
Ап)= |
S P(Ak). |
(А.4) |
|
Часто полагают |
|
|
|
fc=i |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 Р ( Л ) = 1. |
|
(А.5) |
||
К тому |
же если каждое |
событие |
равновероятно, так |
что |
||
|
|
Р |
(Лк) = |
Я, то |
|
|
|
П |
|
|
|
1 |
|
|
V I |
|
|
|
|
|
|
21q |
= nq=l |
или |
P(Ak) |
= q = —. |
(А.5а) |
Согласно теории множеств, несовместные события не имеют общих точек (фиг. А.1). Объединение множеств, которое пред-
|
Ф и г. А . 1 . Несовместные |
события |
(множества). |
||
ставляет |
собой |
множество |
всех |
элементов, принадлежащих А у |
|
шли*А2, |
или... |
(объединение |
обозначается |
символом U)> записы- |
|
Ф и г. А . 2 . Разбиение выборочного пространства на п событий (множеств),
в а е т с я к а к Ау {] А2 |
U • • • і М п |
и |
|
|
|||
Р (Ау[}А2\]. |
. ,[}Ап) |
= |
Р (Ау) |
+Р(Аг) |
+ . . . + Р(Ап). |
(А.4а) |
|
Если |
пространство |
полностью |
разбито |
на множества, то |
равен |
||
ство |
(А.5) |
справедливо |
(фиг. |
А.2). |
|
|
|
868 |
Приложение |
А |
|
|
4. П р а в и л о |
у м н о ж е н и я . |
Если события А и В |
неза |
|
висимы, то |
|
|
|
|
|
Р (А и В) = P |
(А) |
Р (В). |
(А.6) |
В теории множеств пересечением А ж В называется множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В; оно обозначается
Ф и г. А . З . Пересечение А и В.
символом f) . Таким образом, |
|
|
Р(А[\В) |
= Р(А)Р(В), |
(АЛ) |
что соответствует заштрихованной области на фиг. А.З. (Следует помнить, что несовместные события (множества) не обязательно независимы.)
Если события |
А |
и В |
зависимы, |
то |
|
|
|
||||
|
Р(А\В)=Р{^}В) |
|
|
|
, |
Р(В)Ф0, |
|
(А.8) |
|||
где |
символ P (А |
\ В) |
означает |
«вероятность |
А |
при |
условии В». |
||||
Как |
следствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (А П В) |
= |
Р |
(В) |
P |
(А |
I В) |
= |
(А.8а) |
|
|
|
|
|
= |
P |
(А) |
Р |
(В I А). |
|
(А.86) |
|
В соотношение (А.8а) (или А.86) входят вероятности двух типов: абсолютная вероятность события В (или А), не зависящая от того, произошло событие А (или В) или нет, и условная вероятность события А (или В), вычисленная в предположении, что событие В (или А) произошло. Нетрудно заметить, что соотношение (А.6)
или (А.7) является частным случаем |
соотношения |
(А.8), так как |
|||||||||
если события независимы, то P (А |
| В) — Р |
(А). |
|
|
|||||||
Соотношение (А.6) можно обобщить на случай нескольких |
|||||||||||
событий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Аі |
и А2 |
и . . . |
и |
Ап) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Р(АІ) |
Р |
(А2) . . . |
Р |
(Ап)= |
fi |
Р (40- |
(А.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe=i |
|
|
5. |
Д л я |
событий, |
не |
являющихся |
несовместными (взаимно |
||||||
исключающими), имеет |
место другое |
полезное соотношение |
|||||||||
|
|
Р (А) |
+ |
Р |
(В)- |
Р (А[\В) |
|
= Р (А |
\}В). |
(АЛО) |
|
Основные |
понятия |
теории |
вероятностей |
869 |
Пример АЛ . Применение правил сложения и умножения
Все эти правила можно проиллюстрировать на примере броса ния двух игральных костей, красной и синей. Если бросаются две кости, каждая из которых имеет шесть граней и может дать одно число (на верхней грани), то события, которые могут реали зоваться, можно представить в двумерной таблице, называемой «выборочным пространством». Для идеальной кости выборочное пространство можно предсказать заранее; в других случаях оно определяется из эксперимента.
|
|
|
|
|
|
Таблица |
П.АЛ. |
ч. |
Синяя |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Красная |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
|
2 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
2,5 |
2,6 |
|
3 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
|
4 |
4,1 |
4,2 |
4,3 |
4,4 |
4,5 |
4,6 |
|
5 |
5,1 |
5,2 |
5,3 |
5,4 |
5,5 |
5,6 |
|
6 |
6 , Г |
6,2 |
6,3 |
6,4 |
6,5 |
6,6 |
В табл. П.А.1 каждый элемент таблицы соответствует одному из возможных исходов.
Общая процедура определения вероятностей различных собы тий такова:
1.Выборочное пространство всех возможных исходов пред ставляется в виде таблицы (см. выше) или соотношения, если это возможно.
2.Определяется вероятность для каждого элемента (2.Р — 1).
3.Находится вероятность некоторого события путем сумми рования вероятностей, приписанных элементам подмножества, составляющего это событие. Для двух идеальных костей каждый
исход в таблице |
равновероятен, так что |
применимо |
соотноше |
ние (А.5а) и Р = |
Ѵ з в . |
конкретные |
вопросы: |
Теперь можно |
ответить на некоторые |
1. Какова вероятность выпадения одинаковых чисел на каждой кости, т. е. (1, 1) или (2, 2)", или (3, 3) и т. д.? Событие составляют шесть элементов, и они являются несовместными. Применяя соот
ношение |
(А.4а), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
Р 1(1, 1) |
или (2, |
2), или (3, 3), или (4, 4), |
или |
(5, |
5), |
или |
(6, 6)] = |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
^ З б ^ З б + Зб + Зб + Зб + З б ^ Т * |
||||||
