Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 615

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

870 Приложение А

2. Какова вероятность того, что сумма чисел на двух костях будет равна 10? Событие составляют три несовместных элемента

(на диагонали). Вероятность каждого

из

них равна

V 3 Ö , так

что

сумма

трех таких

значений

равна гІі2

в

соответствии

с

соотноше­

нием

(А. 4а):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р[С + К=І0\

= Р\{Ъ,

4) или

(5,

5),

или

(4, 6 ) ] = ^ .

 

3.

Какова вероятность

выпадения

на

синей

кости

числа

^ З

или на красной — числа ^2? Эти события не являются

несовмест­

ными, так что необходимо избежать двойного учета перекрываю­ щихся исходов. Из таблицы отбираются следующие события:

 

 

 

с ^

з

 

 

( 1 ,

1),

( 1 ,

2),

( 1 ,

3)

Ï

(2,

1),

(2,

2),

(2,

3)

I

(6,

1),

(6,

2),

(6,

3)

>

 

 

К 5=

2

8

( 1 , 1), ( 1 , 2)

( 1 , 6) л12

1 й

(2, 1), (2, 2)

(2, 6) /

Учет

дублированных

исходов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1,1),

(1,2),

(1,3)|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2,

1),

(2,

2),

(2,

3)|

 

 

 

 

 

 

при

подсчете

приводит

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р [ ( С < 3 )

или

( Я < 2 ) ] =

18

. A . + 1 2 - ^ — б .

 

^ - = < * = ± Л

 

Непосредственное

применение

соотношения

(А. 10)

дает

 

 

 

 

 

Р{А)

+ Р(В)-Р{А

 

 

 

П В) = Р(А

U В)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

__ 18

 

_12_

 

 

 

6 _ _ 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

36 +

36

 

36

—

 

36 *

 

 

 

 

 

 

 

4.

Какова

вероятность

выпадения

на синей

кости

числа

^ З

и на красной кости числа

^2?

Подсчет исходов дает только шесть

событий,

удовлетворяющих

условиям

 

С ^

3 и

 

К ^

2:

 

 

 

 

 

 

 

(1,

1),

 

(1, 2),

 

(1,

3),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2,

1),

 

(2,

2),

 

(2,

3),

 

 

 

 

 

 

так

что

Р (С ^ 3

и

К

^.2)

 

— 6 / 3 6

=

Ѵ6 . Так как бросания не

зависят

друг

от

друга,

применимо

 

соотношение

(А.7):

 

 

 

Р ( С < 3

П К<2)

 

= Р(С<3)Р(К<2)

 

 

= §

. ^

=

± .

 

 

5.

Какова

вероятность

того,

что

 

сумма чисел

на

костях будет

< 4

при

условии,

что

на синей

кости

выпала 1? В этом примере

встречается условная

вероятность

(зависимые события), так

что

Основные понятия теории вероятностей 871

применимо соотношение

(А.8):

 

 

 

 

 

Р [ (С +

^ < 4 ) 1 ( С = 1 ) ] = Р ^

+ ^ < 4 ) П ( С = 1)]

По

таблице можно подсчитать:.

f

(О — 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

6

 

 

 

 

Р(С=І)=6.4Г=І,

 

 

 

Р [ (С + Я < 4 )

П (С^1)]

= 2.-^"36 —=

184^,

так

что

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р[(С + К<Ь)\(С=1)]

= -%- = ±

в чем

можно

убедиться

и

непосредственно.

 

 

6.

Какова

вероятность

 

того, что

при

первом

бросании костей

в сумме выпадет число 4 и следующее бросание также даст число 4? В предположении, что бросания являются независимыми события­ ми, применимо соотношение (А.7):

Р[(С + К = А) П (С + К = А)) =

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Cramer H . , Mathematical

Methods of Statistics, Princeton'Univ. Press,

Princeton,

N . J . , 1946, p.

149.

2. Keynes J.

M . , A Treatise on Probability, MacMillan, London, 1921, pp. 3—4.

 

 

 

 

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

Ayer A .

 

J., Chance, Scientific

 

Amer.,

211,

p. 44

(Nov.

1964).

Techno­

Fisher

R.

A . , Mathematical

Probability i n

the Natural

Sciences,

metrics,

1,

21

(1959).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Körner

 

S., ed.,

Observation

 

and Interpretation,

Butterworths,

London,

1957.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K y b u r g

H . E . , Probability and Logic

of Rational

Belief, Wesleyan

U n i v .

Press,

Middletown, Conn. 1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

Lees S.,

Joint

Auto . Control

Conference (Paper 5,

Session 16), p. 36,

1965.

Papoulis

 

A . ,

The

Meaning of

Probability,

IEEE

Trans.,

E-7, 45

(1964)

Приложение Б

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Вэтом приложении дается краткое изложение некоторых математических положений, использованных в основном тексте

книги.

Данное

 

приложение

представляет

собой

лишь

некоторое

резюме

и

не

является

достаточно

полным

и детальным,

чтобы

обеспечить необходимую подготовку

тех, кто впервые

знакомится

с этими

вопросами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б . 1 . С В О Й С Т В А И Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Л И Н Е Й Н Ы Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У Р А В Н Е Н И Й

 

 

 

 

 

 

 

 

Комбинация

векторов

или

скаляров

является

линейной,

если

ее можно

представить

в

следующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СІХІ

+

с2х2

+

. . . +

спхп.

 

 

 

 

(Б.1.1)

Величины

Xj

в

выражении

 

(Б.1.1)

могут

быть

векторами:

 

 

 

 

 

 

 

xi = a 1 1 ô 1 + a 1 2 ô 2 + . . . ,

 

 

 

 

(Б.1.2)

 

 

 

 

 

 

х п

=

апі6і

+

апф2

+

. . . ,

 

 

 

 

(Б.

1.3)

многочленами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х

1

=

Рх(х),

 

 

 

 

 

 

 

(Б.1.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

хп

 

=

Рп(х)

 

 

 

 

 

 

 

(Б.

1.5)

или какими-нибудь другими функциями.

 

 

 

 

 

 

Величины

xi

линейно

 

зависимы,

 

если

для некоторого

набора

коэффициентов

ct

(предполагается,

что

не

все

с; равны

нулю)

справедливо

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ct^i +

С2Я2 +

• • • +СпХп

=

S

СіХі =

0.

 

 

(Б.

1.6)

Напротив

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і=і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

СІХІ

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ct

 

 

г=і

 

 

 

 

 

 

 

хг

линейно

 

неза­

только

когда

все

равны

нулю,

то величины

 

висимы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математический

аппарат

873

Пример Б . 1.1. Линейная независимость Многочлены

Р2

{х)

=

ХІ +

2х2,

Р3

(x)

=

xi +

4z2

являются линейно зависимыми над полем рациональных чиселг ибо соотношение

ct

(2ХІ — х2)

+ с2 (хі + 2х2) + с3 (хі + 4ж2) = 0

(а)

выполняется

по

крайней мере для одного набора

ct, а именно

Су =

1, с2 =

— 9 / 2 и с 3 = 5 / 2 . С другой стороны,

векторы

x, = Ô1 + 2ô2 + 3ô 3 , х2 = 3ôt + 2Ô2 + ô 3

линейно независимы, так как не существует набора ct, при котором удовлетворялось бы следующее соотношение:

et (Â + 2Ô2 + 3Ô3) + с2 (3ÔJ + 2ô2 - f ô3 ) = 0.

(6).

Убедиться в справедливости последнего утверждения можно,,

записав уравнение (б) в виде трех

скалярных

уравнений:

6j:

d-)-3c2 = 0,

 

ô2 :

2 C l + 2c2

= 0,

(в)

ô3 :

ЗСІ + c2 = 0.

 

Нетривиальное (ct ф 0) решение этой системы уравнений не суще­ ствует, что нетрудно сразу увидеть.

Б . 2 . Л И Н Е Й Н Ы Е И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е О П Е Р А Т О Р Ы

Оператор Sß называется линейным, если он обладает свой­

ствами:

 

 

 

 

 

 

1)

аддитивности (свойство

суперпозиции):

 

 

 

se (h + f2) = se (h)

+ se

(/2 );

(Б.2.І>

2)

пропорциональности

(однородности):

 

 

 

 

Sß

(kf) = kSe

(/),

 

(Б.2.2)

где / 4

и / 2

— некоторые функции. Хорошо

известным

примером

линейного

оператора может

служить

оператор D2 =

d2ldx2,

! > • < * + * > - З г + 4 І ? -

874 Приложение Б

Напротив,

оператор

(d/dxf

не является

линейным, так как

 

 

 

 

 

/

dui

\2

t

dy2

\2

 

tdyi

dy2\2

 

 

 

 

 

 

 

\

dx

)

"*Л

dx

)

^

\

dx

dx

)

'

 

Другие типичные примеры линейных и

нелинейных

операторов

приведены

в

табл.

Б . 2 . 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица Б.2.1

 

 

 

 

Примеры линейных и нелинейных операторов х )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейные

 

 

 

 

 

 

 

нелинейные

 

Ш{и)

_

du

 

 

 

 

 

 

 

Jir{u)

=

R (x)

u2

 

 

~~

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж

(и) =

Q(x)u

 

 

 

 

 

 

JT{u)

_

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(и) _

dnu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Ж

 

 

 

 

 

 

 

JT(u)

=

^ H

(x,

s) и (s)

и (s -f- ж) ds

 

 

=

dx*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

д2и

 

д2и

 

д*и

 

 

 

 

 

a

 

 

 

зе{и)

'

'

 

 

 

JlT{u)

=

P (ж) e"

 

 

 

 

~

дх*

ду*

ôz2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж (и) =

А(х)

+

В(х)и

+

С(х)

- g -

 

 

 

 

v '

dx™

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i)

и — непрерывная

переменная

на

заданном интервале;

se, у,

z — независимые

переменные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью определений (Б.2.1) и (Б.2.2) нетрудно записать

линейные

и

нелинейные

уравнения

в

общем

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sß

(/)

=

г|э (х)

 

 

 

(Б.2.3)

•(для одной независимой переменной х). Уравнение (Б.2.3) назы­ вается линейным, если Sß (/) — линейный оператор, и нелинейным, «ели этот оператор нелинеен. Решением такого уравнения, если •оно существует, будет функция

/ (х, у) = F (х),

(Б.2.4)

которая удовлетворяет уравнению (Б.2.3) и содержит одну или несколько произвольных постоянных или параметров.

Смотрите также файлы