Математический аппарат |
875 |
Б . З . Л И Н Е Й Н Ы Е С И С Т Е М Ы
Характер предсказаний выходных характеристик системы существенно зависит от того, является ли эта система линейной или нелинейной. Будем называть систему линейной, если опера тор, описывающий связь между входом и выходом этой системы, является линейным. Например, если даны отклики
|
|
|
|
|
Vi |
(*) =f[xl |
(t)), |
|
|
|
(Б.3.1) |
|
|
|
|
|
У2 (t) = f lx2 |
(t)], |
|
|
|
(Б.3.2) |
то для того, чтобы система была линейной, |
необходимо выполне |
ние |
следующего |
соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
(t) + |
Уг (t) = / I * , (*) + |
хг |
(t)]. |
|
(Б.3.3) |
Линейным системам также присуще свойство |
пропорциональности |
или |
однородности: |
если |
функция |
/ [ху (t)] |
фактически |
равна |
kf [xi (t)], то |
отклик |
равен ку^ (t). |
Реальный смысл |
принципа |
суперпозиции |
состоит |
в том, что нелинейные |
системы |
в |
строгом |
смысле не допускают |
линейных |
преобразований. |
Например, |
устройство, работающее по «квадратичному закону», т. е. со связью
между входом |
и выходом типа у (t) = х2 |
(t), не является линей |
ной системой, |
|
так как |
|
Уі (*) + |
Уг (t) = х\ (t) + xt (t) ф |
[Xi (t) + x2 (t)}2. |
Б . 4 . М А Т Р И Ч Н А Я А Л Г Е Б Р А
Матричная алгебра широко используется там, где приходится работать с большим числом линейно связанных величин. Знаком ство с некоторыми обозначениями, методами, ограничениями и при менениями теории матриц весьма существенно для понимания того, как нужно решать важные типы задач и как упростить сложные обозначения. Операции с матрицами особенно удобны при вычис лениях на высокоскоростных цифровых вычислительных маши нах, так что тот, кто использует эти методы, освобожден от огром ного объема утомительных првторяющихся операций. Здесь дано краткое описание важнейших свойств матриц и операций с ними; приведены типичные примеры.
Матрицей называется некоторая совокупность элементовг ) , расположенных в определенном порядке:
Г а ц |
а і 2 |
. . . |
ащ |
|
I Û21 |
а 22 |
• • • |
а2п |
(Б.4.1) |
|
|
|
|
La ml Лт2 • • •атп_,
) Матрицы обычно обозначаются п о л у ж и р н ы м шрифтом .
876 |
|
Приложение |
Б |
|
Квадратной |
матрицей называется |
матрица, |
в которой число |
строк |
равно |
числу столбцов. |
Например, матрицей n X п при |
п = 3 |
является матрица |
2 |
3- |
|
|
|
г1 |
|
|
|
а — 2 |
3 |
4 |
(Б.4.2) |
|
|
.3 |
4 |
5. |
|
В единичной матрице (имеет специальное обозначение I) элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю:
1 |
0 |
О і |
|
1 = О |
1 |
О — единичная матрица 3 x 3 . |
(Б.4.3) |
О0 1
Дл я того чтобы две матрицы были равны, необходимо, чтобы
равнялись друг другу |
все элементы |
на соответствующих |
местах |
в |
этих матрицах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Транспонированная |
матрица |
получается |
перестановкой |
строк |
и |
столбцов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й Ц |
а2і |
|
|
|
|
|
|
|
ßj2 |
а22 . |
Ят2 |
|
|
(Б.4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
l _ û l n |
а2п |
.а тп |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
"П . аг= |
2 |
In |
(Б.4.5) |
|
|
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1- |
|
|
|
|
|
|
И |
1 |
4-1 |
|
- 1 |
4 |
|
Симметричной матрицей называется матрица, для которой
а = а1
г О |
1 |
2-1 |
гО |
1 |
|
1 |
|
а = 1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
(Б.4.6) |
3 |
2 |
3 |
4. |
2 |
3 |
4, |
|
Присоединенной матрицей А называется транспонированная матрица алгебраических дополнений. Если задана квадратная матрица а порядка п
|_an i і аП 2 • . . (inn J
Математический |
аппарат |
877 |
то элементы алгебраического дополнения ан (очерчены пунктир ной линией)
-Ö22
Чпп -1
По определению, алгебраическое дополнение Atj элемента матри цы atj равно определителю матрицы, полученной вычеркиванием в первоначальной матрице і-й строки и /-го столбца, умноженному на ( — С л е д о в а т е л ь н о , присоединенная матрица имеет вид
Ац |
. . . |
Am |
А12 |
А22 |
• • • |
AJI2 |
Am |
А:2п |
|
Ann. |
Например, |
|
|
|
|
1 |
у-\ |
1 |
2 |
1 |
|
,0 |
3 |
2. |
|
Ац = 1. ( 4 - 3 ) = |
1, |
Л 1 2 = ( - 1 ) . ( 2 - 0 ) = - 2 , 4 1 3 = 1 - ( 3 - 0 ) = 3
и т. д. |
|
|
1 |
- ( 2 - 3 * / ) |
( 1 - 2 у ) - | |
— 2 |
2а; |
—(ж — у) |
3 |
—За: |
(2а;—1) |
Обратная матрица а 1 определяется из условия
а ^ а ^ І
Обратную матрицу можно вычислить по формуле
|
-i |
А |
|
если |
det а ф 0. |
(Б.4.9) |
|
det |
а |
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
алгебраических дополнений |
-8 4 2" |
|
- |
56 - 1 2 |
— 4-1 |
а = 2 |
8 |
4 , |
(Aij) = |
- 2 8 |
62 |
— 12 |
_1 |
2 |
8_ |
|
|
0 |
- 2 8 |
56. |
878 Приложение В
deta = 392,
|
- 56 |
— 12 |
—4i г |
. 1 |
- 1 |
0 |
' |
|
392 |
392 |
392 |
7 |
14 |
|
|
|
|
— 28 62 |
- 1 2 |
— 3 |
31 |
— 1 |
|
|
392 |
392 |
392 |
98 |
196 |
14 |
|
|
0 |
- 2 8 |
56 |
— 1 |
- 3 |
1 |
-1 |
|
392 |
392 |
392 |
L 98 |
98 |
7 |
Если определитель матрицы |
а равен нулю, матрица а |
вырож |
дена |
(сингулярна), |
а а - 1 не существует. Если |
а т = а - 1 , то матри |
ца а |
называется |
ортогональной. |
Матрица, |
состоящая из |
одного |
столбца, называется вектор-столбцом, |
а матрица, состоящая из |
одной |
строки,— |
вектор-строкой: |
|
|
|
|
2 |
— вектор-столбец, |
[ 1 2 3 4] — вектор-строка. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L 4 J
Для того чтобы две матрицы а и b можно было перемножить, они должны быть согласованы друг с другом, т. е. число столбцов первой матрицы а должно равняться числу строк второй матрицы b
(а — левый, a b — правый сомножитель). Заметим, что, за исклю
чением особых случаев, ab не равно Ьа.
Чтобы перемножить матрицы а и Ь, первый элемент первой строки матрицы а умножьте на первый элемент первого столбца матрицы Ь, затем второй элемент первой строки а умножьте на второй элемент первого столбца b и т. д., пока все элементы первой строки матрицы а не будут помножены на соответствующие эле менты первого столбца матрицы Ь. Затем просуммируйте эти про изведения. Эта сумма образует элемент сп матрицы с = ab:
( Б . 4 . 1 0 )
Сц= S aijbji-
Далее, перемножьте подобным образом первую строку матри цы а на второй столбец матрицы b и просуммируйте произведения; это даст с 1 2 . Продолжайте до тех пор, пока первая строка матри цы а не будет помножена на каждый столбец матрицы Ь. Так окажется заполненной первая строка матрицы произведения с. Затем повторите всю процедуру, используя вторую строку матри цы а; умножьте ее на первый, второй и т. д. столбцы матрицы Ь, чтобы образовать вторую строку матрицы с. Такие операции про должайте до тех пор, пока не будут исчерпаны все строки матри цы а. Проиллюстрируем теперь этот способ на двух матрицах
