Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 611

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Математический			аппарат		8 79
3 X 3 :	0	2п	г0	1	3-
Г І
а = 2	1	1	b = 2	1	0
_0	1	2	.3	2	1.

	гО + 0 +		6 1 + 0 + 4 3 + 0 + 2л			6	5	5	1
	0 +	2 +	3 2 +	1 -f-2	6 + 0 + 1 =
ab:						5	5	7
	0 +	2 +	6 0 +	1 + 4	0 + 0 + 2.	8 5		2 .

Если а (х) — матрица или вектор, элементы которых						являются
функциями	x, то	производная	от матрицы а (х) по х		получается
дифференцированием каждого			элемента	матрицы а (х)		по х:
		da (x)	d [aij (x)]			(Б.4.11)
		dx	dx			(Б.4.11)
Интеграл	от a (x)	dx	dx
Интеграл	от a (x)	равен
		X2	X2
		j a (x) dx	= J[a,ij (x)]	dx,		(Б.4.12)
		X i	Xi
т. е. интегрируется каждый			элемент матрицы а (х).
Рангом	матрицы а называется порядок наивысшего				ненулевого

определителя подматрицы, содержащейся в матрице (минора этой матрицы).

Б.4.1. Решение алгебраических уравнений

Одним из важнейших применений матричной алгебры является решение систем линейных уравнений. Для того чтобы система линейных уравнений имела решение, необходимо, чтобы ранг матрицы коэффициентов а совпадал с рангом расширенной матри цы (а, Ь), как описано ниже. При использовании цифровых вычис лительных машин можно оперировать с сотнями систем независи мых уравнений вида

	ailXi	" f " а12х2	~ Г "	•	• •	~Ь	alnxn	— Ъі,
	•0>2lxl	Л~ a22x2 4"	• •	•	" f " &2nxn =			&2,
								(Б.4.13)
	anlXl	" T " an2x2	~Ь + an
где atj	— постоянные коэффициенты,					a	ли	неизвестные вели-
чины.	В матричных	обозначениях

	ан	«и	ат.
а =	021	а22	а%п
а =

•ХІ

Г h

х 2

G-nl а2п

ал

\-ХпЛ

.ЬпЛ

880	Приложение		Б
	Приложение		Б
уравнения	(Б.4.13) принимают	компактный		вид
	ах	=	b	(Б.4.14)
и имеют	решение
	x =	а - 1 Ь ,		(Б.4.15)

если det а ф. 0.

Пример Б . 4 . 1 . Решение системы независимых линейных уравнений

Нужно	найти	решение			системы
		2х i	+	Зх2	+	Ах з 4" 5х4				-= 1,
		Зх i	~т~ 7xz			-f- 5хэ + 4z4			== 1,
		Ху	+	4ж2	+	9ха	+	2^4	= = 1,
		Ъху	~\~ 2x2			7х<	+	хк	= = 1.
Решение	а и Ь	имеют		вид
Матрицы	а и Ь	имеют		вид
		-2		3	4	5-				Г 1 1
			3	7	5	4				Г 1 1
	а =		3	7	5	4		Ь =		i
	а =		1 4		9	2		Ь =		1
			1 4		9	2				1
		.5		2	7	1 .				- 1 _

Используя какой-нибудь подходящий итерационный метод (такие методы детально обсуждаются в книгах по численному анализу), можно вычислить обратную матрицу

р —0,007246	0,050725	-0,188406	0,201045п
-0,176812	0,237681	0,002899	•0,072464
0,013043	•0,091304	0,139130	0,021739
0,298551	•0,089855	-0,037681	• 0,057971J

и по формуле (Б 4.15)
" ЯГ	-	0,065217
Хч		-0,008696
		0,082609
_ _	.	0,113043

Математический	аппарат	8 8 1
Б.4.2. Собственные значения	и	собственные
векторы

Если а — некоторая матрица n X n, а х — вектор-столбец порядка п, то путем умножения можно получить новый векторстолбец у:

ах = у.

(Б.4.16)

Теперь поставим вопрос: существует ли вектор у, имеющий такое же направление, что и вектор х? Если существует, то можно счи тать, что он равен вектору х, умноженному на некоторый скаляр X:

у = ах = Хх			(Б.4.17)
или
(а -	AI) X =	0.	(Б.4.18)
Д л я того чтобы равенство	(Б.4.18)	выполнялось,	необходимо,

чтобы либо det (а — XI) равнялся нулю, либо сам вектор х был равен нулю, однако последнее решение является тривиальным. Следовательно,

					(ян — X)		аі2	. . .		aln
	det	(а — XI)		=	«21	(«22 — Я) . .				«271	0. (Б.4.19)
	det	(а — XI)		=							0. (Б.4.19)
					« n i		«п2	•••		(апп—Х)\
Матрица		(а — AI)			называется		характеристической				матрицей
матрицы a, det			(а — XI) — характеристической							(или	вековой) функ
цией матрицы а, а уравнение							(Б.4.19)		—	характеристическим
уравнением		матрицы а, которое можно переписать в виде равенства
нулю	характеристического					многочлена		P	(X):
det (а	-XI)	=	P	(X)	= ХП +	РХХП~* +		. .	. +	РП_{Х	+ РП = 0.
											(Б.4.20)

Искомый скалярный множитель X является одним из п корней (действительным или комплексным) уравнения (Б.4.20); все эти корни называются собственными значениями (или характеристи ческими значениями, или собственными корнями) матрицы а и, вообще говоря, могут быть найдены итерационными методами.

Если XT представляет собой некоторое собственное значение матрицы а, то при этом значении X уравнение (Б.4.19) удовлетво ряется и имеет некоторое нетривиальное решение. Пока пред

положим, что уравнение (Б.4.19) не	имеет кратных корней, так
что существует п различных значений XT.		Каждому из этих	значе
ний XT соответствует вектор-столбец	х;,	удовлетворяющий	урав
нению
(а - ХІІ) xt =	0.	(Б.4.21)

882		Приложение	Б
Такие	векторы называются собственными			векторами,	и они опре
деляют	главные	оси матрицы а. Элементы в столбцах х,, таким
образом, можно		пропорционально	изменять. Если		хг — вектор

в «-мерном пространстве, то однозначно определено лишь его направление, но не длина.

В случае кратных корней каждому корню соответствует лишь

один	собственный		вектор.
Пример Б . 4. 2 . Собственные				значения		и собственные	векторы
Пусть
				'1	2'
				2	1.
Тогда			1 - л	2
		Р(Я) =	1 - л	2	=	Л 2 - 2 Я - 3 = 0.	(а)
		Р(Я) =	2	1 - Я	=	Л 2 - 2 Я - 3 = 0.	(а)
			2	1 - Я
Уравнение		(а) имеет корни		(собственные значения)			Хі — —1
и Я2	= 3.	Обычно	корни не	являются целыми, как это имеет

место в данном, специально подобранном примере, и вычисляются

с помощью численных методов (типа метода Ньютона)								решения
нелинейных уравнений, описанных в книгах по численному									ана
лизу. Для корня		К = —1 можно			найти		некоторый собственный
вектор,	удовлетворяющий		уравнению			(а — (—1) I) х, =		0,	или
		1 - ( - 1 )					= 0,		(б)
		2	1 - ( - 1 )				= 0,		(б)
		2	1 - ( - 1 )			L*2J
что дает				2х2	= 0,
		2ЖІ +		2х2	= 0,				(в)
		2xt	-f- 2х2		= 0,
или		Хі	+	х2	= 0.				(г)
		Хі	+	х2	= 0.

Д л я	второго	собственного		значения			имеем
		1 - 3	2	'		=	0,
		2	1 - 3			=	0,		( Д )
		2	1 - 3
или			— #2 — 0.
			— #2 — 0.						(е)

Из уравнений (г) и (е) следует, что собственные векторы, соответ ствующие собственным значениям —1 и 3, составляются из таких элементов xt и х2, которые удовлетворяют этим уравнениям;

Математический		аппарат	883
одной из многих пар собственных		векторов может	быть
[ - Î]	'		(ж)
[ - Î]	'

Эти векторы можно умножить на произвольные скалярные множи тели.

												•*	*
Пример Б . 4 . 3 . Собственные векторы
	Если								о-
				г 5		2		0	о-
				2		2		0	0
				0		0		5	- 2
				. 0		0	- 2		2 .
то	ЯІ =	К2 = 1;	Я 3 =	Я4 =		6.	Д л я		собственного			значения	1
находим
			4а;! +		2ж2		+ 0		+ 0	= 0,
			2ХІ +		х2		+ 0		+ 0 = 0,
				0 + 0			+ 4ж3		— 2xk	= 0,
				0 + 0			— 2 z 3		+ z 4	= 0,
что	дает
				2з?і		-\|— х2		= =	0,
				2Хд — #4 =					0,
или
				- — 1 -				- ( H
					2	+		0		2
					0	+		1		1
				.	0 _			. 2 -	.	2 .
Можно		показать,	что	для	Я = 6			собственный			вектор	равен
				- 2 -			-	о-		2 "
				1	+		-	0		1	'
				0	+		-	2	—	2	'
									—
				. 0 .			.	1.		1.

Смотрите также файлы

Хмелевский А.В. Паровоз. (Устройство, работа и ремонт) учебник для техн. шк. ж.-д. трансп.pdf

Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Цесевич В.П. Звезды типа RW Возничего фотографические наблюдения блеска.pdf

Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Шишкин Н.Н. Кобальт в рудах месторождений СССР.pdf

Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно