Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 607
Скачиваний: 2
|
|
Математический |
|
аппарат |
|
885 |
|
Нормированные |
собственные |
векторы |
из примера |
Б.4.3 имеют |
|||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
1 " |
0 |
Г 2 H |
|
0 |
" |
|
|
V 5 |
|
|
V5 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
Ѵ5 |
|
V 5 |
|
|
||
|
1 |
|
и |
2 |
|
||
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
Ѵ5 |
|
|
V 5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
L |
1 |
|
|
0 |
L V5 J |
0 |
V 5 J |
|||
Б.4.4. |
Преобразование |
к |
канонической |
форме [1] |
|||
Квадратичной формой называется выражение
пп
q= S |
S ацХ1Х; = хТах. |
(Б.4.23) |
i = l i = l |
|
|
Во избежание путаницы |
в связи с членами типа a^x^Xj |
и а^х^Хі |
(т. е. аі2хіх2 и а21х2Ху), которые содержат одни и те же независимые переменные и которые можно было бы просто сложить, и чтобы исключить всякий произвол, условимся заменять каждый член
этой пары коэффициентов на их среднее: (а^ + ajt)/2. |
В соответ |
||||||||
ствии с этим правилом квадратичная |
форма х т а х |
будет содержать |
|||||||
симметричную |
матрицу (а + |
ат )/2 и, как будет |
видно |
ниже, это |
|||||
свойство симметрии |
дает определенные |
преимущества. Напри |
|||||||
мер, если |
q = х\ — 4;г1;г2 + |
х\ + |
XfX3, |
|
|
|
|||
|
|
|
(Б.4.24а) |
||||||
то в соответствии с принятым соглашением полное |
разложение |
||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = x\ — 2xtx2 — 2Х2ХІ |
|
1 |
|
1 |
(Б.4.246) |
||||
+ Х\ + - jX i x 3 + |
-^xzXi. |
||||||||
В матричных |
обозначениях |
имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
- 2 |
1 |
-ху- |
|
|
|
|
I |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
х г а х = |
|
- 2 |
1 |
0 |
|
|
|
||
[хух2х3] |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
L |
|
0 |
-%3 - |
|
|||
|
|
Т |
0 |
|
|
|
|||
где матрица а называется матрицей |
симметричной |
билинейной |
|||||||
формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При определении структуры эмпирических моделей особый интерес представляет метод приведения общей квадратичной формы, которая может содержать смешанные произведения, к так
886 |
|
|
Приложение |
|
Б |
|
называемой |
канонической |
форме, |
в |
которой смешанные произве |
||
дения отсутствуют. |
Например, если |
|
||||
?! = |
29х2 + |
24ада + 5x1 = |
х т |
•29 |
121 |
|
12 |
х т а х , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
то, осуществляя подходящее преобразование с помощью некоторой
специальной |
матрицы |
b |
x = |
by |
|
|
(Б.4.25) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или для |
конкретного |
примера |
|
- 2 |
|
|||||
|
|
|
|
x = |
by = |
_ |
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно вычислить |
х г |
|
|
- 2 " |
|
•2' |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и получить |
каноническую |
•2 |
для |
5. |
виде |
5 |
||||
форму |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
qiыв . |
|
|
|
|
? 1 |
= |
уТЬ^аЬу - КУ\ + ^ |
+ |
• • • + Кѵ\ |
|
|||
или в рассматриваемом |
частном |
случае |
|
|
||||||
?i = y J |
" |
1 |
- 2 " "29 |
12" |
1 |
- 2 |
|
|||
. - 2 |
|
|
5. . 12 |
5_ |
•2 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"1 |
О" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
1 . |
Для осуществления такого преобразования необходимо решить следующий вопрос: как в общем случае можно найти нужную
матрицу преобразования, такую, как b = |
в рас- |
L—2 |
5 J |
смотренном выше примере? Существует много способов приведе ния квадратичной формы к эквивалентным формам (см. литерату ру, список которой приведен в конце этого приложения), однако метод, описываемый ниже, является достаточно простым и весьма
эффективным. |
Он |
известен |
под |
названием приведение |
с |
помощью |
|||
ортогонального |
преобразования |
и основан на использовании в каче |
|||||||
стве вышеупомянутой |
матрицы |
b некоторой |
унитарной |
матри |
|||||
цы U, так что x = |
Ux, где вектор х обозначает старые |
координаты, |
|||||||
а вектор х — новые |
координаты. |
|
|
|
|||||
Теперь введем ряд новых определений и сформулируем неко |
|||||||||
торые |
свойства |
матриц: |
Действительной унитарной |
|
|
||||
О п р е д е л е н и е |
1. |
матрицей |
|||||||
n x п |
|
|
|
U^U |
= |
U I F = І„. |
условию |
|
|
называется матрица, удовлетворяющая |
|
||||||||
