Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

888 Приложение Б

и можно показать, что для матрицы а из примера Б.4.3

Ортогональное преобразование можно геометрически интерпре­ тировать как поворот декартовых координатных осей относительно

Ф и г . Б . 4 . 1 .

начала координат. Рассмотрим две системы координат (фиг. Б.4.1):

Можно также выразить новые координаты х через старые коор­

Собственными значениями, удовлетворяющими уравнению (а)г являются 6, 6 и 12. Следовательно, каноническая форма q имеет вид.

q = х т а х = х т (UT aU) х =

= Х~х\ + Х2х\ + Х3х\ = 6х) + 6x1 + 1 2 * І ( Б >

где Хі — новые координаты.

рой, используем формулу (Б.4.29):

X = Wx.

Матрица U получается следующим образом. Для X = 6 соб­ ственные векторы находим способом, описанным в разд. Б.4.2. Сначала подставим значение X = 6 в уравнение (а — XI) х = 0:

а затем выберем два набора координат xt, которые удовлетворяют уравнению (в), т. е. xt — 2хг + х3 — 0, и, кроме того, дают ортогональные векторы. Например, в качестве такой пары орто­ гональных векторов возьмем

Затем нормируем эти три вектора, что приводит к следующей матрице U :

0 0 12

Математический аппарат 891

действительно,

Тогда получаем следующее соотношение между новыми и старыми координатами:

Решение одного нелинейного алгебраического или трансцен­ дентного уравнения или системы нелинейных уравнений пред­ ставляет собой гораздо более трудную задачу, чем решение одного или нескольких линейных уравнений. Для установившихся про­ цессов может оказаться нелинейным одно или несколько уравне­ ний баланса вещества или энергии; и в этом случае для определе­ ния неизвестных необходимо использовать итерационные методы. К сожалению, не представляется возможным ни определить зара­ нее, имеет ли система уравнений единственное решение, ни гарантировать, что итерационный метод приведет к решению, если оно существует. Однако при решении уравнений, описываю­ щих реальные физические процессы, этот недостаток может не иметь большого практического значения.

Один из основных методов решения системы нелинейных урав­ нений состоит в том, что с помощью разложения в ряд Тейлора линеаризуются эти уравнения, выбирается начальное приближе­ ние для набора решений, решается приближенная линейная задача и путем итерации улучшается приближение. Этѳт метод известен как метод Ньютона — Рафсона [2,3].

тепла, массы и импульса сводятся к решению одного или несколь­ ких обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно иссле­ дователь заинтересован в получении, если это возможно, аналити­ ческого решения этих уравнений. Иногда аналитическое решение имеет слишком сложный вид, и определение «входных и выходных чисел» является слишком утомительным и даже непрактичным. В таких случаях решение уравнений может быть быстрее получено графическими или численными методами с использованием анало­ говых или цифровых вычислительных машин. С другой стороны, в силу своей общности формальное решение обладает рядом при­ влекательных черт.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной; например, порядок уравнения d3y/dx3 + + d2y/dx2 = Зх равен 3. Общее решение любого обыкновенного дифференциального уравнения содержит столько произвольных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения; сле­ довательно, необходимо задать столько начальных или граничных условий, сколько имеется постоянных. Общее решение дифферен­ циального уравнения п-го порядка по существу устанавливает некоторое соотношение между независимой и зависимой перемен­ ными (содержащее п произвольных постоянных), подстановка которого в дифференциальное уравнение обращает его в тож­ дество.

Степенью дифференциального уравнения называется наивыс­ шая степень, в которую возводится производная наивысшегопорядка. Как следствие этого определения все уравнения степени выше чем 1 являются нелинейными.

Здесь приводятся решения лишь нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, которые широко используются при анализе процессов. В книгах Мэрфи [4] и Камке [5] приведены решения более чем 200 дифференциальных уравнений и намечены

Линейные уравнения второго и более высокого порядка встре­ чаются во многих моделях процессов. Линейное уравнение поряд­ ка п имеет вид