Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 603

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Математический	аппарат	893
Если x (t) = О, уравнение (Б.5.1)	называется однородным	(все

члены содержат переменную у или ее производные в первой сте

пени). Иногда			уравнение		(Б.5.1)	называют	полным		уравнением
и по отношению к нему уравнение с x (t)							=	О —	приведенным
уравнением.								дополнительными
	Решения	приведенного			уравнения называют			дополнительными
функциями,		а	частное	решение		уравнения	(Б.5.1)		— частным
интегралом		ур	(t). Общее решение полного				уравнения состоит
из	суммы линейно независимых решений однородного								уравнения
и	некоторого		частного	интеграла:
				y=%ctyt		+ yp{t).			(Б.5.2)
					і = 1

Чтобы определить произвольные постоянные, необходимо задать значения у и производных от у (п условий) при t = 0 (задача Коши), или значения у при п значениях t (задача Лагранжа), или значения некоторых комбинаций величины у и ее произ водных.

Таблица Б.5.1

Р е ш е н и я л и н е й н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений второго порядка с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и

Случай

1 . Однородные уравнения: действительные корни (rj , г2)

aï — 4 Ь > 0 действительные (равные) корни (П = г 2 = г)

а 2 _ 4 Ь = 0 комплексные корни

/ r i	=	a + ßt\
\r2	=	a — ß i /

а2 — 4 & < 0

2. Неоднородные уравнения (см. выше)

Решение

у = e a i (c 1 cos ß< + c2 sin ß t) — = Aeat sinß(r-f-o)

У = Ус + УР(і) (Ус см. выше)

Особенно важным является уравнение второго	порядка
с постоянными коэффициентами:
*fc. + a?jL + by = f { t ) ,	(Б.5.3)
или в операторной записи

{D2 + aD + b)y

=f(t).

894

Приложение

Д л я получения решений, приведенных в табл. Б . 5 . 1 , используются корни вспомогательного уравнения

о ,	, ,	N	0, r =	— a ± V o 2	— Ab	.
г2 + аг + Ь =			0, r =	1		.

Частные интегралы можно найти: 1) методом неопределенных коэффициентов, 2) методом вариации параметров или 3) оператор ными методами, с которыми можно детально познакомиться в руководствах по дифференциальным уравнениям.

Пример Б . 5 . 1 . Решение линейного уравнения второго порядка

При определении удельной теплопроводности металлов по электропроводности и перепаду температур в брусе используется дифференциальное уравнение

		,	<РТ		_	2kDT		п
где											_
Т — температура;		х	— расстояние от							центра;	А — площадь
поперечного сечения бруса;					D — диаметр					бруса;	Q — генериро
ванная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.
Граничные	условия:
		Т = Т0				при		ж =	0,
	-^- = 0					при		х =	0.
Какова связь между Т и х?
Решение
Приведем	уравнение		к	виду				0
	d2T			от				0			i \
где
			т2		,		2hD
			т2			= —п-.
						Ак
Решение однородного		уравнения					имеет			вид
		T	= Ае-тх				+	Ветх,			(б)
а частное решение [см. уравнение (а)]
Отсюда общее	решение	имеет				вид
	T = Ae-mx					+ Bemx		+ -^r.			(г)


Математический			аппарат	895
Используя граничные условия		и вычисляя А и В,		получаем
Т-(Т	Q \ E~MX+EMX I Ч			/яѵ
1 ~ 1 У ° ~ ^ Г )		2	+ Ж -	( Д >

Описанные выше методы можно распространить на случай линей ных дифференциальных уравнений п-то порядка с постоянными коэффициентами. Такие уравнения часто встречаются, когда эффекты первого порядка проявляются последовательно. Вспомо гательное уравнение содержит многочлен я-го порядка и имеет п корней. Если все корни различны, дополнительная функция равна

у =Сіегі* - fC2er2t + . . . + cnernt.	(Б.5.4)
В случае кратных корней при определенных	условиях можно
использовать независимые решения вида у — f	(t) eri.

Ниже будут рассмотрены методы решения этих уравнений,


основанные на использовании преобразований						Лапласа.
Б.5.2.	Линейные		уравнения		специального	типа
	с переменными			коэффициентами
Некоторые	типы	линейных уравнений с переменными (при за
висимой переменной)		коэффициентами			встречаются так часто, что
им даны специальные			названия;	их	решения	(представленные

в виде бесконечных сходящихся рядов) образуют стандартные табулированные функции, например функции Бесселя или Лежандра. Функции Бесселя очень часто встречаются в моделях химических процессов, так как последние, как правило, осуще ствляются в цилиндрических емкостях или трубах.

Многие уравнения сводятся к уравнению Бесселя только после подходящего преобразования переменных. Приведем здесь лишь

один пример —	обобщенное	уравнение	Бесселя, которое	исполь
зуется особенно	широко [6]:
« . £ . + « ( « + * • ) £ +
	+ [c + ht2s	— 6 ( 1 — a—r)f + b2t2] у = 0.		(Б.5.5)
	Б.5.3. Нелинейные		уравнения

Лишь немногие из нелинейных дифференциальных уравнений, используемых при анализе процессов, могут быть решены точными аналитическими методами, Много времени и труда затрачено на разработку способов получения приближенных решений нелиней ных уравнений. Один из методов решения этой задачи связан

896

Приложение

с использованием цифровых или аналоговых вычислительных машин, которые в руках исследователя служат мощным средством получения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Практические вопросы рассмотрены в литературе, указанной в конце приложения.

Б . 6 . Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Л И Н Е Й Н Ы Х О Б Ы К Н О В Е Н Н Ы Х Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

С П О С Т О Я Н Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И

Множество самых разнообразных процессов можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений следую щего вида:

d t

-fi(Vi,

Уг,

Уп, t ) ,

. —

І.

Ill

7/.

• • • i

У п ,

- J j T —

(j/l)

Уг,

t),

(Б.6.1)

- J

f - —

(Уи Уг,

• • ч

Уп,

t),

или

матричных

обозначениях

* ( У , 0 .

(Б.б.іа)

Такие

уравнения

имеют

решения

типа

Уі = Fi

(t)

(Б.6.2)

или

Уп

= Fn

(t),

F (t),

(Б.6.2а)

если

при этом удовлетворены

определенные начальные условия

и выполнены некоторые другие условия (несущественные для данного рассмотрения). Задача нахождения решения системы уравнений (Б.6.1) при заданных начальных условиях называется

задачей Коши.	В другом крайнем	случае, когда заданы		значе
ния Ft при различных значениях t,		соответствующая	задача	назы
вается задачей	Лагранжа. Если система уравнений (Б.6			.1) не
содержит явной зависимости от t,		она называется	автономной.

Найти конкретную замкнутую форму решения может оказаться значительно труднее.

Смотрите также файлы

Хмелевский А.В. Паровоз. (Устройство, работа и ремонт) учебник для техн. шк. ж.-д. трансп.pdf

Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Цесевич В.П. Звезды типа RW Возничего фотографические наблюдения блеска.pdf

Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Шишкин Н.Н. Кобальт в рудах месторождений СССР.pdf

Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно