Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 601
Скачиваний: 2
898 |
|
|
|
Приложение |
Б |
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
£ 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
= |
x5 |
|
|
|
|
|
и |
уравнения |
(a) |
и (б) |
переходят |
в |
|
|
|
|
||
|
|
х2 + |
Ч — 4жі 4- Зх2 |
+ |
Зх3 + |
xk |
= |
О, |
|||
ИЛИ |
х2 |
ХЪ |
4- Зхг |
+ |
x.j 4- Ъхк |
= |
О, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Д?2 '— 2л?| — |
З^Г2 |
— |
2*^3 |
— |
^•^'4) |
|
||
В |
матричных |
обозначениях |
|
— |
х з |
4" ^ч* |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
-о |
1 |
0 |
|
0 |
0" |
|
|
|
|
|
|
2 |
— 3 — 2 — 2 0 |
#2 |
|
|
||||
|
|
Х3 |
0 |
, 0 |
0 |
|
1 |
0 |
#з |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 — 1 |
|
1 0. |
. « Б . |
|
|||
Прежде чем обсуждать методы решения систем дифференциаль ных уравнений, уместно сделать несколько замечаний о различии
между задачами |
с начальными |
значениями и задачами с граничными |
|||
значениями. |
|
|
значениями: при t = |
|
|
1. |
Задача |
с начальными |
0 заданы значе |
||
ния зависимых |
переменных |
и их производных, |
т. е. г/j (0) = г/10, |
||
dyz/dt |
— 0 и |
т. |
п. |
значениями: заданы значения зависи |
|
2. |
Задача |
с граничными |
|||
мых переменных на концах некоторого интервала, пространствен
ного или временного, т. е. уі = уі0 |
при t = 0, |
== при t — t}. |
Решение задач с граничными |
значениями |
связано с большими |
трудностями, чем решение задач с начальными значениями, за исключением того случая, когда известно точное решение диффе
ренциального |
уравнения |
и граничные условия |
используются |
|
просто |
для |
того, чтобы |
вычислить произвольные |
постоянные |
в этом |
решении. |
|
|
|
Если система уравнений (Б.6.1) задана вместе с начальными условиями, даже в самых худших случаях оказывается возмож ным, начиная с этих начальных условий, численно построить кривые, описывающие зависимость у от t. Конечно, при этом
Математический |
аппарат |
899 |
может накопиться некоторая ошибка, однако по крайней мере приближенный набор кривых будет получен. С другой стороны, если задача поставлена как задача с граничными условиями, то затруднено даже приближенное построение кривой при t = О, ибо знание значения у при другом значении t мало что дает.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоян ными коэффициентами можно рассматривать, записывая их сна чала в матричной форме и затем используя матричные или числен ные методы для нахождения некоторого решения. Для выполне ния детальных расчетов имеются машинные программы. Система уравнений вида
|
|
Уі = |
« i i # i + |
«12Ï/2 + |
|
. - . + |
a i n y n , |
|
|
|
||
|
|
У 2 = |
«212/1 + |
«22І/2 + |
• • • + |
а2пУпг |
|
|
(Б.6.6) |
|||
|
|
Уп = апіуі + ап2у2 |
+ . . . + |
аппуп |
|
|
|
|||||
сводится к однородной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
= |
ау. |
|
|
|
(Б.6.7) |
|
Если |
матрица |
а непрерывна |
при t |
> |
О, уравнение |
(Б.6.7) |
имеет |
|||||
единственное |
решение, |
удовлетворяющее |
начальному |
условию |
||||||||
У (0) = У о- Вспоминая, |
что в скалярном |
случае |
уравнение |
|||||||||
|
|
|
% |
= ау, |
у(Р) = у0, |
|
|
|
|
|||
имеет |
решение вида |
у = eaty0, |
будем искать решение |
уравне |
||||||||
ния |
(Б.6.7) в |
аналогичной |
форме |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
У = |
е»*у0- |
|
|
|
(Б.6.8) |
|||
Чтобы можно было это сделать, необходимо использовать |
экспо |
|||||||||||
ненциальную |
функцию от матрицы, |
которая определяется |
рядом |
|||||||||
|
|
ea ' = I f а*+...+-^+... |
|
|
(Б.6.9) |
|||||||
по аналогии |
со скалярным |
разложением |
|
|
|
|
||||||
Подстановкой и последующим дифференцированием можно убе диться, что выражение (Б.6.8) является решением уравне-
900 Приложение Б
ния (Б.6.7):
t = w е а < у ° = 4 ( 1 + a t + - к а Н 2 + ж а 3 ' 3 + • • • ) у ° =
= (а + а а « - г " ^ - а 8 « а + . . . ) у о = а ( i + af-f-^- а Ѵ + • • • ) Уо =
|
= aea t y0 = ay. |
Теперь рассмотрим неоднородную систему |
уравнений |
% + ау=х(і). |
(Б.6.10) |
где x (t) — возмущающая сила (или входной сигнал). Как и в слу чае одного скалярного дифференциального уравнения, можно ввести интегрирующий множитель еа ('-'о) так, что
Тогда
jL_ [ga<t-to)y]= ea(t-<o) iî.-f- ГАe a(t-t0 )l у =
=e a ( t _ < 0 ) - J + a e 8 ( 4 ~ < o ) y = ea(t"'o)xW' ( Б - 6 - 1 1 )
Теперь каждую часть равенства (Б.6.11) можно проинтегрировать
от if0 до |
t, используя условие |
у = |
у 0 при t = t0: |
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
[ e a ( t - t 0 ) y ] y o = j |
e^*'-*o)x(t')dt', |
|
|||
или |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e a ( i - * o ) y _ i y 0 = = |
j е «(*'-адх(Г)Л'. |
(Б.6.12) |
|||
Умножая |
обе части равенства (Б.6.12) слева на e _ a ( t _ t ° \ |
получаем |
||||
|
y = = e - a ( t - i o ) y 0 + e -a(i-to) jtgatf'-to* |
(*')#'. |
(Б.6.13) |
|||
|
|
|
to |
|
|
|
Для частного случая |
у = 0 |
при |
t — 0 |
выражение |
(Б.6.13) |
|
переходит |
в |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
у = e~at j A |
(t') dt' |
= j |
e«(*'-*)x (f') dt'. |
(Б.6.14) |
|
|
о |
|
о |
|
|
|
Получение скалярных решений уравнения (Б.6.7) в явной форме требует громоздких вычислений. Существует много спо собов решения, из которых здесь будет рассмотрен лишь один.
