Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Так как Ѵ-образная маска может быть построена по двум пара­ метрам, половинному углу раствора Ѳ и длине шага d, как показа­ но на фиг. 3.9.4, естественно, возникает вопрос, как связать соответствующие величины Ѳ и d с мощностью правила принятия решения. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сначала ввести понятие средней длины серии. Средней длиной серии (СДС) называют число выборок, полученных до того, как появился сигнал вмешательства. СДС служит мерой того, как часто необ­ ходимо вмешиваться в процесс, если следовать соответствующим правилам принятия решения, основанным на выбранном значе­ нии а. Так как средняя длина серии является случайной пере­ менной, распределение которой зависит от критериев, используе­ мых при контроле, грубо говоря, она и служит некоторой мерой относительной эффективности контрольной схемы.

Чтобы дать беспристрастную сравнительную характеристику карты Шьюхарта и карты накопленной суммы, предположим, что правила принятия решения для каждой из них выбраны так, что карты имеют одну и ту же среднюю длину серии СДС4 , если процесс находится под контролем. Затем произведем некоторое ступенча­ тое изменение уровня процесса, например везде от 0 до 3 стандарт­ ных отклонений от первоначального уровня, и вычислим средние длины серий СДС 2 между началом изменения уровня процесса и его обнаружением.

Д л я карты Шьюхарта средняя длина серии при изменении про­ цесса на ка от целевого значения может быть подсчитана по сле­ дующим формулам [39, 40]:

с д с , = ^ ,

где ß — вероятность попадания точки между контрольными пре­ делами, когда уровень процесса отклонился от целевого значения (ц. Ф ц.0 ). К сожалению, не существует аналитического способа вычисления СДС4 и СДС 2 для карт накопленных сумм, так что сравнение здесь проводится по результатам Гоулдсмита и Вайтфилда [39], которые оценили эти длины на цифровой вычислительной машине методом Монте-Карло. На фиг. 3.9.5 сравниваются длины СДС 2 для четырех различных значений СДСі как функции от к. Видно, что карты Шьюхарта, вообще говоря, менее эффективны, чем карты накопленных сумм, особенно для больших значений пара­ метров СДС 1 ; т. е. при малых а.

Возвращаясь к вопросу о построении Ѵ-образных масок, можно точно определить, как велика должна быть длина СДС І 5 пока про­ цесс под контролем, и как мала должна быть длина СДС2 , чтобы можно было обнаружить заданную величину изменения процесса.

стандартных отклонений до момента его о б н а р у ж е н и я . Предполагается, чтонезависимая переменная распределена по нормальному закону с дисперсией а 2 .

карта Шьюхарта; карта накопленной суммы.

Ф и г . 3.9.6. Расчет Ѵ-образных масок

а СДС2 — более короткой. (Метод построения, описанный Джон­ соном и Леоне и кратко намеченный на фиг. 3.9.4, основан исклю­ чительно на распределении статистики Z, накопленного отклоне­ ния от целевого значения, и предполагает, что измеряемая пере­ менная является случайной нормально распределенной величиной.) Карты на фиг. 3.9.6 показывают среднюю длину серии СДС 2 после того, как в процесс было введено изменение на к единиц стандарт­

сдвинуто на 2а. Если интервал, откладываемый по горизонталь­ ной оси, равен интервалу на вертикальной оси величиной в qo, то значения tg Ѳ, данные для этой карты, следует умножить на 21q.

Можно выбрать некоторые значения d и Ѳ и для данного к вы­

или действовать в обратном порядке. Пусть, например, желатель­ но, чтобы СДС! = 200, а СДС 2 = 8 при сдвиге среднего на одно стандартное отклонение (к — 1). Из предыдущего равенства полу­ чаем

0,886 = 0,0398 d +1,1687 tg Ѳ +1,2641 tg Ѳ -lg d =

По фиг. 3.9.6 для СДС 2 = 8 и к = 1 находим

гак что значения d » 8 и tg Ѳ Ä; 0,24 дают желаемую конструкцию. Роберте [41] сравнивал несколько типов контрольных карт, используя для каждой карты один или ряд критериев. Наблюде­ ния имитировались с помощью таблицы случайных чисел, распре­ деленных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 1. После того как было полу­ чено 100 чисел, ко всем числам, начиная со следующего, прибав­ лялась 1 для того, чтобы воспооизвести спвиг опеттего ѵповня

и такой же ряд значений приписывается всем значениям X, ока­ завшимся ниже ^і0 . Считается, что процесс вышел из-под контроля, когда накопленная метка достигает некоторого выбранного зна­ чения.

Чтобы сравнить относительную эффективность методов, пере­ численных в табл. 3.9.7, в табл. 3.9.8 приведено математическое