Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 661
Скачиваний: 2
Мс+За!< |
|
|
- |
j |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
V |
|
|
|
|
|
|
|
Mori |
|
|
|
|
r t f |
t оЛ ill I |
- л - |
" H U " |
M- |
||||
|
|
(и/ |
ЩF |
|
V |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Накопленные метки |
для критерия |
суммы |
серий. |
|
|
|||||||
+ .•2-U |
-7 |
— 11 |
• m |
•/ |
I "23 |
II-I- |
— 1 |
|
IUI |
• |
•Hilt' |
"22.11' |
• -22223455 |
. . . |
-22211 |
- -1 |
• |
I |
|
1 1 |
|
...IUI |
. - |
111333 . |
. 11 . |
.1 . |
a
\
А |
|
|
М„-0х |
|
|
/<° |
11 |
|
|
||
30 |
1 |
|
25 |
||
|
||
20 |
|
|
15 |
|
|
10 |
|
О |
Ю 20 30 40 50 60 70 ВО 30 100 110 120 |
|
Число выборок |
Ф и г . 3.9.7. Контрольная карта Шьюхарта (а), карта скользящего геометри ческого среднего (б), карта накопленной суммы (в) [41].
r
208 |
Глава 3 |
ожидание числа выборок, требующихся для обнаружения сдвига значения и. после того, как произошло изменение переменной про цесса от Цо на величину ка^ (где к — некоторая постоянная). Зна чения, приведенные в этой таблице, получены в предположении одинаковой чувствительности каждого из критериев (по уровню вмешательства) при отсутствии сдвига среднего уровня процесса. З а исключением малых значений к, эффективность критериев ока залась приблизительно одинаковой.
3.9.5. Контрольные карты для нескольких |
переменных |
Если проводятся наблюдения над двумя или бблыпим'числом переменных и для каждой переменной на индивидуальной карте откладывается некоторая выборочная статистика, можно условить ся считать, что процесс вышел из-под контроля, если на какой-ни будь карте контрольные условия оказались нарушенными. Однако такое правило приводит к необоснованному решению в случае, когда эти переменные обладают некоторым совместным распреде лением. Предположим, что две переменные имеют нормальное сов местное распределение, а значение а выбрано равным 0,05. Если карты составляются отдельно для каждой переменной, то вероят ность того, что обе переменные попадут между контрольными преде лами, равна 0,95 -0,95 =0,9025; следовательно, в действительности ошибка первого рода будет происходить приблизительно на уровне 0,10, а не на уровне 0,05. Истинной контрольной областью является не квадрат и не прямоугольник, а эллипс, причем все точки на его периметре имеют одинаковую вероятность появления. .Если переменные коррелированы, такой областью служит эллипс, повер нутый так, что его главные оси не совпадают с координатными ося ми Ху, х2. Такая область изображена на фиг. 4.3.3.
В качестве общей статистики, которая вычисляется по значе ниям многих переменных и может откладываться на некоторой контрольной карте, Джексон [42] предложил использовать стати стику 71 2 , введенную ранее Хотеллингом [43]. Статистика Т2 пред ставляет собой просто геометрическое место точек эллипсоида доверительной области; для двух случайных переменных X и Y с нормальным совместным распределением она выражается через объем выборки п, выборочные средние и выборочные дисперсии следующим образом:
(Yj — У ) 2 |
2 s x Y |
(Xj-X){Yj-Y) |
|
|
(3.9.2) |
Все значения Т\, которые превышают |
значения, |
подсчитанные |
по формуле (3.9.2), характеризуют нарушение контрольного уело-
|
|
Статистический |
|
анализ |
и |
его |
применения |
209 |
|||
вия. Величину |
Т2 |
можно |
связать |
с |
распределением |
F: |
|||||
|
|
|
г 2 |
— |
2 ( n - l ) F t t |
' |
|
(3.9.3) |
|||
|
|
|
* œ |
|
™ |
о |
|
|
|||
где статистика |
Fa |
имеет 2 |
и |
тг — 2 степени свободы. |
|||||||
Д л я р переменных наиболее удобно представлять |
Т2 в матрич |
||||||||||
ных обозначениях |
(приложение |
Б): |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
T2 |
= X s ^ X 7 , |
|
|
(3.9.4) |
||||
где |
|
|
_ |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
X = [Хі |
— X j . Х2 — Х%, |
• |
Хр |
— Хр], |
||||||
а выборочная |
ковариационная |
матрица |
|
|
|
||||||
|
|
|
SX1X2 |
sXi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Статистика |
T2 |
распределена |
как |
pvF/(v |
— p 4- |
1), где .F "имеет p |
|||||
и V — p + |
1 степеней свободы, причем ѵ представляет собой число |
степеней свободы, используемых при оценивании выборочной дис персии, обычно равное п — 1 .
Задачи
3.1. Логарифмическое распределение вероятности для случай
ной величины X имеет вид |
|
|
|
P(xh, |
Q)^P{X |
= xh} |
= - ~~Ѳ* |
|
|
|
X In ( 1 - - Ѳ ) ' |
х=1, |
2, |
,, 0 0 , |
0 < Ѳ < 1 . |
При условии, что экспериментальные наблюдения составили выборку объема п, найдите максимально правдоподобную оценку параметра Ѳ.
3.2. Рассмотрите совместную плотность нормального распре деления вероятности случайных величин X и Y с общим пара
метром [X |
|
|
|
|
|
|
P |
y) |
|
|
|
|
|
Найдите максимально правдоподобные оценки (х, ах |
и cry |
по п |
||||
независимым |
наблюдениям, из |
которых пх проведено |
только |
над |
||
величиной |
X, a nY |
— только |
над |
величиной Y. |
|
|
3.3. Найдите максимально правдоподобную оценку параметра |
||||||
X в распределении |
вероятности |
Пуассона |
|
|
210 |
Глава 3 |
3.4. |
Вычислите первый и второй моменты экспоненциального |
распределения (табл. 2.3.2) и приравняйте их первому и второму выборочным моментам, полученным из эксперимента, чтобы найти оценку параметра Ѳ. Дают ли оба момента одну и ту же оценку Ѳ? Какую наилучшую оценку следует использовать?
3.5. Можно ли оценить доверительный интервал для случайной величины, которая не является нормально распределенной случай ной величиной? Поясните.
3.6. Исходя из следующих школьных оценок:
учащихся |
Оценка |
учащихся |
°Че нка |
|
1 |
95 |
|
6 |
80 |
2 |
92 |
|
7 |
75 |
3 |
90 |
> |
8 |
72 |
4 |
86 |
|
9 |
64 |
5 |
86 |
|
10 |
60 |
найдите значения X и s2. Предположив, что эти оценки получены из нормально распределенной совокупности, определите разгра ничительные точки для оценок А, В, С, D и F, учитывая следую щие правила:
а) А должно равняться D + F; б) В должно равняться С.
3.7. Измерения плотности для 20 проб удобрения дали среднее содержание СаО 8,24% со стандартным отклонением 0,42%. Каковы двусторонние симметричные контрольные пределы с дове рительной вероятностью, равной: а) 0,95 и б) 0,99 для: 1) среднего значения и 2) дисперсии по ансамблю? Во втором случае рассчитай те доверительные пределы для стандартного отклонения.
3.8. При условии, что выборочное стандартное отклонение для полного давления в равновесной парожидкой смеси равно 2,50кгс/см2 , найдите: а) 95%-ные и б) 99%-ные доверительные пре делы для: 1) стандартного отклонения и 2) дисперсии по ансамблю. Было проведено восемь отдельных измерений давления.1
3.9. Скорость космической ракеты после выгорания топлива равна
|
ѵ = ѵ„\п- |
ть + тр |
|
|
7пь |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
vg |
— скорость истечения газов, случайная величина; |
||
ть |
— вес ракеты после выгорания топлива, случайная величина; |
||
тѵ |
— вес топлива, случайная величина. |
дисперсиям |
|
Определите выборочную дисперсию ѵ по выборочным |
|||
vg, nip и тъ. |
|
лаборатор- |
|
3.10. Предположим, что в результате многократных |
• ^ M M M W M i l É M g f c J M п ^ л п т т г . т . т г > . т . п л г г т т І ^ Т M i l t Т Т Г , Т П 7 Т Г р . Т Т Т . Т |
Р Ы Г І П П П П Т Т П А |
Статистический анализ и его применения 211
среднее 4,60 м/с и выборочная дисперсия 0,6 м2 /с2 . Следующее
проведенное измерение скорости дало: |
||
а) |
7,60 |
м/с; |
б) |
5,60 |
м/с. |
Какой |
вывод можно сделать в каждом из этих случаев? |
3.11. Фирма «Дайл», производящая осветляющие химикаты, использовала рекламный лозунг «Звоните на «Дайл». Он уверял покупателей, что продукция «Дайл» обладает 90%-ной эффектив ностью по бойлерной шкале, и предлагал требовать деньги назад, если это не подтвердится. Правительство привлекло фирму к суду, обвиняя ее в использовании фальшивой рекламы. В свое оправда ние фирма сослалась на случайную выборку из десяти случаев применения средства «Дайл», по которой средняя эффективность
составила 81 % по бойлерной |
шкале. Правительство заявило, |
что 81 % не равен 90%. Фирма |
ответила, что испытание носило |
статистический характер и истинная эффективность вполне может оказаться равной 90%. Кто прав и почему? Данные таковы:
Номер |
Эффективность |
Номер |
Эффективность |
|
испытания |
испытания |
|||
|
|
|||
1 |
93 |
6 |
90 |
|
2 |
60 |
7 |
91 |
|
3 |
77 |
8 |
82 |
|
4 |
92 |
9 |
75 |
|
5 |
100 |
10 |
50 |
3.12. При охлаждении перегретого пара без конденсации |
спра |
|||||
ведливо соотношение |
|
|
|
|
||
|
|
- £ - 0 . 0 2 1 |
(JZ)« |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
3.3.12 |
|
|
|
|
|
Выбороч |
Одно выбо |
|
Сим |
|
Физическая величина |
рочное стан |
|||
|
ное |
|||||
вол |
|
|
|
среднее |
дартное |
|
|
|
|
|
|
отклонение!) |
|
h |
Коэффициент теплопередачи, |
к к а л / м 2 - ч - г р а д |
|
|
|
|
D |
Диаметр |
трубы, м |
|
0,20 |
0,5 |
|
k |
У д е л ь н а я теплопроводность, |
к к а л / м - ч - г р а д |
0,0655 |
2 |
|
|
G |
Массовая |
скорость, к г / ч - м 2 |
|
20,000 |
5 |
|
|
Вязкость, |
к г / ч - м |
|
0,163 |
1 |
|
1) Выражено в процентах от среднего значения.
Найдите выборочное среднее для коэффициента теплопередачи, основываясь на вычисленных значениях, приведенных в таблице. Найдите выборочное стандартное отклонение для h и выразите его в процентах от выборочного среднего значения h. Предположите,