Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 691

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

276

Глава 4

1) ^оценку уравнения регрессии Y = b0 + bt (x — х);

 

 

п

 

 

 

 

2

ШІРІХІ

 

2)

х--

1=1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

i =l

n

 

3)

&о =

 

 

У : І=1

 

 

 

 

2

wiPiYi

 

 

 

2

wiPi

 

 

 

i=l

 

 

 

2

 

(xi-x)Yi

4)

6i =

i = i

 

wiPi(xi—x)2

 

 

2

 

 

 

i=i

 

 

5)

Var{60 } =

—

 

 

 

 

2

wiPi

6)

 

 

i=l

~

Var {&<> = —

 

 

 

2

x)2

По табл. 4.3.1 и 4.3.2 можно провести дисперсионный анализ. Как п в разд. 4.3, можно составить отношение дисперсий s\ls\ и применить /^-критерий. Если отношение sp/sf не является зна­ чимым, объединенная дисперсия равна

n

Pi

_

n

_

 

2

2

v>i<Yii-Yt)*+

2

WiPi(Yi-Yi)*

 

* I = J = L * = L — 5

—

,

(4-4.2)

(2 Pi-n)+(n-2)

i=l

что соответствует соотношению (4.3.15).

Оценка функции отклика Y распределена по нормальному закону относительно модели т] = ß 0 + ßj (x — х) и, как и раньше,

Ѵаг {Y} = Ѵаг'{Ь0 } + (x — x)2 V a r f ^ } .

Теперь рассмотрим два интересных и практически важных част­ ных примера, противопоставляя случай, когда используется вес, предположению, когда вес принимается равным единице. Пусть линейная модель изображается прямой линией, проходящей через

Линейные

модели с одной

переменной

277

начало координат, с угловым коэффициентом, равным ß:

Ш {7І \х) = ßx.

Рассмотрим оценку Ъ параметра ß для трех случаев:

I)

Var {Yt

I x}

=

oy.x

с

весом

Их;

I I )

Var {Yt

I x}

=

oy.z2

с

весом

Их2;

I I I )

V a r { Y j

I x)

=

оу.

с весом 1.

 

Тогда соответствующие оценки углового коэффициента ß и их дисперсии будут равны (суммирование проводится от і = 1 до п)

 

 

aly.

 

Pi*i

2J РІХІ

Ь п =

^ 7 Г '

V a r { 6 „ } =

Ь щ =

^ SM^ > '

V a r { b m } = :SM

В каждом из этих случаев получится различный угловой коэффи­ циент. Использование веса должно определяться физическими соображениями, т. е. информацию о непостоянстве Ѵаг {Уг |а;г } следует получать из эксперимента или каким-либо другим спо­ собом.

Например, если при каждом xt получены повторные значения У, как в примере 3.6.3, то можно найти оценки оуг при каждом значении хІУ используя выражение (2.4.2). Чтобы оценить нужную функциональную зависимость Ѵаг{У} от х, можно применить метод наименьших квадратов. Это можно сделать также, анали­ зируя известные ошибки измерительных приборов.

Пример 4.4.1. Взвешенная линейная регрессия

Рассмотрим повторно пример 4.3.1, сравнивая три типа взве­ шивания:

1)

Wi =

1 для каждого значения У г ;

2)

Wi =

1/ХІ для

каждого

значения

У г ;

3)

wt =

\Іх\ для

каждого

значения

У ; .

Решение

На фиг. П.4.4.1 представлены оценки трех уравнений регрессии и соответствующие доверительные интервалы для ті.

Величина

2

wiPixt

і =1

 

n

 

2

wiPi

—

i=l

a; =

2 «"i/W

 

2 "^*

2 i=l

y .

i = 1

2

 

2

i=l

2 "iPtYt

fco=T=ü

2 ^гРг

i=l

10

20

30

40

50

i2=iw'Pi

(xi—*) Y i

n

 

2 wtPi

(xi—x)2

i=l

 

Таблица

11.4.4.1

Результаты при различном весе .

 

1/ж

1/ж2

300

10

0,456

10

0,456

2,928-10-2

30,0

21,9

15,6

158,8

6,526

0,3806

15,88

14,31

12,99

15,8

14,31

12,99

 

(ж, — z )

 

-20

—11,9

- 5 , 6

-10

—1,9

4,4

0

8,1

14,4

10

18,1

24,4

20

28,1

34,4

374,62

15,868

0,592

2000

81,022

2,874

280

 

 

Глава

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение

табл.

П.4.4.1

 

 

 

Величина

Результаты при различном

весе

 

 

 

1

l/x

 

l/x2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

2

wiPi

(xi—x) Y i

 

 

 

 

1

n

 

 

0,1874

0,1959

0,2057

 

 

 

 

 

 

 

2

wtPi

(xi—x)2

 

 

 

 

V a f >i0 =} l

 

 

0,1674

0,1132

0,0548

VaP[bi}

 

 

8,3-10-4

6,4-10-4

5,6-10-4

 

 

 

 

0,921

0,421

0,193

4.5.

О Ц Е Н И В А Н И Е П А Р А М Е Т Р О В

М О Д Е Л Е Й СО С Л У Ч А Й Н Ы М И

 

 

ЗАВИСИМЫМИ И Н Е З А В И С И М Ы М И

П Е Р Е М Е Н Н Ы М И

 

Если как независимая, так и зависимая

переменные

являются

случайными величинами, распределенными по нормальному зако­ ну, оценивание коэффициентов в линейных (по коэффициентам) моделях, указание подходящих критериев проверки гипотез и определение доверительных интервалов существенно услож­ няются. Несмотря на все усилия, которые были затрачены на ре­ шение этой задачи, полностью удовлетворительный метод еще не развит. Предложено несколько подходов к решению, которые выхо­

дят за

рамки этой книги; соответствующая литература указана

в конце

главы.

Чтобы показать отличие от эмпирических моделей с одной слу­ чайной зависимой переменной и пояснить некоторые встречающие­ ся трудности, здесь рассмотрен один из многих методов оценива­ ния, а именно метод максимального правдоподобия. Не следует думать, что этот метод рассматривается потому, что он более широ­ ко применяется или лучше, чем другие методы — наилучший метод решения задач, когда обе переменные являются случайными, до сих пор не найден.

Здесь можно рассмотреть лишь случай простой линейной моде­ ли с одной зависимой переменной Y и одной независимой перемен­ ной X, распределенными по нормальному закону с совместной плот­ ностью вероятности, описанной в примере 2.3.4. Тем не менее эта простая модель укажет некоторый способ получения оценок, не требующий использования чрезмерно сложного математиче­ ского аппарата. Предположим, что модель имеет вид

ЧІ = ßo + ßi (Hi - V),

(4.5.1)

Смотрите также файлы