Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Мепдел показал, что если эксперимент наилучшим образом описы­ вается моделью В, но для него по каким-либо случайным причинам выбрана модель А, то при Хі = 1, хг = 2, . . ., хп — п, т. е. при изменении х па единицу и отсутствии разрывов между испыта­ ниями,

п

где волнистая черта сверху означает, что оценка вычислена некор­ ректно.

Рассмотрим отношение дисперсии некорректной оценки к дис­ персии корректной оценки:

_Ѵаг{6} __ 6 2«2 + 2n + l Var {bB} 5 (ra + 1) ( 2 / t + l )

При n - > оо это отношение стремится к 1,2; следовательно, оцен­ ка Ъ лишь немного менее эффективна, чем корректная оценка Ъв . Однако если бы дисперсия оценки Ъ тоже вычислялась в пред­ положении, что экспериментальные данные описываются моделью А, тогда как в действительности справедлива модель В, то можно было бы показать, что математическое ожидание некорректно вычисленной дисперсии равно

С ростом п это отношение непрерывно уменьшается, что свиде­ тельствует о том, что стандартная ошибка в угловом коэффициенте существенно занижена. Например, при п = 10 квадратный корень, из правой части выражения (4.6.11) равен только 0,175. Следова­ тельно, применение формул разд. 4.3 к модели В приведет к значи­ тельному завышению точности оценки углового коэффициента, хотя сама эта оценка весьма хороша, так как

n

T . x,Y,

Заметим, что отношение математических ожиданий b и Ъв равно единице (при Дх7- === 1):

Мендел исследовал также поведение остатков в моделях А я В. Он показал (фиг. 4.6.1), что для больших значений п данные, описываемые моделью А, случайным образом разбросаны по обе стороны линии регрессии, тогда как при описании с помощью модели В длинные последовательности данных располагаются по одну сторону от этой линии. Эти характерные черты помогут раз­ личить модели (если можно провести большое число наблюдений для различных х).

Пример 4.6.1. Оценивание в случае накопленных данных

Этот пример иллюстрирует анализ накопленных данных для химической реакции. В течение некоторого эксперимента периоди­ чески брались и анализировались пробы и таким образом были получены следующие данные [10]:

использующий модель накопленных ошибок, должен был дать следующий результат:

Свободный член имеет нулевую ошибку, так как просто равен первому измеренному значению. Корректно оцененный довери­

В таком случае естественно поставить вопрос, насколько хороша процедура оценивания методом наименьших квадратов, изложен­ ная в разд. 4.3 или 4.4. Гренандер [11] и Розенблат [12] исследова­ ли этот вопрос для временного ряда; они пришли к заключению, что, если действительно имеют место значительные корреляции, оценки дисперсий параметров по методу наименьших квадратов оказываются смещенными и неэффективными.

Некоторое внимание здесь можно уделить лишь краткому описанию предположений Волда [13] относительно одной подходя­ щей процедуры оценивания коэффициентов и их дисперсий в про­

лях, которые явно зависят от времени, можно обратиться к другим работам [15, 16].

Чтобы установить наличие корреляции в последовательном ряде значений, нужно применить критерий сериальной корреля­ ции. Критерий Дарбина — Ватсона [17] сериальной корреляции

не зависящих от х. Следовательно, он не является вполне строгим, если, как это имеет место для временного ряда, некоторые из величин x измеряются с запаздыванием. Этот критерий весьма

На фиг. 4.6.2 представлены распределение D и области, в кото­ рых гипотеза о сериальной корреляции принимается или отвер­ гается. В табл. В. 10 приведены значения верхних Du и нижних Di

р(Л)

стях, помеченных знаком вопроса, этот критерий не позволяет принять определенное решение.