Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 693

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные модели с одной переменной 281

где

У)І = g {Yt},

|І,

= g

{Xt},

\i — некоторое среднее для величин

\іи

ß 0 и ß t — коэффициенты

модели.

 

 

 

Так как пг- и р,г не являются случайными величинами, можно

определить ошибки Ut

и Ѵ г

и их дисперсии:

 

 

^

=

(У*

-

Ѵаг

{ У , }

=

о2,,

tf,

=

(Xt

- vu),

Var

{ t / , }

=

о»,

 

 

 

 

Cov

{Z7*F,}

=

p ^ o w

Итак, нужно оценить ß 0 и ß t (и провести проверку гипотезы), используя метод максимального правдоподобия.

Строится функция правдоподобия для п наборов измерений, каждый из которых содержит pt повторных измерений, как опи­ сано в разд. 4.3. Предполагается, как обычно, что ошибки являют­ ся независимыми при переходе от одной пары измерений к другой.

Запишем

L = ^ я а ^ У Г Г р ^ )

e X P { - 2 ( l - p » t t B ) S S [ H ^ )

-

Логарифм функции правдоподобия здесь не будем выписывать, а приведем лишь результаты суммирования по индексу / и условия максимума In L , при выводе которых в формулу (4.5.2) подставим

выражение (4.5.1).

Дифференцируя по параметру ß 0 , получим

п

2^^[(^-^)-^№-иО]=0. (4.5.3)

і=1

"

Дифференцирование по ßj дает

п

 

 

2

РІ { [ ( У , - Ч І ) - 2 ^ 2 ( Х , - | І , ) ] ( | І | - І І ) } = 0 .

(4.5.4)

i=l

"

 

Дифференцирование по \if приводит к

( У . - ^ - І ^ Д - ^ ^ ^ ^ - О .

(4.5.5)

282 Глава 4

Из равенств (4.5.3) и (4.5.4) после

несложных

преобразований

получаем

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

2 РіРі

2

РіХі

 

 

 

Й = *=г

 

= Х,

 

(4.5.6)

 

і = 1

1=1

 

 

 

 

1=1

i = l

3 = 1

F .

(4.5.7)

 

n

 

n

 

 

 

 

 

S pt

 

2 P i

 

 

Уравнение для ß

, однако, оказывается квадратным, что указывает

t

i = l

 

i = l

 

 

па необходимость более сложных вычислений, чем приходится

выполнять при простом оценивании моделей с одной

случайной

переменной:

 

 

 

n

 

 

 

i=l

 

 

 

Puvav ßl (°р/0 иРис)

^

g

° u

PI — (Рив°Ѵ°и)

 

 

Чтобы разрешить уравнение (4.5.8) относительно

ß 1 ;

нужно

знать значения oD , au и риѵ

или их оценки. Поскольку эксперимент

можно поставить так, чтобы получить повторные данные для опре­

деленных пар (У;, X,),

можно для каждой пары получить оценки

OB, ои и pU B :

 

 

 

 

 

 

2

 

^І) 2

ô 2

i —s2

— j = 1

Pi-i

 

 

 

2 ( ^ І І - ^ І ) 2

^2

_ „2

_ 3=1 .

 

 

 

"i

 

Pi-i

'

P i

P i - l

Однородность дисперсий можно проверить так, как описано в гл. 3, и, суммируя по индексу і, можно получить объединенные оценки, если это оправдано. Когда экспериментальные данные не позволяют найти оценки величин ст„, а„ и о„„, можно сделать какие-

Линейные модели с одной переменной 283

нибудь предположения относительно этих величин или их отно­ шений, и тогда удается оценить ßj.

Вопрос о доверительных интервалах для ß 0 и ßj здесь не обсуж­ дается; список соответствующей литературы дан в конце этой гла­ вы. Распространение метода максимального правдоподобия на мно­ гомерный случай в принципе возможно, однако в результате получаются системы нелинейных уравнений, которые обычно труд­ но решить, чтобы найти тем самым оценки желаемых параметров. Однако общий метод получения оценок для модели (4.3.1), в кото­

рой

обе

переменные являются случайными,

 

до

сих пор еще

не

развит.

 

 

 

 

 

 

 

4.6. О Ц Е Н И В А Н И Е

П Р И З А В И С И М Ы Х

 

 

О Ш И Б К А Х

 

 

 

 

И З М Е Р Е Н И Й

 

 

 

 

 

Как

уже отмечалось в разд. 4.2, ошибки

8

г -

в

модели

 

 

 

Yt = ß 0

+ ßi (xt -x) + et

 

 

 

далеко

не

всегда являются независимыми,

как

предполагалось

в разд. 4.3—4.5. Через некоторый период времени значения тем­ пературы, скорости потоков, выхода могут повлиять на более позд­ ние измерения; следовательно, величины Yt, точнее ошибки ег , перестают быть статистически независимыми. Типичным примером может служить взятие последовательных проб концентраций продуктов реакции в аппарате с мешалкой. В этом разделе рас­ сматриваются два характерных примера, когда статистическая независимость ошибок измерений отсутствует.

4.6.1.Накопленные данные

Одной из характерных черт некоторых специальных экспери­ ментов является использование одной и той же партии материалов для целой серии измерений, например серии измерений объемного перемещения одной и той же жидкости как функции давления или серии повторных измерений концентрации некоторого компонента в реакторе в последовательные моменты времени. Если ненаблю­

даемую ошибку первого измерения обозначить через et,

то ошибка

при втором измерении е'2 будет складываться из

et и

случайной

компоненты, возникающей помимо

8 І 5

т. е. 8^ =

8 ! +

е2 -

Ошибка

третьего измерения будет равна г'3

= г±

+

г 2 + в 3

и т. д.

Соглас­

но Менделу [9], результаты исследования

которого используются

ниже, следует различать между собой обычно предполагаемый тип независимых ошибок измерений зависимой переменной и «накоп­ ленную», или интервальную ошибку, когда каждое новое измерение включает ошибки предыдущих измерений. Накопленные ошибки,

284

Глава 4

возникающие из-за временных флуктуации в самом процессе, обусловленных малыми изменениями рабочих условий (темпера­ туры, давления, влажности и т. п.), не являются независимыми: только их разности в двух соседних измерениях можно считать независимыми. Итак, если рассмотреть простейшую модель с одним параметром (угловым коэффициентом), возможны два случая.

1. Модель А — независимые ошибки:

 

 

Yt

= ßxi

+ Ei,

i

= 1, 2,

. . .,

п.

 

 

(4.6.1)

2. Модель

В >— накопленные

данные:

 

 

 

 

 

 

Y j — Yj_i

=

ß (xj

—

xj.i)

+

Ej,

i =

1, 2, . .

., n,

x0

=

0,

или

i

 

 

г

 

 

 

г

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yt =

2 (Yj-Yj-i)

 

= ß

2

(xi-xj-i)

+

2

ej =

ß*, +

2

e; ,

(4.6.2) ,

 

j =l

 

3=1

 

 

 

3=1

 

 

3=1

 

 

 

где

6 j — независимые

случайные

переменные

с математическим

ожиданием % {ег } = 0

и

постоянной

дисперсией

Ѵаг {ег } =

а]-

Величины sj также являются независимыми случайными перемен­

ными,

так как

они представляют собой разности типа е'3 —

г'2 =

= (ËJ +

8 2 + е3 ) — (ЕІ +

е2 )

=

е 3 .

Предположим,

что

% {sj}

=

0,

a

Ѵаг {е7-} =

а\

(xj

—

т.

е. что

дисперсия

может

быть некоторой функцией интервала между

испытаниями.

На

фиг.

4.6.1

имитируются

выражения

(4.6.1)

и

(4.6.2)

при

ß =

3,

 

причем

8 г и

— нормальные

 

случайные

отклонения

с а|.

=

о\. =

1. Отметим, что экспериментальные точки стремятся

расположиться по одну

сторону от линии регрессии, дающей

наилучшую подгонку для

модели В. Хотя предлагаемая модель В

может применяться лишь

в экспериментах определенного типа,

она оказывается

весьма хорошей в этих

случаях для

описания

наблюдаемого тренда относительно линии регрессии.

 

Линия наилучшей подгонки для модели А описывается урав­

нением (4.3.7а) и

для данной модели

 

 

 

n

 

 

 

ЬА = РА =2-Ч

.

(4-6-3)

 

2-?

 

 

 

і=1

 

(4.3.11а)

а дисперсия коэффициента ЪА определяется выражением

 

Ѵаг{&А } = - ^ І — .

 

(4.6.4)

i =l

Наилучшая несмещенная линейная оценка углового коэффициента в модели В получается из условий минимума взвешенной суммы

Ф и г . 4.6.1. Подгонка экспериментальных данных в случае, когда ошибки не я в л я ю т с я независимыми; сравнение независимых и накопленных данных [9].

а — n = 50; б — п = 10.

286 Глава 4

квадратов

n

2 Т-^т-

 

HYj-Yj^-p-ixj-xj-d)2,

 

^—i Xj—Xj_i

 

 

 

3=1

что дает

 

 

как описано в разд. 4.4,

 

 

Ъв

= Ѵв = ^

•

(4.6.5)

2 (хі—хі-і)

Если промежуток между испытаниями не содержит разрыва, выра­ жение (4.6.5) для накопленных данных принимает простой вид

*a = - j r -

(4-6.6)

Из этого выражения следует, что наилучшая оценка углового коэффициента в модели В получается, если последнее значение зависимой переменной разделить на последнее значение независи­ мой переменной! Несмотря на то что промежуточные результаты представляются бесполезными, тем не менее они не являются излишними, поскольку: 1) помогают удостовериться, действитель­ но ли модель линейна, и 2) необходимы, чтобы уменьшить диспер­ сию оценки углового коэффициента

 

V a r { è B } = _ ^

.

( 4 6 7 )

 

 

2

(ХІ—ХІ-І)

 

 

 

 

3=1

 

 

 

Если величина of неизвестна,

дисперсию Ѵаг{6в } можно

оценить

по формуле

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ а г { Ы = ™ ^ Г —

2

— ^ ^ { Y i - Y ^ b ^ - x ^ ] .

3=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.6.8)

Для частного случая, когда каждое приращение xj — х^ = 1,

выражение (4.6.6) переходит

в

 

 

 

 

Ь

—

 

 

 

а вместо (4.6.7) имеем

 

 

 

 

Ѵаг{6в }=4.

Смотрите также файлы