Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 179

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х0 = а

іЪ — корень ве­

щественного многочлена (18). Тогда по следствию 2

теоремы 1

число х0 = а — іЪ будет корнем этого

многочлена.

Покажем,

что произведение (х — хй) (х — ж0) есть

вещественный многочлен

вида (19). Действительно,

 

 

 

(х — х0) (X— хй) = (х — а — ib) (х — а -j- іЪ) = (х — а)2 + b2

= X2Д- рх -J- q,

где р = —2а, q = а2+ b2, причем q — ^ = Ь2 > 0 .

Поэтому разложение вещественного многочлена (18) будет содержать только вещественные множители. Его можно получить путем объединения в (17) сомножителей, соответствующих со­ пряженным корням, и результат записать в виде

f ( x ) = a 0 (x — x j ) b . . . ( x — x ^ l (z2 + p1x +

g1)s‘ . . . (ж2 + p rx - f qr) \

 

 

 

(20)

Например,

x1 + 2x5 + x3 =

xs (x2 +

l) 2.

57. Дробные

рациональные

функции.

Дробной рациональной

функцией называется отношение двух целых рациональных функ­ ций: g (z) степени т и / (z) степени п. Если степень числителя т меньше га, то эта функция называется правильной рациональной

дробью, если

же т

га,

то имеем

неправильную рациональную

дробь.

 

 

Простейшими или

простыми дробями

О п р е д е л е н и е .

называются

дробные

рациональные

функции

вида

 

 

 

А

 

(21)

 

 

 

Сz— k)k

’

 

 

 

 

где к — натуральное число.

Теорема 1. Всякую неправильную дробную рациональную функ­ цию можно представитъ в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби.

Действительно, в результате деления многочлена g (z) степени т на многочлен / (z) степени га при т ^ га. (по правилу деления многочленов) получится частное р (z) — многочлен степени т — га

и остаток

ф (z) — многочлен

степени, меньшей

га.

Имеем

тождество g (z) — f

(z) p

(z) +

ф (z),

разделив которое

на f (z), получим

 

 

 

 

 

g(z)

 

<P(z)

 

 

и теорема

/ (z) = P(?) +

/(z)

’

 

доказана.

 

 

 

 

Пусть многочлен / (z) имеет корень а кратности к; тогда этот

многочлен

можно представить в виде произведения

/ (z) = (z — a f f y(z), причем /х (a) =h 0.

Лемма. Всякую несократимую дробную рациональную функцию можно представитъ в виде суммы

g (z) =

A

gi (г)

(22)

/ ( z)

(г — а)* '

(z — а)*-1/і

(г)

 

где Л — некоторая постоянная.

 

 

А

Для доказательства

составим

тождество

относительно z и

g (Z)

Л

g (Z) Л /і (Z)

 

/ (2)

(z — a)k

(z — a)*/1 (z)

 

Выберем Л при условии g (a) — Л/Да) — 0. Здесь g (a) =f=0,

так как исходная дробь несократимая, /Да) =/=0, так как число

а

является корнем кратности к (и не выше) многочлена / (z). По­ этому числц Л единственно и Л / 0.

При таком выборе Л

в силу следствия из теоремы 2 и. 56,

числитель правой части

(23) можно представить в виде g (z)—

— Л/Дг) — (z — a) g 4(z).

После сокращения правой части (23)

на z — а получим равенство, из которого непосредственно следует тождество (22).

Таким образом, доказано, что из всякой несократимой дробной рациональной функции можно выделить в качестве слагаемого простейшую дробь.

С л е д с т в и е . Если к О 1, то, применяя лемму ко второму слагаемому правой части равенства (22) (предварительно сокра­

тив его в случае

надобности), получим равенство

g (2)

Ak

 

g2 (z)

/ (z)

(z — a)k

(z — a)*-1

(z — a)k~2f i( z ) ’

где A k — Л. Продолжая этот процесс выделения простейших дробей (если к Д>2), придем к равенству

g (z)

_

Ak___ I

Ak- 1 ,

I AI___ -

gfe (z)

 

/9/Л

/ (z)

~

(z — a)k '

( z - a ) * - 1

2 — « '

/ i ( z)

'

^ '

Формула (24) показывает, что каждому к-кратному корню знаменателя / (z) дробной рациональной функции соответст­ вует в правой части равенства (24) сумма к простых дробей.

Процесс выделения простых дробей может быть продолжен с помо-

щью леммы применительно к дроби у

| . Таким образом,

при­

ходим

к следующему утверждению.

 

где

Теорема

2. Пустъ / (z) = aQ(z — a)fe(z — b)°. . . (z — с)?,

a, h,

. . .,

c — различные корни f (z)

соответственно кратности

к, p,

. . .,

q. Всякую правильную дробную рациональную функцию

можно представитъ, и притом единственным образом, в виде суммы простых дробей следующего вида.-

k

As

p

B s

q

cs

 

ф(г) _ V

у

у

(25)

f (z)

(z — a)s

b £

(z — b)s "T ' • 1 '

£

(z — c)s

 

s = i

s - i

s=»i

Приведение правильной дробной рациональной функции к виду суммы (25) называется разложением этой функции на простейшие.

Частным случаем теоремы является следующее утверждение. Если все корни f (z) простые, то разложение / (z) на линейные множители имеет вид (14) с различными множителями в правой части, а формула * разложения соответствующей правильной ра­

циональной

дроби

на простейшие

имеет вид

 

 

Ф

(z)

 

А*

 

Ап

(26)

 

/

( z )

Z — Z i '

Z — Z2

'

Z ~ Z n '

 

 

Дробная

рациональная

функция

называется вещественной,

если она представляет отношение двух вещественных целых рациональных функций.

Вещественными простейшими или простыми дробями назы­

ваются

вещественные дроби

вида

 

 

 

 

 

А

и

+ рх -j- q)I

,

 

(27)

 

( ж — а ) А

(ж2

 

 

 

где к и

I — целые положительные числа и

q

Т

> ° -

 

 

 

 

 

Вопрос о разложении правильной вещественной рациональной дроби на вещественные простейшие рассмотрен в теореме 3, кото­ рую мы примем без доказательства.

Теорема 3. Всякую правильную вещественную дробную рацио­

нальную функцию ф(ж)

можно представитъ в виде конечной суммы

/ И

 

вещественных простейших дробей. При этом, если / (х) разло­ житъ на вещественные множители вида (х — a)h и (х 2 -f- рх q)1 при условии 4q — р 2 Д>0, то в указанной сумме каждому множи­ телю знаменателя вида

 

 

 

 

 

h

 

1) (х — а)к соответствует сумма к слагаемых вида

А,

(ж—ау ’

 

 

 

 

 

2) (х2 -f

рх + qy соответствует

сумма

 

s=l

вида

I слагаемых

 

I

Bsx + Cs

 

 

 

 

 

s2= i

 

 

 

(28)

 

{xt + px+qY

’

 

 

 

 

 

 

где A s, B s

и Cs — вещественные числа.

 

хп многочлена

/ (х)

В частном случае, когда все корни х х, . . .,

вещественные и простые, формула разложения правильной рацио­ нальной вещественной дроби имеет вид

 

Ф(Д)_

 

А]_

 

А2

 

Ап

 

(29)

 

f (х)

X — хг

'

X — х2 '

’ ’ ’ ' ж—хп

 

 

 

 

П р и м е р .

Если

/ (х) =

(х — 1) (х +

I)3 (ж2 -f- 2х ■+ 3), то

формула

разложения правильной рациональной дроби на простейшие такова:

 

Ф (х)

А

I

Ві

!

В2

I

Ва____ I

Сх-\- D

• (30)

/ (X)

X 1

"I-

ж +1

 

(æ +l)2

'

(ж-f-1)3

ж2-|-2ж+ 3

* В общем случае формулой называется всякая символическая запись (алгебраическое выражение, а также равенство), содержащая какое-либо утверждение (предложение, суждение).

Сформулируем правило разложения правильной вещественной дробной рациональной функции на вещественные простейшие. Для этого надо

1)разложить знаменатель / (ж) на вещественные множители,

2)составить согласно теореме 3 формулу разложения дроби

на простейшие с неопределенными коэффициентами A s, B s, Cs,

3)привести обе части формулы разложения к общему знаме­ нателю и приравнять числители,

4)в полученном тождестве приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х; получим систему уравнений относительно

A R

C

* 1 s 5

s ’ S ’

5)решить эту систему (система имеет единственное решение)

иподставить найденные коэффициенты в формулу разложения.

П р и м е р . Разложить на вещественные простейшие дроби функцию ж2 —1

Ж3-)-Ж

Следуя правилу, разложим знаменатель данной дроби на вещественные

простейшие множители ж3 -f- х = х (х2

+ 1). Формула разложения данной

дроби на вещественные простейшие имеет , вид

 

ж2—1

_ А

В х + С

 

X 3 - ) - X

X

' X 3 - ) - 1

 

Отсюда следует тождество ж2 — 1 = А

(ж2 + 1) + (Вх + С) х. Путем

срав­

нения коэффициентов при одинаковых степенях х получим систему А +

В =

= 1, С = О, А = —1, имеющую решение А — —1, В = 2, С = 0. Поэтому

имеем окончательно

£2

I

\

 

2х

 

—

--------1— _

, . .

 

хЗ-f-x

X

ж2

+ 1

§9. СОЕДИНЕНИЯ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

58.Элементы теории соединений. Пусть имеем п нумерован­ ных элементов

ßtj» **•> &П‘ (^) Из элементов множества (1) будем составлять различные подмно­ жества, содержащие каждое к элементов, где 1 к sg п. Эти подмножества называются соединениями; они бывают трех видов: сочетания, перестановки и размещения.

Сочетаниями из п элементов по к называются соединения, кото­ рые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом и содержат каждое к элементов из данных п элементов (1). Порядок

расположения

элементов в сочетании во внимание не принимает­

ся. Например,

из трех

элементов

аи а 2,

а3 можно

составить

только такие

сочетания

по два элемента: а {а2, а.2а3,

a ta3.

 

Число различных сочетаний из п элементов по к обозначается

символом Сп. Например, С\ — 3.

 

 

 

 

Выведем формулу

 

 

 

 

 

 

СЪ=

” (” —1) • • •

((га —ft+1)

 

/2\

Если к = 1, то по определению имеем сочетания at, а2,

■■-,

ап, число которых равно п, поэтому С\ =

п. Сочетания из п

эле­

ментов по 2 можно образовать так: возьмем любое сочетание из п

Смотрите также файлы