ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 2
Из (22) и (23) следует, что / (х) — Тп(х) -f R n(x) или
П
/ И = 2 |
(ж - *»)* + |
R n(*)• |
(24) |
/ і = 0 |
|
|
|
Формула (24) называется |
формулой |
Тейлора |
для функции |
f (х), а величина R n{x), определяемая равенством (23), называется
остаточным членом формулы Тейлора.
Если обозначить Ах = х — х0, Ау — f (х) — / (ж0), то из (24) следует такое представление формулы Тейлора:
дг/ - 2 ^ |
^ |
+ R " (*)• |
(25) |
k =i |
|
|
|
Произведение f lki(x0) (Ax)k |
называется дифференциалом |
к-го |
|
порядка функции f (х) в точке х0 и обозначается символом |
|
||
dky = f k)(x0)(Ax)k. |
(26) |
||
С помощью этого обозначения формуле (25) можно придать вид
П |
|
b y ^ ^ + Rnix). |
(27) |
Ь«1 |
|
Во всех формах записи (24), (25) и (27) формула Тейлора дает разложение приращения функции Ау по возрастающим степеням
приращения |
аргумента |
Ах. |
|
|
многочлен |
||
Значение |
формулы |
Тейлора состоит в том, что |
|||||
Тп (х) |
приближенно представляет функцию / (х) для тех значений |
||||||
X, для |
которых величина |
| R n(x) | достаточно мала. |
|
||||
Выведем формулу остаточного члена формулы Тейлора. Пред |
|||||||
положим, что функция / (х) имеет в окрестности точки |
х0 произ |
||||||
водные всех порядков до п + |
1-го включительно. Введем в рас |
||||||
смотрение величину q (х), |
положив |
|
|
||||
|
|
R n{ |
x ) |
- ^ ^ |
q {x). |
(28) |
|
Из (24) и (28) следует соотношение |
|
|
|||||
|
/ ( * ) = 2 ^ |
|
|
- x°)k + |
(Ѵ + і ) Г q {х)• |
(29) |
|
|
|
h=О |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
вспомогательную |
функцию ф (z), определив ее ра |
|||||
венством |
|
|
|
|
|
|
|
Ф (2 ) = / (х)- 2 /(fefe !(Z) (ж ~ ^ ~ 1 п + 1)Г q (Х) |
( 3 0 ) |
в промежутке i 0 sc г ^ і (или х ^ z ^ х0, если х <Сх0). Функ ция ф (z) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля в указан
ном промежутке. В частности, |
согласно |
(29) имеем ф (х0) = О, |
|||||
а согласно (30) имеем |
ф (х) = |
0, |
поэтому |
ф (х0) = ф {х). |
Суще |
||
ствует производная ф (z) по переменной z; |
она равна |
|
|||||
Ф' ( * ) = - / ' (*) + |
|
|
|
(X - |
z)n+ |
|
|
|
g (х) = |
|
[g (X) - |
r |
+1(z)i. |
|
|
Согласно заключению |
теоремы |
Ролля |
применительно к |
ф (z), |
|||
в промежутке между х0и х существует число с такое, что Ц>'(с) = 0. Отсюда следует, что q (х) = р п+1) (с). Заменим в (28) q (х) найден ным выражением, получим формулу остаточного члена в форме Лагранжа
Пп{х) = ^ ^ |
\ ( х |
- х 0Г \ |
(31) |
где с — х0 + Ѳ (х — а;0), 0 <Ѳ |
< 1 , |
потому |
что 0 < - —— < 1 . |
|
|
|
X — • X Q |
Структура формулы (31) такая же, как и у других членов формулы Тейлора (24), но там производная берется в точке х0, а в остаточ ном члене она берется в точке с, не совпадающей с і 0 и зависящей от X.
Формула Тейлора (24) с остаточным членом в форме (31) яв ляется обобщением формулы конечных приращений Лагранжа, потому что последняя получается из (24) при п — 0.
З а м е ч а н и е . Если функция f (х) в некоторой окрестности точки х0 имеет производные всех порядков, которые ограничены по модулю сверху ; /(п) (X) |<( М, то имеет место формула
lim Rn (ж) = 0.
оо
Действительно, при стремлении п к бесконечности переменная (х—х0)к+1
(гс+ 1)!
стремится к нулю (см. пример 2 п. 20, где рассмотрен случай хп = 0; при лю бом х0 это утверждение доказывается аналогично). Величина f(n+1) (с) из фор мулы (31) по условию ограничена по модулю сверху. Произведение ограни-
ченной / (п+1) (с) на бесконечно малую (х |
— , как известно, есть вели |
чина бесконечно малая. Поэтому согласно равенству (31) величина Rn (х) стремится к нулю при п -*■оо.
52. |
Примеры. Частным случаем формулы Тейлора, |
соответ |
|
ствующим условию х0 — 0, является формула Маклорена |
|
||
|
1ik) (0) rk |
ХП+1 |
|
|
/м= 2 о |
(я + 1)! |
(32) |
|
к\ Х |
/ (п+1) (Ѳх). |
|
|
|
|
|
Разложим по этой формуле некоторые элементарные функции.
1. |
|
Пусть f(x) = ex\ |
тогда f k)(x) = ex при |
любом |
натуральном |
||||||||||
к и |
при |
любом |
X. |
В |
частности, |
при х = 0 имеем |
/ (0) = 1 |
||||||||
и f (k) (0) —1. По формуле |
(32) получим разложение функции е*: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
*2 |
|
|
4- |
хП+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тг |
|
п\ |
|
|
|
(33) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
^ (и-j- 1) ! |
|
|
||||||
2. |
|
Если |
/ (х) —sin X, |
то f k) (х) = sin ^х -f 4г ) и f k) (0) -=sin ~ . |
|||||||||||
Поэтому |
/ <2S)(0) = 0 |
и |
/ t2s_1) (0) -- (—l)s_1. |
|
|
|
|
|
|||||||
Положив |
в формуле (32) наибольшее к — 2п— 1, получим раз |
||||||||||||||
ложение |
sin х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
гЗ |
|
|
|
|
|
|
Х 2П |
|
|
|
|
sin а; = X— jjj |
|
|
|
(2л — 1) ! |
(2«У1 sin (Ѳх |
im). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(34) |
3. |
Аналогично при |
/ (х) = cos х |
имеем |
f k) (х) = cos |
|
-j- -T j , |
|||||||||
/ 'ft,(0) = 0 |
при |
k~~2s — 1, |
/ (ft,(0) = |
( - l ) s при |
к — 2s. |
По |
фор |
||||||||
муле |
(32) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos X - |
1 - |
|
|
X* |
|
|
(—l)n x*n |
|
xm+i |
|
|
|
|
||
— |
+ |
ТГ |
|
|
(2n) ! |
( 2 n + i ) \ ' cos (Ѳг + |
пя + |
-5 -). |
|||||||
|
|
2 |
! ^ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
4. |
|
Б и н о м Н ь ю т о н а . |
Пусть |
/ (х) —(1 -f- х)п, |
где |
|
« — нату |
||||||||
ральное число. Последовательно дифференцируя / (х), получим |
|||||||||||||||
|
|
f (X) = n (1 + |
z)n-\ |
... , |
f k) (х) = п (« — 1) . . . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
. .. (n — /с + 1)(1 -\-х)п~к, ... , |
f m |
(x) = n\ |
|
|
|
|||||||
Производные порядка выше п все равны нулю. По формуле |
|||||||||||||||
(32) |
получим тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
{ ï + x f = ï +ПХ+ |
|
|
*2 + |
. . . + |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ _»(И-1) . . . (B-fc+1) хк + ' " + яП' |
|
|
(36) |
||||||||
называемое биномом Ньютона. С помощью обозначения п. 31 |
|||||||||||||||
бином Ньютона можно |
записать так: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(1 + х)п = 1 + |
С\х + |
С2х2 + . .. + С*хк + . . . + і п. |
|
|
|
|||||||||
Равенства (33) — (36) верны при всех значениях х.
53.Исследование функции на экстремум с помощью формулы
Тейлора. |
Пусть функция / (х) непрерывно дифференцируема |
n -f 1 раз |
(см. п. 31) в окрестности точки х0и ее первые п произ |
водных равны нулю в точке х0, а f n+1, (x0) ф 0. Формула Тейлора (25) с остаточным членом в форме (31) примет вид
Ду = / И —/ (Ф) - Гп+Ѵ (с) ^ |
. |
(37) |
Заметим, что знаки величин /(п+1! (с) и /Сп+1) (х0) совпадают при |
||
достаточной близости точек х и х0, так как |
f n+1) {х) |
непрерывна. |
Наличие или отсутствие экстремума функции / (х) |
в точке х0 |
|
зависит от знака величины Ау слева и справа от точки х0. Известно,
что если Ар < 0 |
при всех достаточно малых |Ах), |
то в точке х0 |
||||
функция / (X) имеет максимум; если |
Ар > 0, то — минимум, если |
|||||
же Ар принимает |
значения разных |
знаков в окрестности точки |
||||
х0, то в точке х0 функция |
экстремума не имеет (см. и. 39). |
|||||
Рассмотрим все возможные случаи. |
/ т+1) (ж0) > 0, |
|||||
С л у ч а й |
1. |
Если |
п + 1 — число четное и |
|||
то согласно (37) имеем Ау > 0 . |
Следовательно, х0 — точка мини |
|||||
мума f (X). |
2. |
Если |
п + |
1 — число четное и |
/(л+1) (х0) < 0 , |
|
С л у ч а й |
||||||
то Ар < 0 и х0 — точка |
максимума / (х). |
то Ар меняет |
||||
С л у ч а й |
3. |
Если |
1 — число нечетное, |
|||
знак (при переходе х через точку х0) вместе с величиной (Дя:)"+1 и в точке х0 нет экстремума.
П р и м е р . Если у = X то у' — 4ж3, у" = 12æ2, у = 24ж, у(і> = 24.
В точке х0 |
= 0 функция имеет минимум, так как выполнены условия 1-го |
случая п + |
1 = 4 и у(4) 0. |
Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
54. Три формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Из курса элементарной алгебры известно, что любое комплексное
число z можно представить в алгебраической форме z = |
х + |
іу |
и в тригонометрической форме z = г (cos <p -f- i sin ф). |
Здесь |
х |
есть реальная часть комплексного числа z (рис. 45), у — коэффи
циент при его мнимой части, |
г = |
| z \ — модуль |
z, |
ф = Arg z — |
||||||||
|
аргумент z, причем различные значения |
|||||||||||
|
аргумента отличаются на 2кл, где к — целое |
|||||||||||
|
число. |
Под главным |
значением |
аргумента |
||||||||
|
arg z понимается |
значение |
ср, |
удовлетворя |
||||||||
|
ющее |
условию |
— я < |
<р ^ |
л. |
Таким |
об |
|||||
|
разом, |
Arg z = |
arg z -f- 2 kn. |
x 1 -\- iy l |
|
|||||||
|
Комплексные |
числа |
z i = |
и |
||||||||
|
z2 == х 2 + |
іуг |
равны тогда |
и только |
тогда, |
|||||||
|
когда |
Хі |
= х 2 и |
Уі = |
у 2- |
Из |
равенства |
|||||
|
Zj = z2 следует, |
что |
равны |
модули |
этих |
|||||||
отличаться |
чисел |
Jz! J= |
I z21, а |
их |
аргументы |
могут |
||||||
слагаемым, кратным 2я, т. е. Arg z2 = |
Arg z l + |
2 kn. |
||||||||||
Покажем, что комплексное число z можно представить в так |
||||||||||||
называемой |
показательной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z --- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
где г и <р — те же, что и в тригонометрической форме.
Для этого ниже изложены лишенные строгости рассуждения,
приводящие к так называемой формуле Эйлера |
|
егч>= cos ф+ i sin ф. |
(2) |
Строгий вывод этой формулы содержится в теории рядов |
(см. |
п. 217). |
|
