ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 2
Рассмотрим комплексную функцию вещественного аргумента
W (ф) = cos ф + |
isin ф. По определению производная такой функ |
|||||
ции равна w' = |
(cos ф)' + i (sin ф)' = |
—sin ф + i cos ф. Поэтому |
||||
имеем w' — i (cos ф + i sin ф) = |
iw. |
Функция |
w удовлетворяет |
|||
дифференциальному уравнению |
w' = |
iw, |
из |
которого следует |
||
(так же, как в и. 35), что w = |
сег?. При ф = |
0 имеем по условию |
||||
w = 1, поэтому с = 1, а гг; = |
ег!р. Сравнив этот результат с исход |
|||||
ным представлением w (ф), получим |
формулу |
(2). |
||||
В сущности равенство (2) выражает естественное определение показательной функции е7<? с чисто мнимым показателем.
Представление комплексного числа в показательной форме (1) получается из тригонометрической формы путем замены cos ф +
+ i sin ф на |
е1'? согласно |
равенству (2). Таким |
образом, всякое |
|||
комплексное |
число может |
быть представлено |
в |
трех формах: |
||
|
|
х-\- iy = r (cos ф-{- isin ф) = гегф. |
|
(3) |
||
Пр и м е р ы , |
zi = — 1 = cos я -|- г sin я = ет-1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
З Я г |
z2= |
— 1-р г = У 2 ^cos-^p--f- г sin |
= 1^2« |
4 • |
|||
Если в (2). заменить ф на —ф, то получим формулу |
||||||
|
|
е~г? = cos ф— i sin ф. |
|
|
(4) |
|
Путем сложения, а затем вычитания равенств (2) и (4) последова тельно получаем равенства
е г ? _р e ~ l 'f |
= |
2 cos ф, |
е1?— е“гф = 2i sin ф, |
|
|
из которых вытекают |
формулы |
Эйлера * |
|
||
cos ф = |
еІ!Р-р |
. |
еі(Р—e_i<f |
(5) |
|
---- ----- , |
sin ф = ----- —----- . |
||||
Формулы Эйлера (2), (4) и (5) связывают тригонометрические функции sin ф и cos ф вещественного аргумента ф с показательными функциями ег<р и е_г<? чисто мнимого аргумента.
55. Примеры функций комплексного переменного. По опре делению под комплексной функцией w (z) комплексного аргумента
z на множестве А понимается закон соответствия, согласно кото рому каждому значению z из А отвечает определенное значение w. Пусть областью изменения функции w является множество В точек плоскости комплексной переменной w = и + і ѵ.
Геометрически функция w (z) есть отображение (преобразова ние) множества А комплексной переменной z = х + іу на мно жество В комплексной переменной w. На рис. 46 изображены эти множества для функции w = z2, определенной в секторе А еди ничного круга.
* Леонард Эйлер (1707—1783) — выдающийся швейцарский математик. Большую часть своей жизни работал в России.
В качестве примеров ниже рассмотрены три функции комплекс ной переменной.
1. Показательная функция комплексного аргумента z = х 4-
+ іу определяется равенством
е2 = ехегу = е* (cos у + i sin у). |
(6) |
|
Отсюда следует, что |
|ег| = е*, Arg е2 —у -j- 2кл. |
z%= x%-f- |
Выведем формулу |
ez,ez2__ег,+г2 Пусть z1 = x1Jr iy1, |
|
-f iy2. Известно, что при умножении комплексных чисел их мо дули переумножаются, а аргументы складываются. Поэтому согласно (6) имеем
|
|
(>z \f>z Z |
g X i g i t j i g X 2gUJ% |
g X \ ± X 2g i (Уѵ'гУ) |
g Z \ \ - Z 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2. |
Логарифмическая функция |
|||||
|
|
|
|
|
w — Ln z |
комплексного |
аргу |
|||||
|
|
|
|
|
мента z по определению есть |
|||||||
|
|
|
|
|
показатель |
степени, в которую |
||||||
|
|
|
|
|
надо |
возвысить |
основание |
е, |
||||
|
|
|
|
|
чтобы получить z, т. е. |
|
|
|||||
|
|
Рис. |
46. |
|
w — Ln z, |
если ew = |
z. |
(7) |
||||
|
Положив в |
(7) z = reî<p, w = u-\-iv, |
получим |
равенство |
еиеіѵ= |
|||||||
=ге%ч>, из |
которого следует, |
что |
1) |
еи = г |
|
и |
и — In г —ln j z |t |
|||||
2) |
V = ф+ |
2А:л = argz-f 2кя, где |
k = О, |
1, 2 , . . . |
|
|
|
|
||||
|
Поэтому логарифм комплексного аргумента имеет такое ана |
|||||||||||
литическое выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Lnz = ln |z | + i(argz -f 2fot) (k = 0, |
1, 2 ,...) . |
|
(8) |
|||||||
Ее |
Логарифм комплексного числа есть функция |
многозначная. |
||||||||||
г л а в н о е |
|
з н а ч е н и е |
l nz соответствует условию к = |
0. |
||||||||
|
П р и м е р . |
Вычислить Ln (—1) и In (—1). Для этого находим модуль |
||||||||||
и аргумент числа z = —1. Имеем | z | = |
1, arg z = я. По формуле (8) полу |
|||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln ( —1) = ln 1-}- i (n + |
2fcrc) = ni ( 2 |
k |
1). |
|
|
|
|||
При к — 0 имеем ln (—1) = лі. Желая проверить последнее равенство, вы числим ежі = cos л + і sin л = —1. Следовательно, результат верен.
3. Комплексная степень комплексного числа определяется ра венством
zz• = ег Lnz
Пр и м е р . ( ~ і у = е г Lnt- г^= е я <2#1+1).
В частности, если в равенстве (9) полошить z4= - , то полу
чим известную формулу корня степени п из комплексного числа
|
і a r g Z -f2 k JT |
- |
|
z ~ y r\z\e |
n |
(k = 0, i , . . . , n —1). |
(10) |
56. Целые рациональные |
функции. Целой рациональной функ |
||
цией (многочленом или полиномом) комплексного аргумента на
зывается функция |
|
|
/ (z) = a0zn -I-ßiZ”-1 + |
. . . + an_tz -f an |
(11) |
с комплексными коэффициентами |
a0, a u . . ., an, |
причем |
a 0 =h 0.
Два многочлена / (z) и g (z) степени n называются равными, если равны их значения при любом z:
a0zn + ап = b0zn + ^z”-1 + . .. -f bn.
Отсюда следует равенство соответствующих коэффициентов: а0 = = Ь0, . . ., ап = Ьп. Действительно, если в данном тождестве положить z = 0, то получим равенство ап= Ъп. Дифференцируя данное тождество (по правилу дифференцирования многочленов
от вещественного аргумента) |
и |
полагая z = 0, |
последовательно |
|
получим ап_ 1 |
«о — ^о* |
|
||
Числа z = |
х-\- іу — гег<р |
и |
z = х — іу = |
ге“г<р называются |
комплексно-сопряженными. Они отличаются только знаком аргу
мента и поэтому изображаются точками, расположенными |
сим |
||||||||||||||
метрично относительно |
вещественной оси (см. рис. 45). |
|
|||||||||||||
|
Теорема 1. Одинаковые арифметические действия над комплекс |
||||||||||||||
но-сопряженными числами |
приводят к |
комплексно-сопряженным |
|||||||||||||
результатам. |
|
пусть |
даны |
числа |
z — a -f |
ib |
и z t = |
а1 Ц- |
|||||||
+ |
Действительно, |
||||||||||||||
ib j. |
Их |
сумма |
равна |
z -f z i — (а + а 4) 4- |
і (Ь -{- ЬД = z2, |
||||||||||
сумма комплексно-сопряженных слагаемых равна z + zt = |
(а -)- |
||||||||||||||
+ |
аі) — і (b + |
bt) = |
z2. |
Произведение |
чисел |
z = |
re1SP и |
Zj — |
|||||||
= |
туе'®1 равно zzj = |
rryel (ф+ф,) = |
z3. |
Произведение |
комплексно |
||||||||||
сопряженных |
чисел |
равно |
zzj = |
rr |
(ф+фі) = zs. |
|
|
||||||||
|
Аналогично доказывается теорема для разности и для част |
||||||||||||||
ного. |
|
|
|
1. |
Многочлен (11) с |
в е щ е с т в е н н ы м и |
|||||||||
|
С л е д с т в и е |
||||||||||||||
коэффициентами а0, а и |
. . ., ап в комплексно-сопряженных |
точ |
|||||||||||||
ках |
z = |
а + |
ib |
и z = |
а — ib принимает комплексно-сопряжен |
||||||||||
ные |
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (z) = f (аЦ-ib)x=u-{-iv, |
f(z )~ f( a — ib) = u — iv. |
(12) |
||||||||||
а |
Действительно, вычисление значений многочлена / (z) в точках |
||||||||||||||
|
іЪ и а — ib состоит в последовательном выполнении опера |
||||||||||||||
ций умножения и сложения комплексных чисел, а также операции умножения комплексного числа на вещественные числа (именно
на коэффициенты многочлена). Эти операции над z и z согласно теореме приведут к комплексно-сопряженным результатам.
С л е д с т в и е 2. У многочленов с вещественными коэффи циентами комплексные корни встречаются сопряженными па рами.
Действительно, пусть число a -j- ib есть корень многочлена (11) / (а + ib) = 0. Тогда согласно первой из формул (12) имеем
и— V — 0. Поэтому в силу второй из формул (12) / (а — ib) — 0
ичисло а — іЪ тоже является корнем / (г).
Теорема 2 (теорема Безу *). Остаток |
R от деления |
много |
члена (il) на двучлен z — z0, где z0 — любое |
число, равен значению |
|
этого многочлена в точке z0, т. е. R = / (z0). |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим / 1 (z) — частное |
от де |
|
ления многочлена / (z) на z — z0; это многочлен степени п — 1 со старшим коэффициентом а0. Известно, что делимое / (z) равно
делителю z — z0, |
умноженному на частное |
fi(z), плюс |
остаток |
|||
R] поэтому имеем |
тождество относительно |
z |
|
|
||
|
|
f(z) = ( z - z 0)f1(z) + R, |
|
|
(13) |
|
где R не зависит от z. Положив в этом равенстве z = |
z0, получим |
|||||
R = / (z0), и теорема доказана. |
многочлена |
/ (z), |
то / (z) |
|||
С л е д с т в и е . |
|
Если z0 — корень |
||||
делится (без остатка) |
на z — z0, т. е. / |
(z) — (z — z0) f i (z). |
||||
Действительно, это равенство следует из (13) при і? — / (z0) =
= 0.
Теорема 3 (основная теорема высшей алгебры). Всякий много член имеет по крайней мере один коренъ.
Мы примем эту теорему без доказательства. Заметим только, что не всякая функция имеет корни. Например, функция ez корней не имеет, что следует из формулы (6).
Теорема 4 (теорема о разложении многочлена на линейные множители). Всякий многочлен / (z) степени п может бытъ пред ставлен в виде произведения п + 1 сомножителей, из которых один есть старший коэффициент а0, а остальные суть двучлены
вида z — zk: |
(14) |
/(z) = a0( z - z 1)(z — z2) . . . (z — zn). |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим многочлен (И). По тео реме 3 он имеет по крайней мере один корень; обозначим его z i. Согласно следствию из теоремы 2 многочлен / (z) делится на z — z u и поэтому имеет место тождество
/ (z) = (z — Zj) K z11“1 + V n~2 + • • • +
* Этьен Безу (1730—1783) — французский математик.
Второй множитель правой части есть многочлен / 4(z) степени п — 1 со старшим коэффициентом а0. Его корень (существование которого обеспечено теоремой 3) обозначим z 2 и разделим fi(z) на z — z 2. Это деление выполняется без остатка (в силу следствия из теоремы 2), и мы получим
/ (z ) = (z — Zj) (z — z2) [a0z"~2 + qz""3 + . . . + c„_21.
Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, полу
чим формулу (14), |
называемую формулой разложения многочлена |
|||||
на линейные множители. |
z„ являются корнями |
|||||
С л е д с т в и е |
1. |
Числа zlf z2, . . |
||||
многочлена / (z), потому что согласно (14) имеем / (zk) = |
0 |
при |
||||
всех к от 1 до п. |
2. |
Числа, отличные от zk, не являются |
кор |
|||
С л е д с т в и е |
||||||
нями / (z), потому |
что |
из (14) вытекает |
/ (z) 4= 0, если |
z |
zk. |
|
Следовательно, всякий многочлен степени п имеет ровно п |
||||||
корней; |
они могут быть вещественными или комплексными, раз |
|||||
личными |
или равными. |
|
|
|
|
|
Корень z — с многочлена / (z) называется корнем кратности к (или Är-кратным корнем), если / (z) делится на (z — c)h и не де лится на (z — c)k+1. В этом случае из (14) следует, что / (z) можно представить в виде
|
/ (z) = |
(z — с)*Л (z), где |
Л (с) ф 0. |
(15) |
||
Корни кратности к — 1 называются простыми корнями мно |
||||||
гочлена. В этом случае имеем |
|
|
|
|||
|
/(z) = |
(z — c)/2(z), где |
/ 2(c)=f0. |
(16) |
||
Объединив в правой части разложения (14) одинаковые мно |
||||||
жители, представим формулу (14) в виде |
|
|||||
|
/ (z) — й0 (z |
Zj)k’ (z — Z2)ft’ . . . (z — zmf m, |
(17) |
|||
где |
ki + k 2 + • • • + |
km — n, |
k i: . . |
km — целые |
положитель |
|
ные |
числа. Каждое |
из |
чисел |
ks равно кратности |
соответству |
|
ющего корня zs многочлена / (z). Заметим, что если все п корней многочлена / (z) простые, то в разложении (14) все линейные мно жители будут различными.
Многочлен (11) с вещественными коэффициентами называется
вещественным многочленом |
|
/ (z) == а0хп 4 аххп~1 + . .. + ап_іХ+ ап. |
(18) |
Теорема 5. Любой вещественный многочлен можно разложитъ
на вещественные множители |
вида |
|
(х — а)к и |
(х2 Л рх Л q)e, |
(19) |
где а, р и q — вещественные числа, q — |
)>0, к и е — нату |
|
ральные числа.
