ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 2
по 1: аъ а2, . . ., или ап и объединим выбранное сочетание с каждым из остальных элементов множества (1). Например, объединение а і с остальными элементами дает такие сочетания по два элемента:
ащ 2, |
« і«3, |
• • -, Яіап. Объединение |
а2 с остальными элементами |
дает |
а2а и |
а2аг, . . ., а2ап. Всего |
получится п (п — 1) таких |
объединений. Но этот результат |
надо разделить на два, так как |
|
каждое сочетание встречается два раза. Поэтому |
||
п— І |
~~ |
п(п —1) . |
ьп ^ ьп ш 2 |
2 |
|
Сочетания из п элементов по 3 образуем так: к каждому соче танию из п элементов по 2 присоединим третий элемент из тех п элементов множества (1), которые не входят в рассматриваемое сочетание по 2. Получим, таким образом, С%(п — 2) таких подмно жеств; но среди них каждое сочетание встретится три раза. Поэтому
г * _ р?, |
п ~ 2 |
п (п — 1) (п —2) |
|
|
Ln |
з — |
31 |
|
|
Можно доказать, что |
|
^---- . Отсюда |
следует сог |
|
ласно методу математической индукции формула (2). |
., ak назы |
|||
Перестановками из данных к элементов а 1, а2, |
. • |
|||
ваются соединения, каждое из которых содержит все к элементов
и которые |
отличаются |
лишь порядком элементов. |
Например, |
из трех элементов а, Ь, |
с можно составить только такие переста |
||
новки: abc, |
acb, bac, bca, cab, cba. |
|
|
Число различных перестановок из к элементов обозначается |
|||
символом Р |
(к). Например, Р (3) = 6. |
|
|
Выведем формулу |
Р (к)= кІ |
(3) |
|
|
|
||
Если к = 2, то имеется всего две перестановки: а {а2 и а2а t. Поэтому Р (2) = 2!. Все перестановки из трех элементов а и а2, а3 можно получить из перестановок двух элементов а ха2, а2а1 путем присоединения к ним элемента а3. Это присоединение можно осуществить трояко: поместив а3 до первого элемента, после второго элемента или между первым и вторым элементами. По этому Р (3) = Р(2)-3. Аналогично получим
P (т + 1) = Р (т) (т -|- 1), |
(4) |
потому что в перестановке из т элементов имеется т — 1 проме жутков между элементами, куда можно поместить элемент ат +і. Но его можно поместить еще до или после всей перестановки из т элементов. Из (4) следует согласно методу математической индук ции формула (3), потому что P (1) = 1.
Размещениями из п элементов по к называются такие соедине ния (содержащие каждое к элементов из данных п элементов), которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Из каждого сочетания из п элементов по к путем перемещения элементов, входящих в это сочетание, можно получить Р (к)
различных перестановок. Всего имеется Ск различных сочетаний из п элементов по к. Поэтому общее число различных размещений из п элементов по к равно произведению Ск на Р (к):
Ак— СкР (к) = п(п — 1) . . . (п —к + 1). |
(5) |
II р и м е р 1. Имеется 10 кандидатов на 3 о д и н а к о в ы х |
вакантных |
места. Найти число вариантов замещения трех одинаковых вакантных мест выборкой из десяти кандидатов.
Р е ш е н и е . Каждая выборка является сочетанием из 10 элементов по 3. В ней места одинаковы и поэтому порядок расположения кандидатов в выборке не имеет значения. По формуле (2) получаем
,я |
10-9-8 |
120. |
10 ~ |
1-2-3 — |
П р и м е р 2. Найти число вариантов замещения трех р а з л и ч н ы х вакантных мест выборкой из десяти кандидатов. В этом примере вакантные места различны, поэтому каждая выборка есть размещение из 10 кандидатов
по три и |
= 10-9-8 = 720. |
|
|
При вычислении числа сочетаний полезна формула |
|
||
|
s^k _ ^ |
___ |
(6) |
|
п ~ |
к\ (п— к) ! |
|
Выведем формулу (6). Путем умножения числителя и знамена теля формулы (2) на (п —к)\ получим формулу (6). Действительно,
çk |
п (п —1)-• -(я — fc + 1) |
(я —к)' • -2-1 |
_ |
п ! |
Ь п ~ |
1-2---А |
' (га — /с)! |
|
Аг ! (ге —А) ! " |
Из (6) непосредственно следует |
с помощью |
(2), что |
||
|
СТк = Ск. |
|
(7) |
|
59. Элементы теории определителей.
О п р е д е л е н и е 1. Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Числа этой совокупности называются элементами матрицы.
/1 2 4 3\
Например, матрица I Q g ^ 1 / имеетДвестРокиичетыРестолбца.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка
ni M2
А2 =
а ' (8)
Щ“22
Оп р е д е л е н и е 2. Определителем второго порядка, со ответствующим матрице А 2, называется число, определяемое равенством
D (A Z): |
a 12 |
= |
а11й22 а 12а 21- |
(9) |
|
H l й22 |
|||||
|
|
|
|
||
|
м атри ц у |
тр етьего п о р яд к а |
|
||
|
а11 |
а12 |
яіз \ |
|
|
|
а21 |
Я22 |
й23 1• |
(10) |
|
|
а3і |
а 32 |
й33' |
|
|
В обозначении ее элемента ау, |
первый индекс і показывает номер |
|||||||||
строки, |
а |
второй |
к — номер |
столбца матрицы, на пересечении |
||||||
которых |
стоит |
элемент |
aik. |
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е |
3. Определителем третьего порядка, со |
|||||||||
ответствующим матрице |
А 3 называется число определяемое ра |
|||||||||
венством |
|
|
ап |
а12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« 1 3 |
|
|
|
|||
|
|
(Л) = |
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
— « 1 1 « 2 2 « 3 3 |
! |
|
||
|
|
|
|
« 3 1 |
« 3 2 |
« 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
« 1 3 « 2 1 « 3 2 — « 1 3 « 2 2 « 3 1 |
« 1 1 « 2 3 « 3 2 |
Ч 2 и '2 1 и '3 3 - |
( И ) |
||||
|
|
1 |
2 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
Например, |
2 |
0 |
3 |
= 18 - 8 |
—12 --- —2. |
|
|
|||
|
|
3 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
О с н о в н ы е |
с в о й с т в а |
о п р е д е л и т е л е й . Здесь |
||||||||
сформулированы свойства определителей п-то порядка, |
где п = 2 |
|||||||||
или п — 3; |
одни из этих свойств доказаны, |
а другие |
иллюстри |
|||||||
рованы примерами. Строгое доказательство всех свойств читатель найдет в главе XV.
1°. Величина определителя не меняется при замене его строк соответствующими столбцами.* Это так называемое свойство равноправности строк и столбцов определителя. Доказательство
(при п — 2): |
а |
Ъ |
|
а |
с |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
с |
d —ad — be = b |
d |
|
||
2°. |
При перестановке двух строк (столбцов) определителя |
||||||
между |
собой определитель |
меняет |
лишь |
знак. |
Доказательство |
||
(при п — 2) |
b |
|
|
|
с |
d |
|
|
a |
|
|
|
|||
|
с |
d |
ad — be — —(be — ad) = — а |
b ' |
|||
3°. |
Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) |
||||||
равен |
нулю. Действительно, |
a b |
— ab — ab — 0. |
||||
a b |
|||||||
4°. |
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определи |
||||||
теля содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:
а КЪ |
a |
b |
Xd |
■aXd — Xbc — X (ad — be) — X c |
d |
4a. Если все элементы некоторой строки (столбца) определи теля равны нулю, то определитель равен нулю. Для доказательства достаточно в предыдущей формуле положить X — 0.
5°. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя суть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух
* См. примечание на стр. 447.
определителей, в которых элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми. Например,
а-Ра |
b I |
а |
Ъ |
а Ь |
|
с + ß- d 1 |
с |
d + |
ß d |
||
Формула проверяется |
прямым вычислением. |
||||
О п р е д е л е н и е |
4. |
Минором определителя п-го порядка, |
|||
соответствующим элементу aik, называется определитель п — 1-го порядка, получающийся из основного определителя путем вы черкивания і-й строки и к-то столбца. Он обозначается символом
Аik-
О п р е д е л е н и е 5. Алгебраическим дополнением элемента aik определителя называется минор Д£*, взятый со знаком ( — l)t+k; он обозначается символом A ik:
AlkM ~ l) i+feArt. |
|
(12) |
|
2 |
3 4 |
П р и м е р . Элементам первой строки определителя А = |
6 |
1 2 |
|
- 1 0 5 |
|
соответствуют миноры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ац = 1 |
2 = 5, |
Ді2 = |
6 |
2 |
= 32, |
Дхз = |
6 |
1 |
= 1 |
О |
5 |
|
-1 |
5 |
|
|
-1 |
О |
|
и алгебраические |
дополнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
А п = ( - 1)2-5 = 5, |
^4іа = ( —!)» -'32 = |
—32, |
Л1з = |
( - 1 ) 4 - 1= 1. |
|||||
Составим сумму парных произведений элементов первой строки на соответ ствующие алгебраические дополнения:
аііА ц -р ацА і2 -р візАіз — 2 • 5 -р 3 • ( — 32) —р4-1 — —82.
Вычислим данный определитель по формуле (11), получим Д = —82. Это сов падение результатов а ц А ц -р я12.412 + aiaA 13 — Д не случайно. Имеет место свойство 6.
6°. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на соответствующие элементам этой строки (столб ца) алгебраические дополнения равна величине определителя. На пример, в случае определителя третьего порядка имеют место формулы
А = ап Ап + ап А1%-р а13А13,
А --= «21^21 + «22^22 + Ö23^231 |
(13) |
/А = аъ1Аіг -f а32А32 -р a3ZAzz.
Формулы (13) представляют р а з л о ж е н и я определителя по элементам первой, второй и третьей строк определителя соот ветственно.
Разложение определителя D (Л3) по элементам к-го столбца имеет вид
А = alkAlk + a2k^2k + a3kA3k (к = 1, 2, 3). |
(14) |
7°. Сумма произведений элементов любого ряда определителя на алгебраические дополнения, соответствующие элементам па раллельного ряда, равна нулю. При п — 3 имеем
аі\Ад + аі2А/г + aiaAj3 = 0 при іф ] .
a\k-A\l Т~ a2k-^2l 4“ a3k-Â-3l — 0 при к ф I.
8°. Величина определителя не изменится, если к элементам любого его ряда прибавить элементы параллельного ряда, умножен ные на один и тот же множитель. Например,
а |
b |
a-pXb |
b |
с |
d |
сфХй |
d |
П о н я т и е о п р е д е л и т е л я л ю б о г о п о р я д к а (в простейшем изложении). Свойство определителя третьего по рядка, выраженное формулой (13), допускает обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого порядка. Так, если дана квадратная матрица 4-го порядка, то соответству
ющий ей |
определитель |
определяется |
равенством |
||
|
« и |
а 12 |
а 13 |
« ы |
|
D (A,) = |
« 2 1 |
« 2 2 |
« 2 3 |
« 2 4 |
*12^12 ’ «із^із Нац А и , |
« з і |
« 3 2 |
а зз |
« 4 1 |
а.12 |
а із |
«3 4
«4 4
где A ik — алгебраическое дополнение элемента aik.
Таким образом, определитель 4-го порядка выражен через определители 3-го порядка.
В общем случае определителем п-го порядка можно назвать сумму парных произведений элементов первой строки на соответ
ствующие им алгебраические дополнения: |
|
D (И„) = ап Аи + «12^12 + . • -Ф^щАхіг- |
(15) |
Заметим, что определители любого порядка п обладают всеми сформулированными выше свойствами 1°—8°.
П р и м е р . |
|
По формуле (15) при п — 5, а затем п = 4 последовательно |
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
4 |
0 0 |
0 |
3 1 |
0 |
||
1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
= 2 0 3 |
|
|
|||||||||
0 |
0 |
3 |
1 |
0 |
1 0 = 2 -4 0 1 |
1 =2 • 4 • 3 = 24. |
|||||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 0 |
1 1 |
0 0 1 |
||||
0 0 |
0 |
1 |
|||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
