Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П р и м е ч а н и е . Теорема 1 и вместе с нею рассмотренные ниже три теоремы имеют место при произвольном расположении векторов и оси в п р о с т р а н с т в е . Рисунки же к этим тео­ ремам выполнены при условии, что векторы и ось лежат в одной плоскости.

Теорема 2. Проекция вектора на числовую осъ равна разности координат проекций конца и начала вектора на эту осъ

 

 

 

 

 

прt AB = xBl—xAi,

 

 

 

 

(6)

где А {

и В х — проекции

соответственно

точек А и В на

осъ

I,

а хАх

и Хцх — координаты

этих

точек.

 

следует

непосредст­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Формула

(6)

венно из формул (3) и (4). Действительно,

прЛі? = А tB і = хв,

—

— хА).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3. Проекция геометрической суммы векторов на любую

 

 

 

 

 

 

 

осъ

равна

алгебраической

сумме

 

 

 

 

 

 

 

проекций

слагаемых на ту же осъ

 

 

 

 

 

 

 

пр/ К

+ а2 +

. . . 4- а„) = пр,а!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

пр,а, +

. . . -f np,a„.

 

(7)

80

 

В,

Вг

8п-;

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рас-

 

Вп% смотрим

 

п

векторов

а 4,

 

а 2,

 

 

 

Рис. 49.

 

= а 4 +

 

и

 

их

 

а =

 

 

 

 

 

 

 

а 2 +

• • • + а„.

Спроекти­

 

 

 

 

 

 

 

руем каждый

из этих векторов на

ось I и обозначим проекции концов этих

векторов соответственно

В о, В і ,

. . .,

Вп

(рис. 49),

а их

координаты — соответственно

х0,

x it . . .,

хп.

В силу

теоремы

2

имеем

пр aj — х±

— х0,

. . .,

пр ая =

— хп_

пр а — хп — х0.

Суммируя

первые

п

равенств, получим с помощью последнего равенства формулу

(7)

пр a! - f . . . + пр а„ = хп — х0 = пр а.

Теорема 4. Проекция произведения вектора на число на не которую осъ равна произведению этого числа на проекцию вектора на ту же осы

прг (Ха) = X пр, а.

(8)

Доказательство заключается в проверке формулы (8). Ее пра­ вую часть на основании теоремы 1 можно представить в виде произведения X пр а — X а cos (а, I). Левая часть формулы (8) может быть представлена в виде такого же произведения. Дейст­ вительно, при X 4> 0 имеем пр (Ха) =|X a|cos (Ха, I) — Ха cos(a,1), при X < 0 имеем пр (Ха) = | Ха | cos (Ха, Ï) — —Ха cos [л + (a,Z)J =

=Ха cos (а, I).

64.Координаты на плоскости. Система координат — это со­ вокупность условий, определяющих положения точек на прямой,

на плоскости или в пространстве с помощью чисел. Эти числа и называются координатами точек в рассматриваемой системе

координат. Чаще других применяются

две системы

координат

на плоскости — декартова и полярная.

координат на

плоскости

Декартова * прямоугольная система

определяется заданием двух взаимно перпендикулярных числовых

осей с общим началом и с общей линейной единицей. Оси

у п о ­

р я д о ч е н ы , т. е. указано, какая из осей считается

первой

(она называется осью абсцисс и обозначается Ох) и какая второй (ось ординат обозначается Оу). Точка пересечения осей О назы­ вается началом координат (рис. 50).

О п р е д е л е н и е . Пусть М — произвольная точка плоско­ сти, А я В — ее проекции соответственно на оси абсцисс и ординат.

Декартовыми координатами точки М

в заданной системе координат назы­

ваются проекции вектора ОМ на соответствующие координатные оси; при этом проекция на первую коор­ динатную ось называется абсциссой точки М и обозначается х, проек­ ция вектора на вторую координатную

ось называется

ординатой точки М

и обозначается

у:

X = пр0х ÖM, у = проу ОМ. (9)

Желая кратко указать, что точка М имеет асбциссу х и орди­ нату у , пользуются символом М (х, у).

П р и м е ч а н и е . Угол между координатными осями может быть от­ личным от прямого и тогда декартова система координат оказывается косо­ угольной. Однако в нашем курсе этот угол предполагается равным прямому, декартова система координат всегда прямоугольная.

Оси координат разделяют всю координатную плоскость на четыре части, называемые квадрантами. Знаки декартовых ко­ ординат точек в различных квандрантах указаны ниже.

X

У

I

II

III

IV

4-

—

—

+

!

+

—

—

1"

Между множеством точек плоскости и множеством упорядо­ ченных пар вещественных чисел {х, у} имеет место взаимно­

* Рене Декарт (1595—1650) — французский философ и математик.

8*

115

однозначное соответствие, что следует из определения декарто­ вой системы координат.

П о л я р н а я

с и с т е м а

координат определяется зада­

нием 1) точки О,

называемой

полюсом, 2) полуоси, исходящей

из точки О, имеющей определенное направление и линейную единицу; эта полуось называется полярной осью. Полярными ко­ ординатами точки М в рассматриваемой системе координат назы­ ваются полярный радиус г, т. е. расстояние между точками О и М , и полярный угол ф, т. е. угол, на который надо повернуть поляр­ ную ось против часовой стрелки до совпадения с лучом ОМ (см. рис. 50). Каждая точка плоскости, за исключением полюса, имеет определенный положительный полярный радиус г и опре­ деленный полярный угол* ф из промежутка —л < ф ^ я. Если точка совпадает с полюсом, то ее полярный радиус равен нулю,

аполярный угол не имеет определенного значения. Установим формулы связи между полярными и декартовыми

координатами. В некоторых случаях приходится пользоваться

водном исследовании декартовой и полярной системами координат.

Втаких случаях возникает задача: зная координаты произволь­ ной точки в одной системе координат, найти ее координаты в дру­ гой системе. Формулы связи между координатами имеют особенно простой вид при условии, что полюс полярной системы совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось совпа­

дает с положительной полуосью абсцисс, Для любой

точки М

на плоскости по теореме 1 п. 63 имеем

 

X = пр ОМ —ОА = гсо8ф, у —OB ~ г sin ц>.

(10)

Формулы (10) называются формулами перехода от полярных координат к декартовым.

Для получения формул обратного перехода из

(10) находим

r = l/z 2+ г/2, tg Ф = -|-.

(И)

Второе из равенств (11) недостаточно для

определения полярного

угла ф. Для определения величины ф

необходимо учитывать

знаки

величин х

и у. Например,

если х = у =

1, то

tg ф = 1

и ф =

я/4, если

же х = у = —1, то tg

ф =

1,

но

ф =

5я/4.

В

общем случае 0 ^ ф ^ л

при у ^

0 и

я

< ф < 2я

при

У< 0 .

65.Расстояние между двумя точками. Рассмотрим задачу:

найти

расстояние между двумя

данными

точками

А (хг, уг) и

В (х 2, у 2).

Обозначим искомое расстояние

буквой d.

Рассмотрим

вектор

AB

и

его проекции на

координатные оси.

По теореме

2 п. 63 имеем

(рис. 51)

 

 

 

 

про* AB = А1В1 = х2 — хг,

пр0і/ AB = А2В2 = у2 — уг.

* Иногда полярный угол определяется с точностью до слагаемого вида 2кп, где к— любое целое неотрицательное число.

Обозначим через АС и ВС величины направленных соответ­

ствующих отрезков АС и ВС осей х и у’, которые соответственно

параллельны осям і и

р

одинаково с ними направлены. Поэтому

АС = А гВх = х 2 — хг,

СВ = А 2В 2 = у 2 — уѵ По теореме Пи­

фагора

 

имеем

 

 

 

 

 

 

d2= (АС)2 + (СВ)2= (х2- Хі)2+ (у2 -

Уі)2.

Отсюда

следует

окончательный

 

результат

 

 

 

 

d = Ÿ (x 2 — хД2 + (у2-

^ ) 2, (12)

 

т. е. расстояние между двумя дан­

 

ными

точками равно

арифмети­

 

ческому

значению

корня квадрат­

 

ного из суммы квадратов разностей

Рис

одноименных координат.

В част-

ности, если одна из точек совпадает

 

с началом координат,

а другая имеет координаты х и у , то из (12)

следует

d = У х 2 4- у2.

 

 

66. Преобразование декартовых координат. Возможны три

случая.

Преобразование декартовых координат при п а р а л л е л ь ­

А.

 

н о м

п е р е н о с е

осей. Даны две системы

декартовых коор­

динат с соответственно параллельными и одинаково направлен­ ными осями и одинаковыми единицами измерения длин отрезков..

 

 

Одну

из

координатных систем назо­

 

 

вем старой,

пусть

это будет система

 

 

(х,

у).

Вторую систему (х',

у') на­

 

 

зовем

новой (рис. 52). Каждая точ­

 

 

ка

М

плоскости

имеет

свои

коор­

 

 

динаты:

в старой

системе это х и у,

 

 

в новой

системе — х' и у '. Коорди­

 

 

наты нового

начала О'

в старой си­

 

 

стеме

а

ш

b

будем считать задан­

 

 

ными.

 

 

 

установить зависи­

 

 

 

Требуется

 

 

мость

между

координатами

про­

 

 

извольной точки М плоскости в

(при

 

старой и новой системах координат

параллельном переносе

осей).

Для

этого

рассмотрим

три

вектора: ОМ, 0 0 ',

О'М,

связанные

соотношением

ОМ =

= 0 0' + О'М, которое

имеет

место

при

любом расположении

точек О, О' и М на плоскости. Проекции этих векторов на ось абсцисс суть

пр ОМ = X, пр 0 0' = а, пр 0 'М = х'\

Поэтому в

результате

проектирования

геометрической

суммы

ОМ на

ось

абсцисс в соответствии с теоремой 3 и. 63 получим

X а +

х'\

аналогично

получим

у =

Ъ + У . Формулы

 

 

 

х = а + х \ у

b ■у'

(13

называются формулами перехода от новых координат к старым при параллельном переносе осей и формулируются так: старая координата равна соответствующей новой координате, сложенной с координатой нового начала в старой системе.

Формулы перехода от старых координат к новым могут быть получены непосредственно из формул (13). Они имеют вид

xf = x — a, у’ = у — Ъ.

(14)

П р и м е р . Преобразуем уравнение параболы у — ах2 + Ъх + с к про­

стейшему виду. Для этого выделим полный квадрат в правой части данного

уравнения

Ь

\ 2

f

у = а # + Ъх+с = а [ х + —

) + с - —

и введем обозначения х0 = —6/2а; г/0 =

с — 62/4а.

В новой системе координат (с соответственно параллельными и одина­ ково направленными осями и с началом в точке х0, у 0 ) имеем х' = х — х0,

у ' =

у

—

у 0 . Уравнение данной параболы в новой системе координат примет

вид

у '

=

ах'2 (рис. 53).

 

Б.

Преобразование декартовых координат при п о в о р о т е

о с е й . Даны две декартовы системы координат — старая си­ стема (х, у) и новая система (х", у"), полученная из старой путем вращения ее вокруг начала координат против часовой стрелки на данный угол а (рис. 54).

Требуется установить зависимость между старыми х, у и но­ выми х", у" координатами любой точки М плоскости (при пово­ роте осей). Для этого введем полярные координаты точки М в ка­

Смотрите также файлы