ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 2
честве вспомогательных величин. Полюс выберем в точке О. Если полярную ось направить вдоль оси Ох, то получим полярную систему координат, в которой точка М будет иметь координаты г и ср. Если же полярную ось совместить с положительной полу осью Ох", то в новой полярной системе точка М будет иметь ко
ординаты г и ф". Величины ср, |
ф" и а связаны равенством |
ф = |
|||
= ф" + а. |
Зависимость |
между |
декартовыми и |
полярными |
ко |
ординатами |
выражается |
известными формулами |
(10) п. 64 |
||
Х = ГС08ф, у |
VSin ф, |
х" = ГCOS ф", 7/" = Г ЭІП ф". |
(15). |
||
Каждое из равенств (15) может быть преобразовано с помощью остальных формул (15):
X = г cos ф = г cos (ф" + а) = г cos ф" cos а — г sin ф" sin а =
—х" cos а — у" sin а,
у —г sin (ф" а) = г sin ф" cos а -f г cos ф" sin а =■=х" sin а л- у" cos а ,
х" = г cos (ф— а) —г cos ф cos а -f- г sin фsin а = х cos а -f- у sin а,
у”= г sin (ф— а) -- г sin фcos а — г cos фsin а = —a:sin а + У cos а.
Таким образом, получены формулы перехода от новых коор динат к старым
а; = тс" cos а — у" sin а, у = х" sin a у”cos а |
(16) |
и формулы перехода от старых координат к новым
х" ~ х cos а -j-т/ sin а, у" = —a:sin а -j- у cos а. |
(17) |
П р и м е р . Преобразуем уравнение гиперболы у = а/х путем поворота координатных осей на угол а = я/4.Формулы преобразования (16) в этом
случае будут х = (х " — у")/Ѵ2, у = (х" + у")/Ѵ2. Поэтому из данного уравнения следует (х" — у") (х " + у ")/2 = а и окончательно х"2 — у”2 = = 2а. Это и есть уравнение той же гиперболы относительно новых осей.
В. О б щ и й с л у ч а й преобразования декартовых коор динат. Даны: старая система координат (х, у), новая система ко ординат (х", у"), угол а между осями Ох и Ох", а и Ъ — коорди наты нового начала О' в старой системе. Рассмотрим произвольно выбранную точку М плоскости и обозначим через х и у ее коор динаты в старой системе и х" и у" — ее координаты в новой си стеме (см. рис. 55).
Требуется установить зависимость между координатами любой точки плоскости в старой и новой системах координат (в общем случае преобразования координат). Для этого введем вспомога тельную систему координат (х', у'), оси которой соответственно параллельны осям системы (х, у) и совпадают с ними по напра влению. Координаты точки М в этой системе обозначим х' и у' (рис. 55). Вспомогательные величины х ' и у’ связаны со старыми координатами х и у формулами (13) и (14). Новые координаты х"
и у" связаны с х и у' формулами (16) и (17), если в последних заменить х на х и у на у' (потому что в условиях случая Б мы имели X и у, а теперь х' и у'). Поэтому имеем
х' = |
.г" cos а — г/" sin а, |
у' — ж"sin а f у" cos а, |
(18) |
х" =-- |
х' cos а -f у' sin а, |
у" —х' sin а -f у' cos а, |
(19) |
Из формул (13) и (18) следуют формулы перехода от новых ко ординат к старым в общем случае преобразования декартовых координат
X = a -j-x" cos а — у" sin а, у = Ь + x''sin а + г/" cos а. |
(20) |
Из формул (14) и (19) следуют формулы перехода от старых ко ординат к новым в общем случае преобразования декартовых координат
з!' = (х — a) cos a -f- (у — b) sin а, |
|
у" = —(х — а) sin а -f (у — i)cosa. |
(21) |
67. Площадь треугольника. Требуется найти площадь тре угольника, зная координаты его вершин А (хг, уг), В {х г, у2),
С (х8, Уз).
Для решения задачи введем вспомогательную декартову си стему координат (х ' , у') (рис. 56), направление осей которой совпадает с направлением осей основной системы {х, у), а начало координат совпадает с точкой А. Тогда новые координаты точек
В и С в соответствии с формулами (14) будут |
|
|
х'в = х2 — х1, у'в = Уг — Уі, х'с = х3 — хи |
у'с = Уг — Уі- |
(22) |
Введем полярную систему координат с |
полюсом в точке А |
|
и полярной осью, совпадающей с положительной полуосью Ох'. Полярные и декартовые координаты точек В и С связаны соот ношениями
х'в = Гв cos фв, у’в = гв sin фв, х'с = гс cos фс, У с = гс sin фС. (23)
Из курса элементарной геометрии известна формула площади треугольника, которая в наших обозначениях имеет вид
F — ~Y rBrc sin I <pc — фв |. Здесь фс > ф в , если обход сторон
треугольника от И к В и далее к С происходит против часовой
стрелки, и |
тогда [ фс — фв I — фс — фв- |
Если |
же |
этот |
обход |
|||
происходит |
по часовой |
стрелке, то фс <Фв и |
| фс— фв | = |
|||||
= Фв —Фс- |
Поэтому |
формула |
площади |
треугольника |
может |
|||
быть представлена в |
виде |
|
|
|
|
|
||
|
F = ± Y гвгс sin (фс — фв) . |
|
|
(24). |
||||
если условиться выбрать |
в ней |
знак «+» |
при |
обходе от А к В |
||||
и далее к С против часовой стрелки, и знак «—» при обходе по часовой стрелке. Правая часть формулы (24) с помощью формул (22) и (23) может быть приведена к виду
F = ± - £ (rBcos фвгс sin фс — Гв sin фв rc cos фс) =
= ± — (xBy'c — xcyB) = ± y [ ( ® 2 — х і )(Уз — Уі) ~ (X3 — Х\ ){ У2 — ifi)].
Окончательный результат в удобной для запоминания форме может быть представлен с помощью определителя (см. п. 59)
второго |
или |
третьего |
порядков. Таким |
образом, |
получим |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
х2— хх |
х3 |
xl |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
хх |
х2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
F = )± т |
У2 |
Уі |
У» — Уі |
' ± |
2 |
Xg |
|
(25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі |
Уі |
Уз |
|
|
П р |
и |
м |
е р . |
Найти площадь |
треугольника |
А ( 1,2), |
В ( — 1,0), |
С (2, 3). |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
_2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е |
ш |
е |
н и е . |
F = |
± - 2 |
2 |
1 |
=0. Следовательно, |
данные точки ле- |
||||||
-2 |
1 |
||||||||||||||
жат на одной прямой и площадь треугольника равна нулю. |
|
|
|||||||||||||
Из формулы (25) следует, что для того чтобы три точки А(х±, |
г/х) |
||||||||||||||
F {х2, г/2)> F (х3, г/3) |
лежали на |
одной |
прямой, необходимо |
и |
до |
||||||||||
статочно, |
чтобы выполнялось |
условие |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хх |
х2 х3 = 0. |
|
|
|
|
|
(26) |
||
|
|
|
|
|
|
Уі |
Уі |
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
§1 1 . УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
Идея соответствия между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными состоит в том, что каждому уравнению с двумя переменными, вообще говоря, соответствует на плоскости
некоторая линия и, обратно, плоской линии можно |
поставить |
в соответствие некоторое уравнение. Здесь речь идет |
о прямом |
и обратном соответствии между двумя множествами. Поэтому ниже рассмотрены две стороны этого вопроса.
68. Геометрическое значение уравнения с двумя |
переменными. |
||
Рассмотрим уравнение |
с двумя |
переменными х и |
у |
|
ф(*. |
2/) = 0, |
(1) |
где ф (х, у) — функция |
двух независимых переменных, опреде |
||
ленная на всей плоскости. Любое уравнение с двумя переменными можно привести к виду (1) путем переноса всех его членов в ле вую часть.
Замечательная идея Декарта состоит в том, чтобы считать переменные х и у в уравнении (1) координатами точек на плоско сти. Выберем на плоскости какую-либо декартову систему ко
ординат. Поставим вопрос: к а к о в |
о |
м н о ж е с т в о |
т о ч е к |
|
п л о с к о с т и , |
к о о р д и н а т ы |
к о т о р ы х в в ы б р а н |
||
н о й с и с т е м е |
к о о р д и н а т |
у д о в л е т в о р я ю т |
||
у р а в н е н и ю (1), т. е. обращают |
равенство (1). в |
численное |
||
равенство в результате подстановки вместо х и у координат со ответствующих точек.
В некоторых случаях ответ на этот вопрос очевиден. Например, уравнению х — у = 0 удовлетворяют координаты всех точек биссектрисы первого и третьего координатных углов. Уравнению X + у = 0 удовлетворяют координаты всех точек биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Уравнению х 2 — у2 =
= |
0 |
соответствуют обе упомянутые |
биссектрисы. Уравнению |
|||
X2 |
+ |
у 2 = 0 удовлетворяют |
координаты |
лишь одной точки х = |
||
= |
у = 0. |
Уравнению х2 + |
у2 — 4 = |
0 |
удовлетворяют коорди |
|
наты |
всех |
точек окружности радиусом 2 с центром в начале ко |
||||
ординат. Координаты ни одной точки плоскости не удовлетворяют уравнению х 2 4- у г -j- 4 = 0.
В общем случае для уравнения (1) ответ на поставленный во прос таков: каждое уравнение с двумя переменными определяет, вообще говоря, на плоскости в выбранной системе координат не которую линию, а именно геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Именно в этом и состоит геометрическое значение уравнения с двумя
переменными. |
|
1. |
Оборот речи «уравнение |
(1) о п р е д е |
П р и м е ч а н и е |
||||
л я е т линию L » следует понимать в том смысле, что уравнению (1) |
||||
соответствует |
линия |
L. |
Геометрическим местом |
точек, обла |
П р и м е ч а н и е |
2. |
|||
дающих данным свойством С, называется все множество точек, каждая из которых обладает этим свойством. Например, геомет рическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, есть окружность, но не полуокружность. В приведенной выше общей формулировке свойство С состоит в том, что координаты
