Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

точек удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, линия L, определяемая уравнением (1), есть все множество точек плоскости,

что относящееся к этому выражению слово «определяет» допускает исключения. Наипример, уравнению х2 + у 2 + 4 -- 0 не со­ ответствует на плоскости никакой геометрический образ, потому что не существует вещественных чисел х и у, удовлетворяющих этому уравнению.

Упомянутая идея Декарта позволяет геометрически интер­

координаты точек пересечения прямой, определяемой уравнением- X — у = 0, и окружности, соответствующей уравнению ха + у2 = = 4. Геометрически ясно, что задача имеет два решения.

69. Понятие уравнения линии. Понятие уравнения линии является основным в аналитической геометрии.

О п р е д е л е н и е . У р а в н е н и е м д а н н о й л и н и и на плоскости в выбранной системе координат называется такоеуравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют ко­ ординаты каждой точки данной линии и только они:

Здесь речь идет о соответствии — линии соответствует урав­ нение вида (2). Именно в этом смысле следует понимать выражение

координатами переменной точки, поэтому их называют текущими координатами.

Пусть дана линия L, т. е. задано некоторое свойство С, ко­ торым обладают все точки линии L и только они. Выберем лю­ бую систему координат (х, у). Рассмотрим какую-нибудь фикси­ рованную точку М х линии L и обозначим ее координаты в вы­ бранной системе хг и уѵ Если выразить аналитически тот факт,, что точка М х обладает свойством С, то придем к некоторой зави­ симости между координатами этой точки ф(х15 ух) = 0. Всякая другая точка М(х, у) линии L обладает тем же свойством С и по­ этому ее координаты связаны той же зависимостью, и равенство

выполнено для координат каждой точки линии L. Вместе с тем любая точка, не принадлежащая линии L, свойством С не обла­ дает, и поэтому ее координаты уравнению (3) не удовлетворяют. Уравнение (3) есть уравнение данной линии L в выбранной си­ стеме координдт.

Понятие уравнения линии позволяет свести геометрические задачи к алгебраическим. Например, задача нахождения точек пересечения двух линий, представленных уравнениями х — у = О

геометрические место точек плоскости, равноудаленных от дан­ ной точки, называемой центром окружности. Свойство С, опре­ деляющее окружность, состоит в постоянстве расстояний между центром М 0 и произвольной точкой М окружности: d (М0, М) =

У (х — х0)2 +(г/ — у0)2 = R и после возведения в квадрат имеем окончательно

Это и есть уравнение данной окружности в декартовых ко­ ординатах. Действительно, уравнению (4) удовлетворяют коорди­ наты любой точки окружности и только они, потому что равенство

(4) является аналитическим выражением условия С.

В частности, если центр окружности совпадает с началом ко­ ординат, то уравнение окружности имеет вид х 2 + у 2 = R 2.

г= 2R cos ф.

Взаключение сформулируем две основные задачи аналитиче­ ской геометрии. Дана линия. Требуется 1) составить ее уравнение,

2)выяснить геометрические свойства линии путем исследования ее уравнения.

70.Алгебраическая линия и ее порядок. Линия называется алгебраиче­ ской, если ее можно изобразить в декартовой системе координат уравнением

вида

где Рп (ж, у) — многочлен степени п относительно ж и у, и нельзя изобразить

алгебраическая кривая второго порядка, потому что левая часть уравнения

(4) есть многочлен второй степени относительно ж и у. Прямая есть алгебраи­ ческая линия первого порядка, потому что всякую прямую можно изобразить уравнением первой степени относительно ж и у (см. п. 71). Линия, определя­ емая уравнением In ж + In у = Іи С, алгебраическая, потому что это уравне­ ние можно привести к виду (5). Действительно, из данного уравнения сле­ дует жу = С.

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной линией. Например, линии, определяемые уравнениями у = Іи ж и у = sin ж, суть трансцендентные кривые.

Теорема. Порядок алгебраической кривой не зависит от выбора декарто­ вой системы координат.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть данная алгебраическая кривая изобра­ жается уравнением (5) в выбранной системе координат (ж, у). При переходе к другой декартовой системе координат (ж', у') в уравнении (5) следует заме­ нить величины х и у их выражениями через х' и у', которые, как известно (см. п. 66), носят линейный характер. Поэтому в результате перехода к новой системе координат получим уравнение Рп, (ж', у') = 0, в левой части кото­

порядка алгебраической кривой в выбранной системе координат. Теорема позволяет ввести единое понятие порядка алгебраической кривой незави­ симо от выбора системы координат.

§12. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

71.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости задана некоторая прямая. Углом наклона ф прямой называется наименьший положительный угол, на который надо

повернуть против часовой стрелки ось абсцисс вокруг начала коор­ динат, чтобы она стала параллель­

наклона прямой принадлежит про­ межутку 0 ^ ф < я .

ления следует, что 1) величина к может принимать любые ве­ щественные значения; 2) прямая, параллельная оси ординат, не имеет углового коэффициента, потому что такая прямая имеет

л

угол наклона ф = —, тангенс которого не выражается числом;

£і

3) всякая прямая, не перпендикулярная оси абсцисс, имеет единственный угловой коэффициент, потому что ее углу наклона

Здесь дана величина отрезка, отсекаемого прямой на оси аб­ сцисс от начала координат (рис. 59). Задача имеет единственное решение. Уравнение искомой прямой имеет вид

что непосредственно следует из условий задачи и понятия урав- , нения линии (см. и. 69).

Уравнения (2) и (3) являются уравнениями первой степени относительно декартовых координат х и у. Отсюда следует утвер­ ждение.

Теорема 1. Всякая прямая изображается уравнением первой степени относительно декартовых координат переменной точки

и у определяет на плоскости в данной системе координат прямую линию.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Вспомним, что линией, соответству­ ющей данному уравнению, называется геометрическое место то­ чек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Надо доказать, что уравнению (4) соответствует именно прямая линия.

Возможны только два случая: В — 0 и 5 0. В случае В ф 0 из уравнения (4) следует что у = —AxJB — С]В\ это уравнение вида (2), оно определяет прямую, имеющую угловой коэффициент

вида (3), оно определяет прямую, перпендикулярную оси абсцисс. В обоих случаях уравнение (4) определяет прямую. Теорема доказана.

Вместе с тем установлено, что уравнением (4) можно изобра­ зить любую прямую. Уравнение (4) называется общим уравне­ нием прямой.

Рассмотрим три частных случая общего уравнения прямой.

1. С = 0. Уравнение (4) принимает вид Ах + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат. Это следует из того, что коор­ динаты начала удовлетворяют уравнению.