ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 2
2. В = О, А Ф 0. Уравнение (4) принимает вид Ах + С — 0 и опреде
ляет прямую, параллельную оси Оу. Действительно, уравнение можно при
вести к виду X = |
а, |
где а -= —С/А. В частности, при С = 0 имеем уравнение |
|
оси ординат |
X = |
0. |
|
3. А = |
О, В ф |
0. Уравнение (4) принимает вид Бу + С — 0 и опреде |
|
ляет прямую, параллельную оси Ох. Действительно, это уравнение можно
привести к виду у = |
Ъ, |
где Ъ= |
—С/В. |
Это уравнение вида (2), где к = О |
и <р = 0. В частности, если С = |
0, то прямая совпадает с осью Ох. Следова |
|||
тельно, уравнение у |
= |
0 определяет ось |
абсцисс. |
|
73. Уравнение пучка прямых. Выведем уравнение прямой,, проходящей через данную точку М х (хх, ух) и имеющую данный угловой коэффициент к.
Ответ ищем в форме уравнения с угловым коэффициентом (2). Здесь неизвестна только величина Ь, потому что к — данная величина, а текущие координаты х и у не являются неизвестными и войдут в окончательный ответ. Для нахождения величины Ъ напишем условие прохождения прямой через точку М, т. е. подставим координаты точки М хвместо текущих координат в урав
нение (2). Получим равенство |
у х = |
кхх + Ъ, из которого следует, |
||||
что |
b = ух — кхх. Найденное значение b подставим в уравнение |
|||||
(2), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
у - У і = к(х~ -х1) |
|
(5) |
||
— уравнение прямой, |
проходящей |
через |
данную точку |
М х |
||
в данном направлении |
ср, |
определяемом |
равенством tg |
<р = |
||
=к.
Вуравнении (5) постоянная к может быть любым веществен
ным числом. Если в уравнении (5) величину к считать параметром, произвольным вещественным числом, то получим уравнение множества прямых, проходящих через точку М ѵ Такое семей ство прямых называется пучком прямых, а уравнение (5) может
быть названо уравнением пучка прямых с центром в точке |
М ѵ |
||||||
Заметим, |
что |
прямая, определяемая |
уравнением |
х = |
х х, |
пер |
|
пендикулярна |
оси |
абсцисс и входит |
в состав |
пучка |
прямых |
||
с центром в точке |
М х, но не изображается уравнением |
вида (5) |
|||||
ни при |
каком |
значении к. |
|
|
|
|
|
74. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Составим уравнение прямой, проходящей через две данные точки
М\ (жх, |
уг) и М 2 (ж2, у 2). |
Возможны только два случая: |
хх = |
|
= х 2 и |
хх Ф х г. Если хх = |
х 2, то прямая |
перпендикулярна |
оси |
абсцисс и ее уравнение есть х = хѵ |
единственное решение. |
|||
Если |
хх Ф х 2, то задача тоже имеет |
|||
Составим уравнение пучка прямых с центром в одной из данных точек, например М х. В уравнении (5) неизвестна только величина к. Для ее определения напишем условие прохождения прямой через точку М 2, т. е, подставим в уравнение (5) координаты точки
М |
2 вместо текущих координат; получим равенство |
у 2 — Уі ~ |
— |
к (х2 — х х), из которого следует, что |
|
|
Ær_ Уг—Уі |
(6) |
|
хі — х1 |
Эта формула определяет угловой коэффициент прямой, про ходящей через точки М г и М 2 при условии х 1 ф х 2. Если под ставить найденное значение к в уравнение (5), то получим окон чательный ответ, и его можно записать в форме пропорции
У У1 __ |
^ 3-1 |
/п\. |
У2—Уі ~ |
z 2 —хх |
' > |
Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две данные
точки Мг и М 2 при условии х, Ф х 2. В случае |
х, Ф х 2 и у, = |
|||||||
=- у 2 |
искомая |
прямая |
парал |
|
|
|||
лельна |
оси |
абсцисс, |
ее |
уравне |
|
|
||
ние у = Уі следует из уравнения |
|
|
||||||
(5) при к = 0, что соответствует |
|
|
||||||
формуле (6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 1 Составить уравнение |
|
|
||||||
прямой, проходящей через две дан |
|
|
||||||
ные точки М х (а, 0) и М 2 (0,Ъ), |
находя |
|
|
|||||
щиеся на осях координат, при условии |
|
|
||||||
ab Ф 0. |
Величины |
а и b имеют такой |
|
|
||||
геометрический |
смысл — это |
в е л и |
|
|
||||
ч и н ы |
о т р е з к о в , |
отсекаемых |
|
|
||||
данной |
прямой |
на |
осях |
координат |
от |
|
|
|
начала |
координат. |
|
|
|
|
0 , х 2 — 0 , у 2 = |
Ьи приведем его |
|
Положим в равенстве (7) х 1 — а, у х = |
||||||||
к виду |
|
|
|
|
_£ I_У_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
( 8) |
||
|
|
|
|
|
а ‘ |
b = |
||
Имеем так называемое уравнение прямой в отрезках на осях. Здесь х и у — текущие координаты, а и Ъ — величины отрезков на осях. Этот вид уравнения удобен для построения прямой.
П р и м е р 2. |
Чтобы построить прямую, определяемую |
уравнением |
||
2х — 3у — 6 = 0, преобразуем его к виду 2х — Зу = |
6 и путем деления на |
|||
правую часть получим уравнение в отрезках на осях |
X |
V |
= 1. Следо- |
|
вательно, а = 3, |
b = —2. |
о |
|
|
|
|
|
||
75. Угол между двумя прямыми. Найдем угол между пря мыми, заданными уравнениями
у = кххф Ъ х (I) и у = к2х + Ъ2 (II). |
(9) |
Если прямые пересекаются, то они образуют две пары равных углов. Обозначим один из углов через Ѳ (рис. 60). Тогда по тео реме о внешнем угле треугольника имеем ср2 = срх + Ѳ, где срх — угол наклона прямой (I), имеющей угловой коэффициент к х,
а ф2—угол наклона прямой (II). ЕслиѲ^-^-, то тангенс угла Ѳнай
дем по формуле для тангенса разности углов. Положив tg срх = к х, tg ф2 — к 2, получим
t g Ѳ = tg (ф2 — фг) = |
tg Фа — ф! |
h - h |
||
1 + tg фі tg ф2 |
l+M '2 ‘ |
|||
Следовательно, |
|
|||
ki — к2 |
|
|||
tg ѳ |
(10) |
|||
1 |
k\k2 |
|||
|
|
|||
Формула (10) определяет тангенс того угла, который образован вращением против часовой стрелки прямой с угловым коэффи циентом к 1 (вокруг точки пересечения прямых) до совмещения со второй прямой. Тангенс смежного угла равен tg (я — Ѳ) =
=— tg Ѳ.
Рассмотрим условие параллельности прямых. Если прямые
параллельны или |
совпадают, |
то |
равны |
углы |
наклона |
прямых, |
|||||||
а следовательно, |
равны и |
тангенсы этих |
углов |
(здесь |
ф! и ф2 |
||||||||
отличны |
от я/2, потому что прямые изображаются уравнениями |
||||||||||||
с угловыми коэффициентами). Следовательно, |
к± = |
к 2. |
|||||||||||
Если |
кх — |
к2, |
то |
tg |
фх = |
tg |
ф2. |
Следовательно, |
фх = ф2, |
||||
так |
как |
0 sg ф < |
я, |
и прямые параллельны |
или совпадают. |
||||||||
Итак, |
доказано, |
что |
равенство |
угловых |
коэффициентов |
||||||||
|
|
|
|
|
|
kx = k2 |
|
|
|
|
(11) |
||
есть |
условие |
необходимое |
и |
достаточное для |
параллельности |
||||||||
(или совпадения) прямых, не перпендикулярных оси абсцисс.
Рассмотрим условие перпендикулярности прямых. Если пря-
ЗТ |
то зависимость между к1 |
мые перпендикулярны, т. е. Ѳ = — , |
|
и к2 найдем с помощью равенства |
ЗТ |
ф2 = фх + — . Получим |
к2 = tg ф2 = tg (Фі + я/2) = — ctg фі = — 1/к^
Следовательно, угловые коэффициенты перпендикулярных пря мых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:
к2 = —1 /кх и к1к2 = —1. |
(12) |
Если выполнено условие (12), то tg фг tg ф2 = —1. Следо вательно, cos (ф2 — ф1) = 0 и Ѳ = ф2 — Фх = я/2.
Итак, условие (12) есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.
П р и м е ч а н и е . Из условий задачи непосредственно не видно пере секаются прямые (I) и (II) пли нет. Поэтому можно попытаться найти tg Ѳ по формуле (10). Если при этом окажется, что числитель правой части равен нулю,'то прямые параллельны (или совпадают), так как выполнено условие (11). Если же окажется, что знаменатель правой части формулы (10) равен нулю, то прямые перпендикулярны, так как выполнено условие (12). В осталь ных случаях прямые пересекаются не под прямым углом; формула (10) дает величину тангенса одного из углов между прямыми.
Найдем угол между прямыми, заданными общими уравнениями
Atx 1 Вху -f |
Сх= |
О (I) и |
.Іи,г В.,у |
Г., -О (II). |
В случае В1В 2 ^=0 |
эта |
задача |
сводится |
к предыдущей задаче, |
потому что из данных уравнений можно найти угловые коэффи циенты прямых
* 1 = - ^ г и * « = - 1 1 |
(13) |
и воспользоваться формулами (10) —(12). Угол между пересе кающимися прямыми найдем по формуле (10), заменив и к 2 по формулам (13). Таким образом, получим
|
|
|
t e r |
f l |
— |
^ 1 ^ 2 |
— А В \ |
|
|
(14) |
|
|
|
g |
|
|
А 1А 2+ в 1В2 |
|
|
|
|
Условие |
параллельности |
(или совпадения) прямых следует из |
||||||||
(И) |
и (13), и его можно |
записать в виде |
равенства |
|
||||||
|
|
|
|
|
А & ^ А ъ В г. |
|
|
(15) |
||
Условие |
перпендикулярности прямых следует из |
равенств |
(12) |
|||||||
и (13) и |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
(16) |
и 4 х |
П р и м е р 1. |
Прямые, |
определяемые уравнениями |
2х + Зу + |
С = 0 |
|||||
+ бу -f- D = |
0, параллельны или совпадают, так как выполнено усло |
|||||||||
вие |
(15). |
|
Прямые 2х + |
Зу + |
С = 0 и |
Ъх — 2у -f- D — 0 взаимно |
||||
|
П р и м е р 2. |
|||||||||
перпендикулярны, |
так как |
выполнено |
условие |
(16). |
|
|
||||
76. Задача о взаимном расположении двух прямых. Пусть прямые заданы общими уравнениями (I) и (II). Выясним, имеют ли прямые общие точки, сколько их и где они находятся.
Логически возможны только три случая — либо данные пря мые не имеют общих точек (т. е. прямые параллельны), либо имеют только одну общую точку (т. е. прямые пересекаются), либо они имеют более одной общей точки (т. е. прямые совпадают всеми своими точками). Требуется установить соотношения между коэффициентами данных уравнений в этих случаях.
Исследуем для этого систему уравнений
А хх -j- Вуу |
Сі = |
0, |
А2х -j- В 2У -Ь С2 = 0. |
(1/) |
|||
Рассмотрим матрицу |
коэффициентов |
и свободных членов си- |
|||||
/ АіВіСЛ |
и составим |
три |
определителя |
второго |
порядка: |
||
стемы |
|||||||
\А2В 2С2/ |
в |
|
|
Сі |
|
|
|
А |
|
А |
|
А А |
|
||
А |
в, |
|
В2 с2 • |
*-*2~~~ |
с% А |
|
|
