Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 148

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

По условию переменная ѵ стремится к с, поэтому переменная

сѵ имеет предел

lim сѵ — с2, больший нуля.

Таким образом,

числу е = — с2

0

соответствует такое ô > 0 ,

что

при

0 < |х — а) <Сô выполнено соотношение 0 < с 2 — г <ісѵ <

с2 + е.

I

 

Отсюда следует, что 0 <

1

2

и пере­

Имеем 0 < —с <Ссѵ.

—

< —

менная — ограничена.

СѴ

Правая часть равенства (11) представляет произведение беско-

нечно малой ас — ß b на ограниченную — и поэтому есть величина

бесконечно малая. Отсюда прямо следует заключение теоремы.

П р и м е р 1. Вычислить lim

З х - і- 5

------ - . По формулам (10), (9) и (7) последо-

X-►1

4х I

вательно получаем

 

 

 

 

Зж —р- о

lim (3x + 5)

ЗІітаг + 5

__ 8

х->-і__________ ___

х - > і

4х —2

1іт(4х —2)

4 lim г —2

~

2 ~ '

 

Х-+1

 

 

 

 

х2_4

 

 

применить формулу

П р и м е р 2. Вычислить lim ------ —. Здесь нельзя

 

х -*2 х 2

 

 

 

(10), так как предел знаменателя равен нулю. Поэтому до перехода к пределу произведем сокращение дроби на общий множитель х — 2; получим

 

lim

X2 —4

lim

(*— 2) (s+2)

__

lim (х + 2) = 4.

 

х->і

X — 2

хч-2

 

х

2

 

х-*-2

 

 

Теорема

4.

В неравенстве, обе части которого имеют пределы,

можно перейти к пределу, присоединив знак равенства.

Дано: 1) в некоторой окрестности точки а (за исключением,

может

быть,

самой

точки

а)

функции

и (х)

и

ѵ (х) определены

и удовлетворяют соотношению и (х)

]>

ѵ (х),

2) существуют пре­

делы

этих функций

Ъ =

lim и (х) и с =

lim

ѵ (х).

Доказать,

что b ^ с.

х-+а

 

 

 

 

х~+а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассуждая от противного, предполо­

жим.

что

b < с .

Переменная

и

(х) — v

(х)

имеет предел

lim [и (х) —

v (ж)] =

Ъ — с меньший

нуля,

так

как b < с . Сог

X

-+ а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ласно лемме в некоторой окрестности точки а выполняются неравенства и (х) — ѵ (х) < 0 и ц (х) < ѵ (х), что противоречит усло­ вию теоремы. Следовательно, b s» с.

1 1

П р и м е р 3. Переменные 3 -f- — и 3 -----— удовлетворяют соотноше-

равны.

Теорема 5 (о сжатой переменной). Если две переменные стре­ мятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заклю­

чена между ними, то и она стремится к этому же пределу.

 

 

Дано: 1) в некоторой окрестности X

точки а функции и (х),

V (X) и

w (X) определены и удовлетворяют соотношению

и (х)

=

V (х) =5 w (х),

2) существуют

и

равны

пределы

lim

и (х)

= lim

w (X) =

Ъ.

 

 

 

 

 

х-*-а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х~*-а

 

что

существует

lim

ѵ (х)

и что

lim v (х)

=

Ъ.

Доказать,

 

 

 

 

х-+а

 

е )>0.

х-*-а

 

суще­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Фиксируем

Из

факта

ствования пределов переменных и ш w следует, что 1) существует окрестность Х г точки а, в которой (при х Ф а) выполняется нера­

С

венство

Ъ — е

< и <

Ъ + 8,

2) существует окрестность Х 2точки

 

 

а,

в которой

(при х Ф

а)

имеем

 

Ь — в < « ’ •<& +

е-

 

 

 

 

 

Отсюда

следует

согласно пер­

 

вому условию

теоремы, что если

 

X Ç Х гХ й и X Ф а, то Ь — е <

 

I v — Ь I < 8 .

 

+ 8,

а

также

 

 

доказано,

что

 

для

Таким

образом,

 

любого е )> 0

существует

со­

 

ответствующая

окрестность Х гХ 2

 

точки а такая, что выполняется не­

 

равенство

I

г; —

b I <

8,

если

X £ Х гХ 2 и X Ф а. Следовательно,

число

b есть предел ѵ (х) при

стремлении х к а.

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Один важный предел. Установим следующее

равенство:

1іт ДІЕ±= і.

 

 

 

 

(12)

Х-+0

Х

 

 

 

 

 

 

 

Прежде всего выведем при условии 0 <с.х < 4 -

тригонометри-

ческое неравенство

 

 

 

2

 

 

 

 

X < tgar.

 

 

 

 

 

 

sin а; <

 

 

 

 

(13)

Для этого рассмотрим (рис. 13) дугу AB окружности радиусом г, хорду A B и отрезок АС касательной к окружности в точке А. Из построения следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади треугольника АОС. Поэтому, если под х понимать дуговую меру

угла АОВ при условии 0 <^х < у , то имеет место соотношение

Y r2s mx < Y r x < Y r

j

и по сокращении на — г2 получим неравенство (13).

Из соотношения (13) следуют неравенства 1 < -----

■<----- и

sin X

cos х

 

 

 

 

 

 

л ^

 

sin X ^

cos X,

 

 

 

 

/л ,ѵ

 

 

 

 

 

 

1 >

—-— >

 

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

л

. I

 

Sin*

.

 

 

 

% g* X

л

х,

а также соотношение 0 <

1 ---------<

1 — cos х — 2 sm2 — <

2 -г-=

 

 

 

X

 

 

X

X

X

 

 

 

 

 

 

Z

Z

 

так

 

 

 

 

 

. Согласно теореме о сжатой пе-

как sin — <( 1

ив і п —

 

 

Z

 

 

„

и

 

 

Z

 

 

п ^ .

sinx

^

 

 

 

 

 

 

из

неравенства

 

х

следует,

что

ременной

 

0 - < 1 ----- -— <

 

/ .

sin x

\

„

 

,

 

п

т.

е.

 

 

sinx

 

.

 

 

 

( 1----------->- 0

при

X -> + О,

 

lim --------- =

1.

 

 

 

\

х

/

 

 

 

 

X

 

ЛГ-+0

х

 

 

 

 

 

Если ж < 0 ,

 

 

S i n

S ill (

-

где

 

—а: > 0

и по до­

то имеем —-— = —

 

—- ,

 

казанному lim

81- ж■= 1. Отсюда следует формула

(12).

 

 

17.

 

х— о

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число е. Натуральные логарифмы. В высшей математике

встречается введенное еще в

 

XVII

в. число, которое обозначается

буквой

е.

Число

это

можно

определить

как

предел

функции

/ (х)

=

(1 + х)1/х при стремлении х к нулю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е = lim (1 -f- х)ІІХ.

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

Х-*0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предполагается, что х =/=0 ш х Ф —1, так как функция / (х) не определена при этих значениях аргумента. Факт существования этого предела мы примем без доказательства.

Если в равенстве (15) положить х = — (при стремлении х

к нулю переменная у стремится к бесконечности), а затем вер­ нуться к прежнему обозначению независимой переменной (обозна­ чив через X величину у), то получим

е — lim

( 1 + - j V .

(16)

В частности, если функция ^1 +

рассматривается только на

множестве натуральных чисел, то из (16) следует, что

 

е ~ lim

( l + i - Y 1.

(17)

f l - * СО

’

п '

 

Постоянное число е иррационально и приблизительно равно 2,7182818284...

Н а т у р а л ь н ы е л о г а р и ф м ы . Число е принято за основание системы логарифмов, называемых натуральными. Нату­ ральный логарифм X обозначается символом In х. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами. Для этого,

логарифмируя по основанию е тождество х = а]оеах , получим равенство In х — ln a-log0 х. При х = е это равенство дает

1

logaе (18)

In а

При а — 10 то же равенство дает In х — In 10 - lg х и

l g x ^ M \ n x ,

где М =

1

!lg е.

(19)

In 10

Формула (19) связывает натуральные и десятичные логарифмы и показывает, что эти логарифмы прямо пропорциональны один другому. На рис. 14 изображены графики логарифмических функ­ ций при основании 10 и е. Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным: М — lg е ^ 0,43429,

М = In 10

2,30258.

Пр и ме р .

In 2 -2- lg 2.

 

М

2,30258 • 0,30103 ; 0,69315.

18.Задача. Пусть некоторое вещество, начальная концен­

трация которого равна с0, вступает в химическую реакцию. Со временем концентрация этого вещества убывает; обозначим через с (t) его концентрацию в момент времени t, отсчитываемый от начала реакции. Требуется найти величину с (t) при условии, что концентрация изменяется со скоростью (обозначим эту ско­

рость через с'), пропорциональной с (t),

т. е. при условии

с’ — — кс (<),

(20)

где к — данное положительное число. Равенство (20) есть пример так называемого дифференциального уравнения (см. гл. XIII).

Р е ш е н и е . Фиксируем любое положительное t и разбиваем мысленно промежуток времени от 0 до t на п элементарных частей,

каждый длительностью

Предположим, что в каждой такой части

концентрация меняется

с постоянной скоростью, равной своему

значению в начале соответствующей части. Согласно этому пред­ положению величина с' изменяется скачками в начале каждого элементарного промежутка.

Вычислим при этом предположении концентрацию, которую будет иметь вещество к концу каждого элементарногоЧіромежутка.

В первом промежутке от £0 = 0 до Ч = ~ скорость с' постоянна

и равна — кс0; к концу этого

промежутка концентрация будет

равна сг = с0 — кс0-^- = с 0 / і —

К концу второго промежутка

Смотрите также файлы