Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Перестановкой символов (в нашем случае чисел 1, 2, . . и) называется всякое упорядоченное множество этих символов (см. п. 58). Совокупность вторых индексов элементов матрицы в произ­ ведении (3) р г, р 2, . . рп образует перестановку чисел 1, 2, . . п. Беспорядком в перестановке р х, р 2, . . ., р п называется тот факт,

что большее

число

предшествует

меньшему. Число беспорядков

в этой перестановке

обозначим

символом

[plt

р 2, . . р п]. На­

пример, [1,

2, 3] =

0, [2, 1, 3]

=

1, [2, 3,

1] =

2. Перестановка

называется четной, если она содержит четное число беспорядков, нечетной — в противном случае.

Рассмотрим всевозможные произведения вида(З), какие можно составить из элементов данной матрицы (2), и припишем каждому

такому произведению знак (—1)[Рі’ ' ' '• Pnl .

О п р е д е л е н и е . Определителем п-го порядка, соответ­ ствующим матрице (2), называется сумма всевозможных произ­ ведений описанного выше вида и обозначается символом

 

« 1 1

« 1 2

•

•

« ш

 

 

/>(•!)

&21

^ 2 2

*

■

« 2 п

 

• - Р П ]

 

 

 

 

 

 

« 1 Р і « 2 р 2 • а п р п

 

« щ

ССП2 •

*

&пп

( Р і •

• Рп)

 

 

 

Здесь суммирование распространяется на всевозможные пере­ становки вторых индексов. Поэтому число слагаемых в сумме (4) равно п\

Заметим, что это определение содержит, в частности, понятия определителя второго и третьего порядков (см. п. 59).

246.Свойство перестановок. Транспозицией называется опера­

ция, заключающаяся во взаимном перемещении двух элементов в данной перестановке при сохранении остальных элементов на своих местах. Очевидно, из данной перестановки можно получить всякую другую перестановку, состоящую из тех же элементов, путем выполнения нескольких транспозиций. Например, из перестановки 3, 2, 1 путем транспозиций последовательно полу­ чим 1, 2, 3 и далее 1, 3, 2.

Лемма. Транспозиция меняет число беспорядков в перестановке на нечетное число.

Другими словами, в результате одной транспозиции нечетная перестановка становится четной, а четная — нечетной.

Для доказательства рассмотрим перестановку

Р і , ■■-, P i ’ ■■■’ P i ’ ■■■’ Р п (1 «S i < 7 s? n).

Поменяем местами числа p t и pj. Это можно выполнить с помощью одной транспозиции, либо путем последовательного выполнения следующих элементарных транспозиций: 1) p f- меняется местами последовательно с элементами Pj _ и затем р;_ 2>• . -, Рі, число

которых

равно / — і,

2) затем p t меняется

местами

последова­

тельно

с элементами

перестановки pt + х,

pt + 2, .

Р/ _ х,

число которых равно / — і — 1. Всего будет выполнено 2,- — 2і — 1 элементарных шагов. При каждом шаге, когда выполняется перемена мест рядом стоящих элементов перестановки, мы либо вводим один беспорядок в перестановку, либо устраняем один беспорядок. Поэтому общее число изменений беспорядков в пере­ становке равно 2 (/ — і) — 1 и есть число нечетное. Лемма до­ казана.

247. Основные свойства определителей. Пусть дана матрица А. Матрица А*, образованная из А путем замены ее строк соответ­ ствующими столбцами (тем самым столбцы А заменятся соответ­ ствующими строками), называется транспонированной матрицей по отношению к А. Поэтому, если А = || аік ||? и А* = || a*hЦ^, то.

1°. Определитель транспонированной матрицы равен опре­ делителю исходной матрицы. Другими словами, величина опре­ делителя не меняется при замене его строк соответствующими столбцами.* Это так называемое свойство равноправности строк и столбцов в определителе.

Для доказательства рассмотрим любой (общий) член суммы (4). Если в нем упорядочить (в порядке возрастания) вторые индексы сомножителей путем перемещения сомножителей в рассматрива­ емом произведении, то в результате изменится порядок первых индексов, и они образуют вместо 1, 2, . . ., п некоторую пере­

становку qv

q2, . .

qn,

так

что

 

 

 

 

 

 

а і Р і

* •

• а п Рп ~

' '

•

а Чпп -

(6)

Перестановки

р х, . .

 

рп

и

qu

. . .,

qn

содержат

одинаковое

число беспорядков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

P

l i

’ Р’п\Ч

•

•

•>Чп\1

(7)

потому что упомянутое выше перемещение сомножителей одно­ временно приводит перестановку р ±, . . рп к основной пере­ становке 1, 2, . . ., п, а основную перестановку 1, 2, . . ., п —

к перестановке qlt . . qn, поэтому и число транспозиций при этих двух переходах одно и то же.

Из (4) —(7) следует

 

. . . а пРп =

( 4 ) - Ä J

V 7)

........ ’" '“».і

(5 )

^

•••

< , = я м * ) -

^

(4 )

Здесь под каждым знаком равенства указан номер формулы, которая служит основанием для этого равенства.

2°. При перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак. Действительно, если поменять местами г-й и /-й столбцы, то в каждом слагаемом фор­ мулы (4) поменяются местами два вторых индекса р{ и pj, что приведет согласно лемме к перемене знака в каждом слагаемом (поскольку изменится четность перестановки) и у всей суммы. Поэтому величина определителя исходной матрицы изменит лишь знак. Перемещение строк определителя сводится к перестановке соответствующих столбцов в транспонированной матрице.

1 2

Например, 3 4

со

4

2

1

= 2.

1

2

2, 4

3

3°. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Действительно, если в таком определителе пере­ ставить два одинаковых ряда, то, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой — по свойству 2° определитель изменит знак, т. е. D (А) = —D (А). Следовательно, D (А) = 0.

4°. Если все элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Это свойство непосредственно следует из формулы (4), потому что общий множитель каждого произведения можно вынести за знак всей суммы.

4а. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или пропорциональны соответствующим элементам другой строки (другого столбца), то определитель равен нулю. Это утвер­ ждение прямо следует из свойств 3° и 4°.

5°. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя суть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых элементы упомянутой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми. Действительно, пусть

для определенности речь идет о первой строке. Тогда согласно (4) имеем

я ( Л ) =

2

( ~

1)[Рі

" Ря1(а іР.-Ь6іР.)а 2р.

апрп =

=

^

(

1 ) ^

^

а 1 Р і а і р 2 • • •

а п р п +

 

+ ^ ( - l)tPl ' "

Рп] Ъ1Ріа2р,

. . . апРп

D (.1,)

; 1) (Аъ).

Минором определителя п-го порядка D (А), соответствующим элементу alk, называется определитель п—1-го порядка, полу­ чающийся из D (А ) вычеркиванием і-й строки и к-то столбца;

он обозначается символом Alk.

алгебраи­

Минор Аік, взятый со знаком (—1)г+Л, называется

ческим дополнением элемента aik определителя D (А)

и обозна­

чается символом

 

4* = ( - 1 ) і+*Д«.

(8)

6°. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)

определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя. Это свойство можно выразить формулами

D (А) — йцАц-Ç . . .

-\-аіпАіп

0 =

2,

...,

п),

(9)

D (A) = alkAxk-\- •••

-)~йпкАпк

(к = 1,

2,

. ..,

п).

(10)

Формула (9) называется разложением определителя по элементам і-й строки, а формула (10) — разложением определителя по эле­ ментам к-го столбца.

Выведем формулу (9). В правой части равенства (4) каждое из п\ слагаемых содержит по одному элементу і-й строки ма­ трицы А. Фиксируем і среди чисел 1, 2, . . ., п. Объединим в сумме

(4) слагаемые, содержащие аіх, затем аі2 и т. д.,

и

представим

всю сумму (4) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D (А) = аіхВil +

аігВі2 . . .

а1пВіп.

 

 

(11)

Докажем, что

 

 

 

 

Btk

=

A ih.

 

 

 

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Доказательство

равенства

(12) при

 

і = к

=

1.

 

Первое ела-

гаемое правой части (11) при і =

1 будет

 

 

 

 

 

r>

 

 

V

 

/

« J 1» Р‘ >■ •->Р/г]

а2р2 ...

апРп —

ац В п ~ ап

^ (

 

1)

 

 

2

/

*

 

•

••>Рп]

 

а прп —

 

А

 

 

(

1

 

)

 

 

а гРг • • •

а

1

і

Д і 1 -

 

 

 

 

 

 

 

 

ПI I I

 

 

 

 

Здесь равенство

I написано по

определению В 1г,

II — так как

і < р 2, . . ., 1 <

рп

и

поэтому

[1, р г, . . ., рп] =

 

[р2, . . -, рп ],

III — согласно определению минора. Следовательно,

(13)

 

 

 

 

 

Вц = Ац = А п .

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы