Файл: Основы автоматического управления..pdf

нение (13.5.5) является необходимым условием оптимальности линейной системы с весовой функцией g (t, о).

Однако условие (13.5.5) в общем случае недостаточно. Действи­ тельно, оптимальные операции над входным сигналом могут вклю­ чать операции дифференцирования. Предположим, что входной сигнал Z (t) можно дифференцировать р раз. Это означает, что весо­ вые функции g (t, т) и h (t, о) могут содержать 8-функции и их

Здесь величина а может иметь любое значение в пределах 0 ^ а ^

равенство (13.5.6) может нарушаться, не выполняться при выпол­ нении равенства (13.5.5) только на концах интервала [t — Т, t], т. е. при а = 0 и при а = Т. Таким образом, остается потребовать его выполнения на концах интервала интегрирования, т. е. при а —0 и при а = Т для всех допустимых значений к, и мы приходим к выводу, что для оптимальности системы необходимо тождествен­ ное относительно о выполнение равенства (13.5.5) в замкнутом инте­

*)Обратим внимание на то, что равенство (13.5.5) должно выполняться и на концах интервала интегрирования, т. е. в замкнутом интервале [і — Т, t]. Действительно, допустимые линейные системы могут выполнять над сигналом операцию чистого (безынерционного) усиления и запаздывания на время памяти системы Т. Этому соответствует наличие слагаемых вида б (t — т)

Все эти условия в совокупности достаточны для того, чтобы функ­ ция g (t, т) была весовой функцией оптимальной системы, так как при их выполнении равенство (13.5.4) будет удовлетворено при лю­ бой допустимой функции h (t, о), как непрерывной, так и содержа­ щей импульсные функции до соответствующего порядка.

Заметим теперь, что так как весовая функция g (t, т) также может содержать допустимые б-функции и их производные, то уравнения (13.5.7) фактически содержат смешанные производные

функции Г2 (т, а) до порядка 9 включительно. Отсюда следует, что уравнения (13.5.7) будут все выполняться в том и толь-

в том числе и при т = а. Это услойие может служить для опреде­ ления числа р допустимых дифференцирований входного сигнала. А именно наивысший порядок допустимого дифференцирования р

есть наибольшее целое число, при котором производная 9

непрерывна при т = а. Если определить число р таким образом, то все равенства (13.5.7) будут следствиями выполнения равенства (13.5.5) в замкнутом интервале t — Т ^ о ^ t.

Таким образом, мы получаем другую форму условий минимума средней квадратической ошибки. А именно для того чтобы функция g (t, т) была весовой функцией оптимальной линейной системы, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению (13.5.5) в замкнутом интервале t — Г ^ а ^ £ и содержала б-функ­ ции и их производные пе выше jo-ro порядка, если р — наибольшее

ö2prz (т, О)

целое число, при котором производная —gTpga^i"'' непрерывна.

На недостаточность условия (13.5.5) без дополнительного условия ограничения порядка производных б-функций, входящих в выра­ жение весовой функции оптимальной системы, впервые обратил внимание В. М. Семенов.

Заметим, что если сделать замену переменных £ = t — т, т) = t — а, то мы приведем интервал интегрирования и интервал изменения ц к замкнутому интервалу [О, Т]. В этом случае вели­ чина t будет играть в уравнении (13.5.5) роль несущественного параметра. Вследствие этого величину t иногда опускают при запи­ си уравнения (13.5.5) в переменных |, тр

В задачах практики полезный сигнал S (£), содержащийся во входном сигнале Z (t), часто представляет собой сумму линей­ ной комбинации известных функций (регулярной части) и нере­ гулярной случайной части:

N

не коррелированными со случайными функциями X (t) и Y (t). Случай, когда f/j, . . ., UN (или некоторые из них) являются неизвестными неслучайными величинами, которые могут прини­ мать любые значения, как показал В. М. Семенов, можно рассмат­ ривать как частный случай, когда дисперсии случайных величин Uu . . ., UN (или некоторых из них) равны бесконечности [62]. Предположение о некоррелированности случайных величин U\, . .г.

. . ., UN со случайными функциями X (t), Y (t) отражает тот факт, что в задачах практики регулярная часть полезного сигнала, пред­ ставляющая собой линейную комбинацию известных функций, его нерегулярная часть и помеха обычно имеют различную физи­ ческую природу и порождаются независимыми друг от друга источ­ никами.

Для простоты выкладок мы предположим еще, что математиче­ ские ожидания случайных функций X (t) и У (<) тождественно рав­ ны нулю. Это предположение ни в какой мере не ограничивает общности, так как в случае отличных от нуля математических ожи­ даний тх (t) и ту (t) их можно рассматривать как дополнительные регулярные части входного сигнала Z( t) и требуемого выходного

приведем формулы (13.5.15) к виду (13.5.14) и (13.5.11) с увеличен­ ным на единицу числом слагаемых в суммах и тождественно рав­ ными нулю математическими ожиданиями случайных функций X (t) и Y (t). При этом последний коэффициент в сумме UN+i будет представлять собой неслучайную величину, равную единице, которую всегда можно рассматривать как случайную величину с нулевой дисперсией и математическим ожиданием, равным еди­ нице. Таким образом, случай отличных от тождественного нуля математических ожиданий нерегулярных случайных частей вход­ ного и требуемого выходного сигналов приводится к случаю нуле­ вых математических ожиданий за счет увеличения на единицу чис­ ла слагаемых в регулярных частях входного и требуемого выход­ ного сигналов.

П р и м е р 13.5.1. Рассмотрим следящую систему примера 13.1.1. Для определенности предположим, что эта следящая система является следящей системой радиолокатора, предназначенного для измерения координат