ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 371
Скачиваний: 15
522 |
гл. 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О РИ Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ |
самолетов в декартовой системе координат. При этом для простоты будем рас сматривать только одну координату. С достаточной для практики точностью можно считать истинную координату самолета St (t) полиномом второй сте пени относительно времени:
S t (г) = U t + U2t + U3t \
При этом начальное положение Ui и начальная скорость U2 самолета, попав шего в поле зрения радиолокатора, могут изменяться в весьма широких иределах и являются заранее неизвестными величинами. Поэтому их можно считать случайными величинами с бесконечными дисперсиями. Что же касается ускорения 2І73, то оно может изменяться лишь в сравнительно узких пределах. Поэтому целесообразно считать его случайной величиной с конеч ной дисперсией, которую можно определить на основании статистического анализа технических данных самолетов. Функция Si (г) является регулярной частью полезного сигнала на входе следящей системы.
Помеха N 2 (<), действующая на исполнительное устройство следящей системы, в данном случае может быть моментом аэродинамических сил, действующих на антенну радиолокатора. В случае турбулентной атмосферы момент аэродинамических сил является случайной функцией времени. Мы видели в примере 13.1.1, что в данном случае преобразованная исполнитель ным устройством помеха N 2 (t), т. е. выходная переменная исполнительного устройства, соответствующая действию на его входе помехи N 2 (t), взятая с обратным знаком, также должна рассматриваться как составная часть полезного сигнала на входе следящей системы:
Хі (0 = - в им2 (і),
где В и — оператор исполнительного устройства. На основании изложенного в §§ 3.13 и 3.14 передаточная функция исполнительного устройства (от управляющего входного сигнала до угла поворота вала) часто выражается формулой
Фи (S)= s(l + 7V) ■
При этом зависимость между помехой N 2 (t) и соответствующей частью выходного сигнала исполнительного устройства X, (г) будет равноценна дифференциальному уравнению второго порядка
Tax';(t)+x[(t) = - k N 2 а)
(см. § 2.5). Зпая это уравнение или передаточную функцию, можно методами главы 7 найти корреляционную функцию нерегулярной части полезного сиг нала X t (t) по данной корреляционной функции случайной функции N 2 (<)• Полный полезный сигнал S (t) на входе следящей системы будет
5 (t) = St (t) + X, (t) = Ui + U2t + U3t* + Х і (t).
Таким образом, задача проектирования оптимальной следящей системы радиолокатора приводится к рассмотренной выше общей задаче, когда вход ной сигнал проектируемой системы состоит из регулярной части полезного сигнала Si (/), представляющей собой в данном случае квадратный трехчлен со случайными коэффициентами, нерегулярной части полезного сигнала Хі (<), представляющей собой в данном случае преобразованный исполни тельным устройством случайный аэродинамический момент, взятый с обрат
ным знаком, и помехи N t |
(t). Функции <pr (t), фу (t) и случайная функция У (1) |
||||
в дапном случае определяются формулами |
|
||||
фі (t) |
= |
фі (t) = |
1, |
Ф2 (*) = |
Фа (t) = t, |
Фз (О |
= |
Фз M = |
t2, |
У (f) = |
Xi (t). |
524 |
Г Л , 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ |
Подставляя выражения (13.5.18) и (13.5.19) в исходное уравне ние (13.5.5), приведем его к виду
t
J Kx (r, o)g(t, x)dx =
t-т
N t
= KyX(t,o)+ 2 |
уРв{фр(0— j g(t, т)фр(т) dt} фд (а) (13.5.20) |
p, g = l |
t - T |
|
(t — T<^o<^t). |
Неравенства в скобках показывают, что это уравнение должно удовлетворяться для всех значений а в замкнутом интервале
U - Т, t].
Уравнение (13.5.20) для решения неудобно, так как неизвестная весовая функция входит под знаками N + 1 интегралов. Поэтому целесообразно заменить его более простой системой уравнений. Для этого введем новые неизвестные
N
2 |
Урч [* M 0 — j ё (t, Т) фр (*) d t] (q= 1, |
N). (13.5.21) |
р= 1 |
t-т |
|
Заметим, что эти новые неизвестные являются функциями времени Хд = Xq (t) (q = і, . . ., N), но для краткости мы будем аргумент t опускать. На основании формулы (13.5.21) уравнение (13.5.20) принимает вид
t
f Кх (т, o)g(t, x)dx = t-т
N |
|
= КуХ (t, CT) + 2 V p9 (°) |
(t — T<^o<^t). (13.5.22) |
9=1
В это уравнение неизвестная весовая функция входит только под знаком одного интеграла, вследствие чего это уравнение проще, чем (13.5.20). Но зато в нем появились N дополнительных неизвест
ных А.!, . . ., |
XN. Уравнения (13.5.21) и (13.5.22) вместе образуют |
систему N + |
1 уравнений с N + 1 неизвестными g(t, т), (t), . . . |
. . ., XN (t).
Уравнения (13.5.21) удобно преобразовать, решив их относи
тельно выражений |
в |
квадратных |
скобках. |
Полагая |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
*1р = Фр (0 — |
j |
g(t,x)q>p (x)dT |
(р = 1 , |
(13.5.23) |
||
t = T |
|
|
|
|
|
|
перепишем уравнения (13.5.21) в виде |
|
|
||||
л |
|
|
|
|
|
(13.5.24) |
2 |
Yp9T1p = ^'9 |
(?= |
11 •••! |
N ) . |
||
р= 1
§ 13.5. УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ 525
Это — система линейных алгебраических уравнений относитель но неизвестных гц, . . Цн. Решая ее при помощи известного пра вила Крамера, получим
|
|
|
|
(Р) |
|
|
|
Ѵн |
Viz |
|
••• |
Via |
|
|
Ѵ 21 |
Ѵ 22 |
• • • |
Х 2 . . . |
y ZN |
|
_ |
VA! |
VA2 |
• • • |
^А ■■■ УАА |
(13.5.25) |
|
|р |
Ѵн |
Viz |
................ |
Vijsr |
|
|
|
Ѵ2І Ѵ22 |
................ |
Ѵ2А |
|
||
|
Ѵа1 Ѵа2 |
................ |
Ѵаа |
|
||
Раскладывая определитель в числителе по элементам р-го столбца и вводя обозначение
ерч= ^т- {p' q= (13.5.26)
где Г !—^определитель, стоящий в знаменателе формулы (13.5.25),
а Грд — алгебраическое |
дополнение элемента |
ypq в этом опреде |
|||
лителе, приведем формулу (13.5.25) к виду |
|
|
|||
А |
|
|
|
|
|
T ] p = S cP9^3 |
(р = 1, |
. . . , |
N). |
(13.5.27) |
|
9=1 |
|
|
|
|
|
Наконец, заменяя здесь вспомогательную величину |
ее выра |
||||
жением (13.5.23), получим окончательно |
|
|
|
||
t |
N |
|
|
|
|
■фр(*)— j ё (*, т) Фр (т) |
= 2 |
сРякя |
(Р = |
1, ••.,7V). |
(13.5.28) |
t-T |
9=1 |
|
|
|
|
Уравнения (13.5.22) и (13.5.28) являются окончательной фор мой уравнений, определяющих весовую функцию оптимальной линейной системы в случае, когда требуемый выходной сигнал W и входной сигнал Z выражаются формулами (13.5.11) и (13.5.14).
Рассмотрим теперь предельный случай, когда дисперсии вели
чин |
Ui, . . ., UN стремятся к |
бесконечности. В этом случае |
Урр |
оо (р = 1, . . N), т. е. |
все диагональные элементы опре |
делителя Г и соответствующие элементы определителей Грд стре мятся к бесконечности. Чтобы вычислить величины cpq в этом слу чае, разделим все элементы первой строки и первого столбца опре
делителя Г на уц, все элементы второй строки и второго столбца н а ]/у 2 2 и т. д., все элементы N-й строки и N-го столбца —
526 Г Л . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ
на Wv.ivТогда получим
1 |
Pl2 |
• |
• |
P ix |
|
P2 I |
1 |
. |
• |
Ргіѵ |
(1 3 .5 .2 9 ) |
г — Y1 1 Y22 • • . yNN |
|
|
|
— Y1 1 Y22 • • • YjvjvP » |
|
Р хі |
Рлг2 |
• . . |
1 |
|
|
Ppq~ ' V y y ^ q |
|
(р’ ? = 1 ’ |
(13-5.30) |
||
причем вследствие известного из теории вероятностей неравенства для начальных моментов второго порядка (см. [54], § 3.9)
I Ppq 1 ^ 1 "
Совершенно таким же образом преобразуем определитель Гр?. Имея в виду, что этот определитель отличается от определителя Г тем, что в нем отсутствует р-я строка и q-жстолбец, приходим к выводу, что перед определителем появятся те же множители, что и в (13.5.29),
за исключением У уРР и | / yqq. Следовательно,
Ѵ нѴ гг . ■■ V anv |
р |
(13.5.31) |
Гpq |
|
где Ppg — алгебраическое дополнение элемента ppg в определителе
(13.5.29). Подставляя выражения (13.5.29) и (13.5.31) в (13.5.26),
получим
_ Ppq
(13.5.32)
Р<1 Р VVppVqq
Отсюда видно, что если хотя бы одна из величин урр или yqq стре
мится к бесконечности, |
то срд-ѵ 0. Если все величины Ун> • • • |
||
. . ., y NN стремятся |
к |
бесконечности, |
то все величины сРч стре |
мятся к нулю и уравнения (13.5.28) принимают вид |
|||
1 |
g(t, T)yp (T)dT |
(р= 1, ...,1V). (13.5.33) |
|
■фр(0= j |
|||
t-т |
|
|
|
Таким образом, в случае, когда Е/р . . . » UN являются неизвест ными величинами, которые могут иметь любые значения, задача определения оптимальной линейной системы сводится к решению уравнения (13.5.22) при дополнительных условиях (13.5.33).
Если только некоторые из величин Yu, . . ., y NN, например первые к, стремятся к бесконечности, то все величины cpq, у кото рых хотя бы один из номеров равен числам 1, . . ., к, стремятся
