ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 373
Скачиваний: 15
§ 13.5. У Р А В Н Е Н И Я , О П РЕД ЕЛ Я Ю Щ И Е Л И Н Е Й Н У Ю СИСТЕМУ |
527 |
к нулю вследствие (13.5.32). Следовательно, в этом случае первые
к |
уравнений |
(13.5.28) принимают вид (13.5.33), |
а в остальных |
N — к суммирование по q в правой части будет |
производиться |
||
от |
q — к + 1 |
до q = N. |
|
Выясним подробнее смысл условий (13.5.33). Для этого найдем фактическую выходную переменную оптимальной системы W* (t).
Вследствие формул (13.5.2) |
и (13.5.14) |
получим в данном случае |
||
і |
|
|
|
|
W*(t)= f |
g (t, x) Z (x) dx = |
|
|
|
t - T |
|
|
|
|
|
N |
t |
t |
|
= |
2 |
f/r j g(t, т)фг (т)с2т+ J |
g(t, x)X(x)dx. (13.5.34) |
|
|
r—1 |
t - T |
t - T |
|
Сравнивая эту формулу с (13.5.11) и принимая во внимание, что математические ожидания случайных функций X (t) и Y (і) тожде
ственно равны нулю, приходим к заключению, что математическое ожидание ошибки оптимальной системы равно
М [Е (*)] = М [W* (0 - |
W (01 = |
N |
t |
= '2}M[UT}{ j g(t, x)(fr(x)dx — фг (о}. (13.5.35) |
|
г = 1 |
Т -1 |
Отсюда видно, что при выполнении, условий (13.5.33) математиче ское ожидание ошибки системы тождественно равно нулю, и, сле довательно, математическое ожидание выходного сигнала W* (t) совпадает с математическим ожиданием требуемого выходного сиг нала W (t). Пользуясь терминологией математической статистики, можно сказать, что W* (t) является несмещенной оценкой сигнала W (І). Вследствие этого условия (13.5.33) обычно называются
условиями несмещенности.
Оптимальная линейная система, удовлетворяющая дополни тельным условиям несмещенности (13.5.33), имеет ту особенность, что в идеальном случае при отсутствии нерегулярной части полез ного сигнала и помехи, т. е. когда X (t) = Y {t) = 0 , она идеально точно воспроизводит требуемый выходной сигнал W (t). Действи тельно, из формул (13.5.11), (13.5.34) и (13.5.33) видно, что в этом случае выходной сигнал W* (t) тождественно равен требуемому
выходному сигналу |
W (t). |
|
|
|
|
||
П р и м е р |
13.5.2. |
В условиях примера 13.5.1 |
можно считать, |
что |
|||
— У22 — °°, |
в то время как величина у33 конечна. Следовательно, в этом |
||||||
случае сц = сі2 = |
сіз = |
с2і = |
c22 = c23 = |
c3i — c32 = |
0 и только величина |
||
c33 = 1/узз отлична |
от |
нуля. |
Уравнения |
(13.5.22) и |
(13.5.28) при |
этом |
|
528 |
ГЛ . 13. |
СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я |
Т Е О РИ Я О П Т И М А Л Ь Н Ы Х |
СИСТЕМ |
|
принимают вид |
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
^ |
Кх (г> °) S |
т) dx— КуХ(f, (т)+ Хі + Я2ст+^з(т3, |
|
|
|
t-T |
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
j |
g (t,x )d x = l, |
j |
g (t, t ) t dx=t, |
(13.5.36) |
|
t-T |
|
t-T |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t2— |
j g (t, X) T2 dx=c33X3. |
|
|
|
|
t-T |
|
|
|
Корреляционная функция случайной функции X (t) = Zj (t) + N j (t) определяется формулой
Kx {x, в) = КХ1 (т, ц) + йГПі(т, ö),
так как радиопомеху N і (t) и случайный аэродинамический момент N 2 (t) можно считать независимыми. Случайная функция У (t) в данном случае совпадает с Z t (г). Поэтому
К ух (t, а) = М IX! (t) X (ст)] = М [Zj (і) {Z! (а) + N t (а)}] =
= М [ Х І (t) Zj (a)] = Z Jcl (г, а).
Таким образом, зная корреляционные функции помех (t) и N 2 (t) и опера тор исполнительной части следящей системы, мы можем вычислить корреля ционные функции, входящие в первое уравнение (13.5.36). Тогда получим четыре уравнения (13.5.36), определяющие неизвестную весовую функцию оптимальной замкнутой следящей системы g (f, т) и три вспомогательные неизвестные функции Я,, Х2 и Х3.
Совершенно так же выводятся уравнения, определяющие опти мальную многомерную линейную систему. Если входной сигнал системы Z (t) представляет собой «-мерную векторную случайную функцию, а требуемый выходной сигнал W (t) — m-мерную вектор ную случайную функцию, то матрица весовых функций оптималь ной линейной системы g (t, т), обладающей минимальными сред ними квадратическими ошибками на всех выходах, определяется уравнением
t |
|
j g (t, т) Г2 (t, a) dx = Ywz (t, а) |
(t — T ^ o ^ t ) , (13.5,37) |
t-т |
|
где Tz (t, o) — матрица начальных моментов второго порядка составляющих входного сигнала Z (t), а (t, ст) — матрица взаимных начальных моментов второго порядка требуемого выход ного и входного сигналов W (t) и Z (t):
Г, (т, а) = M I Z (т) Z (а)т], Twz (t, о) = М [W (t) Z (а)т]
(13.5.38)
530 |
ГЛ . 13. |
СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О РИ Я |
О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ |
||
еще условия вида |
[38] |
|
|
||
|
І |
p |
hgi l ’ T)] 2rfT < °° |
(* = 1. •••.'■)■ |
(13.5.40) |
|
t-т |
|
|
|
|
Физически эти условия означают, что производные выходного сигнала системы до порядка г включительно имеют конечные дис персии при действии белого шума на входе.
Дополнительные условия (13.5.39) и (13.5.40) «регуляризуют» задачу определения оптимальной системы, делают ее корректной. Общая теория некорректных задач и их регуляризации была раз работана А. Н. Тихоновым [94].
Само собой разумеется, что, сузив класс допустимых систем дополнительными условиями (13.5.39) и (13.5.40), мы отходим от оптимума, ухудшаем качество системы при точном знании исход ных данных. Уменьшение чувствительности системы к ошибкам в исходных данных покупается ценой ухудшения ее качества при точном совпадении статистических характеристик входного и тре буемого выходного сигналов с расчетными. Для оценки потерн качества системы по сравнению с истинной оптимальной необхо димо уметь находить оптимальные системы и оценивать их точность. Для этого и служит излагаемая статистическая теория оптималь ных систем.
§ 13.6. Общий анализ уравнений, определяющих оптимальную линейную систему
Произведем сначала общий анализ системы уравнений (13.5.22) и (13.5.28) с целью определить последовательность операций, кото рые необходимо выполнить для нахождения весовой функции опти мальной линейной системы. Рассмотрим уравнения
(4 |
Кх (т, а) g(0>(t, т) dr = Кух (t, о) |
— |
(13.G.1) |
t-т |
|
|
|
t |
|
|
|
j |
Kx (x, o) g<9) (t, x) dx= фд (о) |
(t — T ^ a ^ t ; |
q = i .........N) |
t - T |
|
|
(13.6.2) |
|
|
|
|
с неизвестными функциями g<°\ |
. . ., g(A). |
Эти уравнения |
|
являются линейными интегральными уравнениями, так как содер жат неизвестные функции под знаком интеграла, и притом в пер вой степени. Каждое из уравнений (13.6.1) и (13.6.2) содержит
только одну |
неизвестную |
функцию g(°> (I, т), |
g(V (t, т), . . . |
... , g№ (t, т). Следовательно, |
уравнения (13.6.1) |
и (13.6.2) могут |
|
быть решены |
по отдельности. |
|
|
