Файл: Основы автоматического управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 370

Скачиваний: 15

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 13.6. ОБЩ ИЙ А Н А Л И З У РА В Н Е Н И Й

531

Допустим теперь, что мы решили эти уравнения и нашли все функции g(°\ g0\ . . ., g^). Умножим каждое из уравнений (13.6.2) на соответствующую величину Xq и сложим полученные таким образом равенства с (13.6.1). Тогда получим

t N

j

к х (т, а) j y 01 (t, т) + 2 Xq (0

(<, т)J dx

t - T

q—1

 

N

= Kyx (t, a) + 2 VPg (й). (13.6.3)

9=1

Сравнивая это равенство с (13.5.22), приходим к заключению, что неизвестная весовая функция оптимальной системы g (t, т) выра­ жается формулой

N

 

g (t, Т) = gl0) (t, t) + 2 Xq (t) g{4) (t, T).

(13.6.4)

9=1

 

Таким образом, умея решать интегральные уравнения

(13.6.1)

и (13.6.2), мы можем выразить неизвестную весовую функцию опти­ мальной системы g (t, т) через решения этих уравнений и вспомо­ гательные неизвестные . . ., XN формулой (13.6.4). Если теперь найти вспомогательные неизвестные Xq, то задача будет полностью решена.

Для нахождения X,, . . ., XN подставим выражение (13.6.4)

весовой

функции g (t, т) в

уравнения (13.5.28). Тогда получим

 

t

N

t

 

% ( t ) ~

j £<0) (С т) фр (т) dx

2

Xq j g<9>(f, t) фр (t) dx =

 

 

t - T

9=1

t - T

 

 

 

 

N

 

 

 

 

= 2 cm V

(13.6.5)

 

 

 

Q=1

 

Если функции g(0), g(1), . . ., gW известны, то интегралы в левой части уравнения (13.6.5) можно вычислить. Введем для них обозначения

1 t

ЬРо - {

g<0) (/, т) фр (т)dx, bpq =

j

g<q) (t, x)4>,,(x)dx

(13,6.6)

1-Т

t - T

 

 

 

(P, q= 1, •

•

Ю-

 

Тогда уравнения (13.6.5) примут вид

 

 

2

{bpq+ Cpq) Xq= Урр (t) — Ьр0

(Ц= 1, . . ., N).

(13.6.7)

9=1

 

 

 

 

Таким образом, неизвестные Я,4, . . ., XN определяются системой линейных алгебраических уравнений (13.6.7). Вешив эту систему

34*

532

гл. 13.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

Т ЕО РИ Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ

уравнений,

мы найдем Аь . .

XN, после чего формула (13.6.4)

полностью определит весовую функцию оптимальной линейной системы.

Заметим, что величины Ьі0, . . ., bN0, bn , . . ., bNl, . . .

. . ., b1N, . . ., bNN, определяемые формулами (13.6.6), в общем случае являются функциями времени t. Поэтому определяемые системой уравнений (13.6.7) величины Аь . . ., АN также являются функциями времени, как это уже было отмечено раньше.

Легко доказать еще, что матрица коэффициентов уравнений

(13.6.7)

симметрична. Для этого заметим, во-первых,

что ypq =

= yqp,

вследствие чего и cpq = cqp. Во-вторых, на

основании

(13.6.6) и (13.6.2), принимая во внимание свойство симметрии кор­

реляционной

функции,

имеем:

 

 

t

t

 

 

bqp=

j

j Kx (x, a ) g ^ (t, x)g^(t,

o) dt da =

 

t - T t - T

 

 

 

t

t

 

 

=

j

(^, -г) {

j к х (о, т) g<p>(t, ст) da I dx =

 

t - T

t - T

 

 

t

 

 

 

=

j

g(Q) {t, t) epp (t) dx = bpq

(p,q= 1,

 

t - T

 

 

 

Итак, мы доказали, что решение уравнений (13.5.22) и (13.5.28), определяющих весовую функцию оптимальной линейной системы, сводится к последовательному выполнению следующих операций:

1) решение линейных интегральных уравнений (13.6.1) и (13.6.2), определяющих вспомогательные весовые функции

g(0) (t, т), £(1) (if, т), . . ., g(lv>(г, т);

2)вычисление коэффициентов Ър0 и Ъм по формулам (13.6.6);

3)решение системы линейных алгебраических уравнений

(13.6.7)

, определяющих вспомогательные неизвестные функции

Аі, . . .,

KN *);

4) вычисление оптимальной весовой функции по формуле

(13.6.4).

Наиболее сложной из всех этих операций является решение интегральных уравнений (13.6.1) и (13.6.2). Все эти уравнения имеют одну общую черту. А именно ядром этих уравнений является одна и та же корреляционная функция К х (т, о) суммы нерегуляр­ ной части полезного сигнала и помехи, и различаются они только

*) Можно показать, что определитель системы уравнений (13.6.7) всегда отличен от нуля (точнее, всегда положителен). Следовательно, система урав­ нений (13.6.7) всегда имеет единственное решение.

§ 13.6. ОБЩ ИЙ А Н А Л И З У РА В Н Е Н И Й

533

правыми частями. Таким образом, уравнения (13.6.1) и (13.6.2)

являются

линейными

интегральными

уравнениями вида

■>

!

Кх (т, о) g (t, %)di = f (t, а)

(t — Г < а ^ і )

 

j

(13.6.8)

t-т

 

f (t, о) и неизвестной функцией

g (t, т).

с заданной функцией

К аналогичным операциям сводится решение уравнения (13.5.37), определяющего матрицу весовых функций оптимальной многомер­ ной линейной системы.

Чтобы завершить решение задачи, остается оценить точность оптимальной линейной системы, т. е. найти минимальную среднюю квадратическую ошибку, достижимую с помощью оптимальной

линейной системы

 

цшт = М [Е2] = М [(W* - W)2] = М [(AZ -

Wf) =

= М [(AZ - W ) A Z ] - M [(AZ -

W) W}. (13.6.9)

Согласно общему условию, которому должен удовлетворять опера­ тор оптимальной системы (13.4.12) и которое должно выполняться для всех операторов В рассматриваемого класса, в том числе и для оптимального оператора А,

М [(AZ - W) AZ] = 0. Следовательно, формула (13.6.9) принимает вид

Timm = М [W2] — М [WAZ] = М [W2] — М [WW* ). (13.6.10)

Эта формула определяет минимальную среднюю квадратическую ошибку, достижимую с помощью любой оптимальной системы, как линейной, так и нелинейной.

Теперь применим формулу (13.6.10) к случаю оптимальной линейной системы. Первое слагаемое в правой части формулы (13.6.10) представляет собой начальный момент второго порядка требуемого выходного сигнала Г№(t, t). Второе слагаемое есть математическое ожидание произведения случайной функции W (t) на выходной сигнал оптимальной системы W* (t). Поэтому можно

написать

t

r\nin = Tw( t , t ) - M [ w ( t ) j g(t, т) Z (t)dx] =

t-T

t

= r w(t,t)— j Г„,2(г, T)g(t, r)dr. (13.6.11)

t - T

Подставляя в эту формулу выражение (13.5.19) и аналогичное выражение для Гш (t, t):

N

 

Tw(t, t) = Ky(t,t)+ S ТраФр (0 ФЛО

(13.6.12)

р, 9=1

534 ГЛ . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ

и принимая

во

внимание, что величина К у (t, t) представляет

собой дисперсию

случайной

функции Y

(t),

получим

Лшіn — Dy

t

Kyx(t,T) g(t,x)dx +

 

 

j

 

 

t - т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

Уря [ “Ф« (0—

t

g (t, t) q>, (x) dx] фр (t)

 

 

 

+

2

j

 

 

 

 

P, 9=1

 

t - T

 

или, принимая

во внимание,

что ypq — yqp, и учитывая (13.5.21),

 

 

 

t

 

 

N

 

'ПтіА--=-Ор— j

Kyx(t, t) g(t, x)dx +

2 M p W' (1 3 .6 .1 3 )

 

 

 

t-т

 

 

p=l

Теперь остается подставить в эту формулу выражение (13.6.4) весовой функции оптимальной системы. Тогда получим

t

 

Чтіп=~ Dy— j

Kyx(t, т) g(0) (t, x) dx +

t - T

 

JV

t

+ 2 мо[фр(о- j K y X ( t , o ) gm (t, a) do~\ (13.6.14)

p = l

t - T

Но вследствие уравнений (13.6.1) и (13.6.2) и симметрии корреля­ ционной функции

t

 

 

 

 

j

КуХ (t, a) g(P) (г, о) da =

t - T

 

t

 

t

 

 

 

 

 

= j

 

j Кх (т, a)g<0)(t, T)gm (t, a)dxda =

 

 

t - T

t - T

 

t

t

 

t

=

j

g<0,(*, т){

j

Kx (a, x) g(P>(t, a) do } dx == j g<0) (t, x)(pp(x)dx.

 

t - T

t - T

t - T

Поэтому, принимая во внимание обозначения (13.6.6) и вводя дополнительное обозначение

t

 

boo- J Kvx(t,x)g^(t, x)dx,

(13.6.15)

t - T

представим формулу (13.6.14) в виде

N

 

’Imin — Dy(t) ^oo {t) -f- 2

(0 ІФр (0 Ьро(ОЬ (13.6.16)

p= l

§ 13.6. ОБЩ ИЙ А Н А Л И З У РА В Н Е Н И Я

535

Заметим еще, что в случае отсутствия нерегулярной части

полезного сигнала Xt (t)

= Y (t)

= 0 , K yx (t, о) = 0

и вследствие

этого весовая функция

и все

величины Dy, Ъ00,

Ьі0, . . ., bN0

равны нулю.

Следовательно, в случае отсутствия нерегулярной части полез­ ного сигнала формула (13.6.16) принимает следующий простой вид:

N

^ m i n — ^ ф ( 0 Ф р ( 0 - (13.6.17)

Р= 1

Пр и м е р 13.6.1. Решение уравнений (13.5.36) примера 13.5.2 на основании изложенного сводится к определению вспомогательных весовых

функций £<0>, ga >, g(2>, g(3> путем решения интегральных уравнений

 

Кх (х,

o)g<°> ((,

т) dx = Ky x (t, а),

 

t - T

 

 

 

 

І - Т

 

 

}

(13.6.18)

t

 

 

 

t-т

 

 

 

 

t-т

 

 

 

 

вычислению величин

bpq

но формулам

 

t-т

 

 

t-т

 

t-т

 

t - T

t-т

 

 

t - T

t-т

 

t

 

t

t

 

t - T

 

t - T

t - T

 

t

t

t

Смотрите также файлы