Файл: Основы автоматического управления..pdf

536 ГЛ . 13. СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Т Е О Р И Я О П ТИ М А Л ЬН Ы Х СИСТЕМ

и определению величин X), Х2 и Х3 путем решения системы линейных алгебраи­ ческих уравнений

После этого формула (13.6.4) дает следующее выражение для весовой функ­ ции оптимальной линейной системы:

N 2 не действует на исполнительное устройство следящей системы, N z (t) = О и нерегулярная часть полезного сигнала X t (г) отсутствует. В этом случае У = 0 и, следовательно, Кух (t, 0 ) == 0. Поэтому величины 60о, &ю, 620, 6 30, а также Dy равны нулю. В этом случае оптимальная система определяется решением последних трех интегральных уравнений (13.6.18), решением системы линейных алгебраических уравнений

и вычислением весовой функции оптимальной системы по формуле

е + т) = X) (1) £(1> (1, т) + Х2 (1) g<2) (1, X) + Х3 (1) g<3) (t, X). (13.6.23)

Формула (13.6.21) для минимальной средней квадратической ошибки, соот­

с минимальной средней квадратической ошибкой экстраполировать закон движения самолета, т. е. выдавать его упрежденные координаты, в уравне­ ниях (13.6.19) и (13.6.22) и в формулах (13.6.21) и (13.6.24) вместо t u t 2 будут фигурировать соответственно t Д, (1 + А)2. Кроме того, изменится опера­ ция, при помощи которой случайная функция У (!) формируется из X t (/), вследствие чего изменится правая часть первого уравнения (13.6.18). В осталь­ ном все уравнения и формулы предыдущих двух примеров останутся неиз­ менными.

П р и м е р 13.6.4. В случае оптимальной системы, которая должна с минимальной средней квадратической ошибкой выдавать текущее значение скорости самолета, величины 1, 1, 12 в уравнениях (13.6.19) и (13.6.22) и в фор­ мулах (13.6.21) и (13.6.24) должны быть заменены соответственно величи­ нами 0, 1, 2t. Кроме того, изменится правая часть первого уравнения (13.6.18). Все остальные формулы и уравнения примеров 13.6.1 и 13.6.2 останутся неизменными.

Рассмотренные примеры показывают, что весовые функции g(r) (t, т) и интегральные уравнения (13.6.2), которым они удовле­ творяют, полностью определяются структурой входного полез­ ного сигнала и ни в какой мере не зависят от назначения проекти­ руемой системы, т. е. от идеальной операции L, которую необ­ ходимо произвести над входным полезным сигналом. От этой операции, как показывают формулы (13.5.10), в случае отсутствия нерегулярной части полезного сигнала зависят только функции фг (I), входящие в правые части уравнений (13.6.7), определяющих величины Kr (іt), и в формулу (13.6.17) для минимальной средней квадратической ошибки, соответствующей оптимальной системе. Таким образом, в случае отсутствия нерегулярной части полезного сигнала от назначения системы зависят только функции фг (t)

и Хг (t).

Аналогичные результаты дает анализ уравнений, определяю­ щих оптимальную многомерную линейную систему. В частности, получаем следующую формулу для матрицы Н начальных моментов второго порядка вектора ошибки оптимальной системы:

l - T

где в дополнение к обозначениям конца § 13.5 Гш(t, т) — матри­ ца начальных моментов второго порядка требуемого выходного сигнала:

а верхний индекс «т» по-прежнему означает операцию транспо­ нирования матрицы. Диагональные элементы матрицы Н представ­ ляют собой средние квадраты ошибок на выходах оптимальной системы (т. е. минимальные достижимые средние квадраты ошибок на соответствующих выходах системы).

§ 13.7. Уравнения, определяющие оптимальную дискретную линейную систему

Уравнения предыдущего параграфа определяют, в частности, оптимальные дискретные линейные системы. В этом случае вход­ ная функция действует на систему только в дискретном ряде моментов времени ti = t — Т, t2, . . ., th = t и весовая функция оптимальной линейной системы согласно (5.2.4) будет представлять собой линейную комбинацию 8-функций:

h

g(th, т )= 2 ghi8(x — ti). (13.7.1) Z=1

Полагая в уравнениях (13.6.1) и ѵ13.6.2) t = th, а — tq и заменяя

Таким образом, интегральные уравнения (13.6.1) и (13.6.2) для оптимальной дискретной линейной системы заменяются система­ ми линейных алгебраических уравнений (13.7.2) и (13.7.3).

После нахождения коэффициентов bpq и решения систем линей­ ных алгебраических уравнений (13.7.2), (13.7.3) и (13.6.7) весо­ вые коэффициенты оптимальной дискретной линейной системы определятся формулой

которая является следствием общей формулы (13.6.4).

Формулы (13.6.16) и (13.6.17) определяющие минимальную сред­ нюю квадратическую ошибку, соответствующую оптимальной линейной системе, справедливы и для дискретных линейных систем при t = th. При этом величина Ь00 определяется формулой

всегда находятся принципиально просто путем решения систем линейных алгебраических уравнений и элементарных алгебраиче­ ских вычислений. Однако при большом числе h моментов наблю­ дения входного сигнала решение систем уравнений (13.7.2) и (13.7.3) связано с трудоемкими вычислениями. В § 14.7 мы изло­ жим общий метод решения уравнений (13.7.2) и (13.7.3), дающий

явные выражения для весовых коэффициентов gu при любом чис­ ле моментов наблюдения h.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§14.1. Определение оптимальной линейной системы

вслучае белого шума на входе

Впредыдущей главе было показано, что задача определения оптимальной линейной системы с одним входом и одним выходом по критерию минимума средней квадратической ошибки приводит­ ся к решению интегральных уравнений вида

вая функция. Умея решать интегральные уравнения такого типа, мы можем элементарными вычислениями находить оптимальные

линейные системы.

В следующей главе мы увидим, что к интегральным уравнениям вида (14.1.1) приводится также задача определения оптимальной системы среди всех возможных систем по различным критериям (см. 153], §§ 141— 145). Поэтому интегральное уравнение (14.1.1) является основным уравнением статистической теории оптималь­ ных систем, и методы решения этого уравнения составляют основу теории оптимальных систем.

Нетрудно видеть, что уравнение (14.1.1) легко решается в слу­ чае, когда случайная функция X (t) представляет собой белый шум, так как в этом случае корреляционная функция К х (т, о) выража­ ется через б-функцию и уравнение (14.1.1) превращается в алгеб­ раическое. Действительно, подставляя в уравнение (14.1.1) выра­ жение корреляционной функции белого шума X (t):

и вспоминая, что интеграл от произведения б-функции на любую функцию равен значению этой функции в точке разрыва б-функ­ ции, получаем

Таким образом, в случае, когда сумма нерегулярной части полез­ ного сигнала и помехи X (t) является белым шумом, интегральное